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1、数学竞赛题目2001年陕西省大学生数学竞赛试题1、设，求。解: 由于，故，故。2、设具有连续的导数，且，又满足，求函数的表达式。解: 由于，故，将它们代入，得，由于，故上述方程，解之得，其中为常数。3、设为常数，计算。解:，其中，。4、设为常数，而，则时，且收敛。解: 令，则时，有，且时，而时，故为在上的最小值点，即时，有，从而只要，则；且时，有，故，即单调递减且有下界，从而该数列收敛，且满足，即，解之得。5、求幂级数的收敛域及和函数。解: 收敛半径，而时，发散(一般项不趋于零)， 故幂级数的收敛域为，令，则，而时，有，故。6、设是方由曲线弧为绕轴旋转一周而形成的曲面(其法向量 与轴的夹角大于

2、)，求。解: ，即，补，并用表示由所界的区域，则由公式得。7、设为曲面的交线(从轴正向看去是逆时针方向，为常数)，写出的参数方程，并计算。解: 的参数方程为 ，。8、子弹以的速度垂直打进厚度为的墙壁，穿透后以的速度飞出，设墙壁对子弹的阻力与速度的平方成正比，求子弹在墙壁中的运行时间。解: 设子弹的质量为，在时刻穿入墙壁的深度为，则其速度为，而其所受到的阻力为，用表示子弹在墙壁中的运行时间，则由第二定律，得 ，令，则，即，两边对积分得 ，即，再积分得，由定解条件知 。9、设为常数，在上有连续的三阶导数，且，则存在，使。证明: 由公式，知存在，使，两式相减得，即；(1)、若，取，则；(2)、若，不

3、妨设，则，由连线函数的介值定理知，存在，使，故。10、设具有连续的二阶导数，且满足，用表示的球坐标，则(1)、仅与有关，而与无关，即；(2)、若还满足，则，其中为常数。证明: 由直角坐标与球坐标的对应关系知，故，。(1)、若，则由上面推导知，即仅与有关；(2)、若，则由(1)知仅与有关，故 ，故从而若，则，即，积分得，其中为常数。11、一个底半径为、高为的开口圆柱形水桶，在高处水桶底面处有两个小孔(两孔的连线与水桶的对称轴相交，的单位都是)，问此桶最多能装多少水?解: 不妨设水桶所占的空间区域为，捅壁上的小孔位于两点出，任取，记，则过三点的平面方程为，若将桶倾斜，并注入水，使其中的水平面与重合时，桶中所装的水所占的空间区域为，其中。(1)、若，则桶中所装的水之体积为 ；(2)、若，则桶中所装的水之体积为 ；， 从而桶中所装的水之体积为，由于，故当时，桶中所装的水之体积最

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