二分法的matlab运用

1、数值方法实验班级： 2011级数师一班学生姓名： 雷宗玲学生学号： 201102024011指导老师： 李梦 实验时间: 2014年5月30日中文摘要II1引言12二分法的基本原理1 2.1 概述1 2.2 二分法的matlab基本程序2 2.2.1 实验步骤2 2.2.2 matlab的原程序33二分法的运用4 3.1 在实际生活中的运用4 3.2 在中学教学中的运用43.2.1 利用“二分法”思想巧证不等式43.2.2 利用“二分法”思想巧证一元二次方程根的分布53.2.3 利用“二分法”思想巧求最值6 3.3 在求解方程中的运用6总结7参考文献8 摘要：二分法无论在实际生活中，还是在科学

2、上，都占有十分重要的地位。在实际生活中，通常用来检查电路、水管等等，这是二分法最简单、最本质的一个应用。在中学教学中，可以用二分法来巧证不等式、一元二次方程根的分布、求最值等等。在求解n次多项式方程的根时，我们也可以利用二分法讨论一般方程式 的实数根。本文主要概述二分法的基本思想，并从以上几个方面，对二分法在实际生活或科学上的应用论述，以便在以后的学习过程中得以广泛的应用。关键词：查电路；证不等式；根的分布；求最值；求解1 引言在实际问题中，我们经常会遇到求非线性方程（代数方程或超越方程）根的问题。对n次多项式方程，由代数学基本定理知它有n个根（含复数根，重根按重数计）。而方程f(x)是多项式

3、或超越函数（又分为代数方程或超越方程）。对于不高于四次的代数方程已有求根公式，而高于四次的代数方程则无精确的求根公式，至于超越方程就更无法求其精确解了。因此，如何求得满足一定精度要求的方程的近似根，也就成为了我们迫切需要解决的问题。近年来，随着数学科学研究的不断进展，又更新了许多方程求解的方法。我们知道，对于单变量非线性方程f（x）=0，一般都可采用迭代法求根，由此产生了二分法。“二分法”是高中数学必修内容之一，是现代信息技术与函数、方程知识的有机整合，是求方程近似解的常用方法。利用“二分法”可以帮助我们轻松、快捷解决一些相关的问题。在此，我主要利用二分法讨论一般方程式 的实数根。在有实根时，

4、可能有一个或多个甚至无穷多个根。2 二分法的基本原理2.1 概述二分法主要运用了连续函数的零点定理。如果设为上的连续函数，的有根区间为，。（1）将区间二分得中点，将分为两个相等区间，计算在中点的函数值。若=0，则就是方程的根；否则，若，由于在左半区间内不变号，所以方程的有根区间变为。同理，若，则方程的有根区间变为，将新的有根区间记为。将二分，重复上述过程，又得到新的有根区间，这样不断作下去，就得到一系列有根区间：,且。记为的根，当时，有，即。由及夹逼定理得：，当时，取作为所求根近似值。2.2 二分法的matlab基本程序2.2.1 实验步骤（1）判断函数是否为定义域内的连续函数，若它在定义域内

5、都是连续 函数，并且，故；（2）编写二分法MATLAB程序代码：erfen.m； 开始其程序过程如下：输入f,a,b,yesnoyes停止 no yesnonoa=a b=ca=c b=b停止（3） 建立函数文件：f.m；（4）在MATLAB命令窗口中输入函数，敲回车，输出结果。2.2.2 matlab的原程序function c,err,yc=erfen(f,a,b,delta)ya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if ya*yb>0,return,endmax1=1+round(log(b-a)-log(delta)/log(2);for k=1:max1 c=(

6、a+b)/2; yc=feval(f,c); if yc=0 a=c; b=c; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; end if b-a<delta,break,endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc=feval(f,c);3 二分法的运用 3.1 在实际生活中的运用 在我们的实际生活中，经常遇到电话线出故障，那么工人师傅该怎样在很短时间内查出故障所在呢？大家一般会想到沿着线路一小段一小段查找，这样困难很多，又很麻烦。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子，因此就可使用二分法。设

7、电线两端分别为A、B，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC中点D，发现BD正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来看，这样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为一半，故经过7次查找，就可以将故障发生的范围缩小到50100m左右，即在一两根电线杆附近。这样就省了很多精力了。 3.2 在中学教学中的运用 3.2.1 利用“二分法”思想巧证不等式例1. 已知三个正数a、b、c，满足，求证。 证明：从所要证的结果的结构上看，可把、看作一元二次方程的两个根，同时构造一个区间（，）。设，则可利用“二分法”思想，将要证目标转化为只需证a在区间（，）内即可。

8、如图1所示，由于二次函数的图象开口方向向上，只需证。因，所以a在区间内，即图13.2.2 利用“二分法”思想巧证一元二次方程根的分布例2. 已知函数，求证：（1） 且；（2）方程在（0，1）内有两个实根证明：（1）利用及，很容易证明（略）。（2）一般地，要证方程在（0，1）内有两个实根，只需证明：；对称轴落在区间（0，1）内；区间（0，1）端点f(0)，f(1)的符号。而采用“二分法”，其解法简洁明快，只需证明：区间（0，1）两个端点f(0)，f(1)的符号都为正（题目已知条件已给定）在区间（0，1）内寻找一个二分点，使这个二分点所对应的函数值小于0，它保证抛物线与x轴有两个不同的交点（因a&

9、gt;0抛物线开口方向向上）。如图2所示，由可知方程在（0，1）内必有两个不同实根。图2在区间（0，1）内选取二等分点，因，所以结论得证。若不成立，可看是否为负；若还不成立，再看是否为负。总之，在区间（0，1）内存在一个分点，使对应函数值为负即可。注意：证方程在区间（m，n）内有两个不同的解，只需证，的符号相同，以及在区间（m，n）找一个二分点t所对应函数值的符号（它与，的符号相反）。要证方程在区间（m，n）内至少有一个解，只需证，中至少有一个的符号与区间（m，n）内的一个二分点t所对应函数值的符号相反。3.2.3 利用“二分法”思想巧求最值例4. 函数的最小值为（  C&

10、#160; ）。 A. 190   B. 171   C. 90   D. 45解：因表示数轴上的动点x到点n之间的距离。当最小时，x为区间1，19内的任意一个分点；当最小时，x为区间2，18内的任意一个分点；当最小时，x为区间3，17内的任意一个分点。依次类推，当最小时，x为区间9，11内的任意一个分点；当最小时，。 利用“二分法”思想，当x是区间1，19，2，18，3，17，9，11共同二等分点，即x=10时，f(x)取得最小值，所以故选C。 3.3 在求解方程中的运用例4.求方程在0,1上的近似解，精确度为0.0005。解：因为，所以在内有根，用二分法解之，计算结果如下：，因为0.77344-0.772952=0.000488<0.0005，所以的一个近似解为0.773196。总结 通过本学期对数值方法的学习，让我明白了二分法、迭代法、切线法、弦截法，消元法、三角分解法、Lagrange插值法、Newton插值法、最小二乘法等方法的相关原理，同时加深了对他们的理解与应用的能力。在运用MATLAB的过程中，不仅帮助我复习了上学期所学的MATLAB程序结构，还让我对当中的程序结构有了更好的认识，