与圆有关的专题综合讲义七

1、与圆有关的专题综合讲义（七）例1 如图，在直角坐标系中，O的圆心O在坐标原点，直径AB=8，点P是直径AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P的直线PQ的解析式为y=x+m，当直线PQ交y轴于Q，交O于C、D两点时，过点C作CEx轴交O于点E，过点E作EGy轴于G，过点C作CFy轴于F，连接DE（1）填空：CPB=_；（2）试探究：在P点运动过程中，PD2+PC2的值是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出这个值；（3）如果点P在射线AB上运动，当PDE的面积为4时，请你求出CD的长度例2 如图，点P在y轴的正半轴上，P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰RtACD，B

2、D分别交y轴和P于E、F两点，交连接AC、FC（1）求证：ACF=ADB；（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；（3）当P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由例3 如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上的一点，M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，若A（1，0），C点的坐标为（1）求M点的坐标；（2）如图，P为上的一个动点，CQ平分PCD当P点运动时，线段AQ的长度是否改变？若不变，请求其值；若改变，请求出其变化范围；（3）如图，以A为圆心AC为半径作A，P为A上不同于C、D的一个动点，直线PC交

3、M于点Q，K为PQ的中点，当P点运动时，现给出两个结论：的值不变；线段OK的长度不变其中有且只有一个结论正确，选择正确的结论证明并求其值例4 已知：OA、OB是O的半径，且OAOB，P是射线OA上一点（点A除外），直线BP交O于点Q，过Q作O的切线交直线OA于点E（1）如图，若点P在线段OA上，求证：OBP+AQE=45；（2）若点P在线段OA的延长线上，其它条件不变，OBP与AQE之间是否存在某种确定的等量关系？请你完成图，并写出结论（不需要证明）例5 如图，直线y=x+4交x轴A，交y轴于B，M为OA上一点，M经过B、A两点，交x轴负半轴于一点C，交y轴的负半轴于一点D（1）求M的坐标（2

4、）BM的延长线交M于E，直线BA绕B点顺时针旋转经过OBM的内心I时交AE的延长线于K，求线段AK的长（3）分别过A、B两点作M的切线相交于点P，过AB两点的动圆N交PB的延长线于G，交y轴的负半轴于H有两个结论：BH+BG的值不变，BHBG的值不变其中只有一个是正确的请作出判断，并求其值例6 如图，ABC内接与O，AB是直径，O的切线PC交BA的延长线于点P，OFBC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF（1）判断AF与O的位置关系并说明理由；（2）若O的半径为4，AF=3，求AC的长例7 如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，BAC的平行线交O与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线

5、与点E、F（1）求证：AFEF（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论例8 如图，O是ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DEBC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD（1）求证：ADB=E；（2）当点D运动到什么位置时，DE是O的切线？请说明理由（3）当AB=5，BC=6时，求O的半径与圆有关的专题综合讲义（七）参考答案与试题解析1.如图，在直角坐标系中，O的圆心O在坐标原点，直径AB=8，点P是直径AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P的直线PQ的解析式为y=x+m，当直线PQ交y轴于Q，交O于C、D两点时，过点C作C

6、Ex轴交O于点E，过点E作EGy轴于G，过点C作CFy轴于F，连接DE（1）填空：CPB=45；（2）试探究：在P点运动过程中，PD2+PC2的值是否会发生变化？若变化，请说明理由；如果不变化，请求出这个值；（3）如果点P在射线AB上运动，当PDE的面积为4时，请你求出CD的长度考点：圆的综合题1125860分析：（1）利用图象与x，y轴交点坐标得出QO=PO，从而得出CPB的度数即可；（2）根据PD2+PC2=PD2+PE2=DE2，得出PD2+PC2=32即可；（3）分别从当点P在直径AB上时，以及当点P在线段AB的延长线上时得出CD与CM的长度关系，进而求出即可解答：（1）解：过点P的直

7、线PQ的解析式为y=x+m，当x=0，y=m，当y=0，x=m，故QO=PO，则CPB=45；故答案为：45；（2）不变，证明：如图1，连接PE，EO，DO，AB垂直平分CE，PC=PE，且CPB=EPH=45，PECD，PD2+PC2=PD2+PE2=DE2，PCH=45，DOEO，PD2+PC2=32；（3）解：当点P在直径AB上时，SPDE=PDPE=PDPC=4，故PDPC=8，又PD2+PC2=32，CD2=（PD+PC）2=32+16=48，CD=4，当点P在AB延长线上，如图2，同理可得：CD2=（PDPC）2=3216=16，解得CD=4综上所述，CD的长为或4点评：此题主要考

8、查了圆的综合题，三角形的面积以及平方差公式应用以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解2如图，点P在y轴的正半轴上，P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰RtACD，BD分别交y轴和P于E、F两点，交连接AC、FC（1）求证：ACF=ADB；（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；（3）当P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形1125860专题：计算题分析：（1）连接

9、AB，根据线段垂直平分线性质求出AB=AC=AD，推出ADB=ABD，根据ABD=ACM求出即可；（2）过点A作AMCF交CF的延长线于M，过点A作ANBF于N，连接AF，根据AAS证RtABNRtACM，推出BN=CM，AN=AM，证RtAFNRtAFM（HL），推出NF=MF，求出BN长，根据勾股定理和等腰直角三角形性质求出CD的平方，即可求出答案；（3）过点D作DHAO于N，过点D作DQBC于Q，根据AAS证RtDHARtAOC，推出DH=AO，AH=OC，推出DQ=BQ，得出DBQ=45，推出HDE=45，得出等腰直角三角形DHE即可解答：（1）证明：连接AB，OPBC，BO=CO，A

10、B=AC，又AC=AD，AB=AD，ABD=ADB，又ABD=ACF，ACF=ADB （2）解：过点A作AMCF交CF的延长线于M，过点A作ANBF于N，连接AF，则AN=m，ANB=AMC=90，在ABN和ACM中，RtABNRtACM（AAS）BN=CM，AN=AM，又ANF=AMF=90，在RtAFN和RtAFM中，RtAFNRtAFM（HL），NF=MF，BF+CF=BN+NF+CMMF，=BN+CM=2BN=n，BN=，在RtABN中，AB2=BN2+AN2=m2+=m2+，在RtACD中，CD2=AB2+AC2=2AB2=2m2+，CD= （3）解：的值不发生变化，过点D作DHAO

11、于N，过点D作DQBC于Q， DAH+OAC=90，DAH+ADH=90，OAC=ADH，在DHA和AOC中，RtDHARtAOC（AAS），DH=AO，AH=OC，又BO=OC，HO=AH+AO=OB+DH，而DH=OQ，HO=DQ，DQ=OB+OQ=BQ，DBQ=45，又DHBC，HDE=45，DHE为等腰直角三角形，=，=点评：本题综合考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，线段垂直平分线性质等知识点，解（1）小题关键是求出ABD=ADB，解（2）小题的关键是求出BN的长，解（3）小题的关键是证出等腰直角三角形DEH，此题综合性比较强，

12、有一定的难度，但题型较好3如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上的一点，M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，若A（1，0），C点的坐标为（1）求M点的坐标；（2）如图，P为上的一个动点，CQ平分PCD当P点运动时，线段AQ的长度是否改变？若不变，请求其值；若改变，请求出其变化范围；（3）如图，以A为圆心AC为半径作A，P为A上不同于C、D的一个动点，直线PC交M于点Q，K为PQ的中点，当P点运动时，现给出两个结论：的值不变；线段OK的长度不变其中有且只有一个结论正确，选择正确的结论证明并求其值考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理1125860专题：动点型分析：（1）作辅助线，连接

13、MC，在RtCOM中，运用勾股定理可将M的半径求出，已知点A的坐标，进而可将圆心M的坐标求出；（2）作辅助线，连接AC，根据圆周角推论，等弧所对的圆周角相等，可得：ACD=P，又CQ平分OCP，可得：PCQ=OCQ，故：ACD+OCQ=PCQ+P，即ACQ=AQC，所以AQ=AC=2为定值；（3）线段OK的长度不变，作辅助线，连接PD、QD、KD，可得：A、M为等圆，=，DPQ=DQP，DPQ为等腰三角形，又K为PQ的中点，可得：DKPQ，故在RtDKC中，OK为斜边的中线解答：解：（1）连接MC，设M的半径为RA（1，0），C（0，），OC2+OM2=MC2解得R=2M点的坐标为（1，0）（

14、2）AQ不变，AQ=AC=2连接AC，ACD=P又CQ平分OCPPCQ=OCQACD+OCQ=PCQ+P即：ACQ=AQCAQ=AC=2（3）OK不变，OK=连接PD、QD、KD，AC=2A的半径为2A的半径为2，M的半径为2A、M为等圆DPQ=DQPDQ=DPK为PQ的中点DKPQOC=OD=OC=点评：本题考查垂径定理的应用解此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解4已知：OA、OB是O的半径，且OAOB，P是射线OA上一点（点A除外），直线BP交O于点Q，过Q作O的切线交直线OA于点E（1）如图，若点P在线段OA上，求证：OBP+AQE=45；（2）

15、若点P在线段OA的延长线上，其它条件不变，OBP与AQE之间是否存在某种确定的等量关系？请你完成图，并写出结论（不需要证明）考点：切线的性质1125860专题：几何综合题分析：（1）连接OQ，则OQQE，根据等腰直角三角形两底角相等可得OBP=OQB，再根据BQA=45，即可推出AQE+OBP=90OQA=45；（2）连接OQ，可得OBQ是等腰三角形，所以OBQ=OQB，由QE是O的切线可得OQQE，根据圆周角定理可得AQB=135，从而得到OQA=135OQB，然后整理即可得到OBPAQE=45解答：（1）证明：如图，连接OQ，OB=OQ，OBP=OQB，OAOB，BQA=AOB=90=45

16、，EQ是切线，OQE=90，OBP+AQE=OQB+AQE=90BQA=9045=45；（2）解：如图，连接OQ，OB=OQ，OBQ=OQB，OAOB，BQA=（36090）=135，OQA=BQAOQB=135OBQ，EQ是切线，OQE=90，135OBQ+AQE=90，整理得，OBQAQE=45，即OBPAQE=45点评：此题主要考查圆的切线的性质及同圆的半径相等等知识此题（2）问为探索题，培养同学们的类比思想和探索问题的能力，此种问题一般都是继续利用前一问的求解思路进行求解5如图，直线y=x+4交x轴A，交y轴于B，M为OA上一点，M经过B、A两点，交x轴负半轴于一点C，交y轴的负半轴于

17、一点D（1）求M的坐标（2）BM的延长线交M于E，直线BA绕B点顺时针旋转经过OBM的内心I时交AE的延长线于K，求线段AK的长（3）分别过A、B两点作M的切线相交于点P，过AB两点的动圆N交PB的延长线于G，交y轴的负半轴于H有两个结论：BH+BG的值不变，BHBG的值不变其中只有一个是正确的请作出判断，并求其值考点：圆的综合题1125860分析：（1）首先求得A、B的坐标，则M是线段AB的中垂线与x轴的交点，求得AB的垂直平分线的解析式，然后求得与x轴的交点即可；（2）根据内心的定义以及等腰三角形的性质，和等角对等边可以证得：BAK是等腰直角三角形，根据勾股定理求得AB，即可求得AK的长；

18、（3）过A作AFPG于F，连接AG，AH，可以证得：AOBAFB，且RtFGARtAOH，则BHBG=（BO+OH）BG=BO+FGBG=BO+FB，从而证得结论解答：解：（1）直线y=与x轴y轴交点分别是A（8，0），B（0，4）M过A、B两点，M必在AB的垂直平分线上M所在直线的斜率就是2，且过点（4，2）（该点就是AB的中点坐标）M所在直线的方程就是y=2x6M在OA上，即M在x轴上M（3，0）（2）I是OBM内心OBK=KBEAB是M的弦MA=MBMAB=MBAOBK+KBE+MAB+MBA=90KBE+MBA=45BE是M的直径BAK=90K=45BAK是等腰RtAK=ABAB=4，

19、AK=4；（3）过A作AFPG于F，连接AG，AHA（8，0），B（0，4）设P（8，y）PA=PBP（8，10）PB所在直线的方程为y=x+4，AF=8=AOAOBAFBBO=BF又在RtFGA和RtAOH中RtFGARtAOHFG=HOBHBG=（BO+OH）BG=BO+FGBG=BO+FB=8点评：本题是一次函数、圆、圆的内心、以及点到直线的距离的综合应用，正确证明：AOBAFB，且RtFGARtAOH是解题的关键6如图，ABC内接与O，AB是直径，O的切线PC交BA的延长线于点P，OFBC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF（1）判断AF与O的位置关系并说明理由；（2）若O的半径为

20、4，AF=3，求AC的长考点：切线的判定与性质1125860专题：压轴题分析：（1）AF为为圆O的切线，理由为：练级OC，由PC为圆O的切线，利用切线的性质得到CP垂直于OC，由OF与BC平行，利用两直线平行内错角相等，同位角相等，分别得到两对角相等，根据OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OC=OA，OF为公共边，利用SAS得出三角形AOF与三角形COF全等，由全等三角形的对应角相等及垂直定义得到AF垂直于OA，即可得证；（2）由AF垂直于OA，在直角三角形AOF中，由OA与AF的长，利用勾股定理求出OF的长，而OA=OC，OF为角平分线，利用三线合一得到E

21、为AC中点，OE垂直于AC，利用面积法求出AE的长，即可确定出AC的长解答：解：（1）AF为圆O的切线，理由为：连接OC，PC为圆O切线，CPOC，OCP=90，OFBC，AOF=B，COF=OCB，OC=OB，OCB=B，AOF=COF，在AOF和COF中，AOFCOF（SAS），OAF=OCF=90，则AF为圆O的切线；（2）AOFCOF，AOF=COF，OA=OC，E为AC中点，即AE=CE=AC，OEAC，OAAF，在RtAOF中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=5，SAOF=OAAF=OFAE，AE=，则AC=2AE=点评：此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：全等三角

22、形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积求法，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键7如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，BAC的平行线交O与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F（1）求证：AFEF（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论考点：切线的性质；全等三角形的判定与性质1125860分析：（1）首先连接OD，由EF是O的切线，可得ODEF，由BAC的平行线交O与点D，易证得ODBC，即可得BCEF，由AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得ACBC，继而证得AFEF（2）首先连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，易证得ADHADB，CDFHDF，继而证得AF+CF=AB解答：证明：（1）EF是O的切线，ODEF，AD平分BAC，CAD=BAD，=，ODBC，BCEF，AB为直径，ACB=90，即ACBC，AFEF；（2）连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，AB是直径，ADB=90，即ADBH，ADB=ADH=90，在ABD和ADH中，ABDAHD（ASA），AH=AB，EF是切线，CDF=CAD，HDF=EDB=BAD，EDF=HDF，DFAF，DF是公共边，CDFHDF（ASA），FH=CF，AF+CF=AF+FH