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文档简介

1、稀疏表示理论基础稀疏编码模型解析稀疏编码问题的目的是给定字典 D，计算对信号 x 的最稀疏表示系数 。本节讨论稀疏编码问题的几种解析方式。最大后验概率估计稀疏性约束的表达方式： （1）其中 s 表示稀疏性指标，上述模型也可以转换为正则化表达方式： （2）其中表示正则化参数 ，用于均衡稀疏性和稀疏表示误差。 公式(2)的稀疏表示模型可以理解为对稀疏表示系数 的最大后验概率估计： （3）假设观测信号 x 具有加性零均值高斯噪声，则： （4） 的先验概率模型为：压缩编码长度最小化 从信号编码角度分析，稀疏编码相当于信号在稀疏约束下的压缩编码。设已知字典 D，对图像 X 进行压缩，一种方法是对重建系数

2、 A 和残差 X-DA 进行无损编码；或者采用有损编码的方式，对 A进行编码，得较好的近似重建 X DA。以有损编码为例，多数压缩编码包含两部分：计算概率阶，指定 A 的概率P(A)；编码阶段，计算具有 L(A)长度的编码 C(A)，并确保 L(A)尽可以小。霍夫曼编码给出了最好的解决方案：L(A) =-log P(A) 。可见，现代压缩理论是通过 P(A)的最大化来计算系数 A。由此可得，有损压缩相当于确保在一定压缩误差 条件下的最大化概率 P(A)问题。对 X 的每个样本进行压缩处理，估计每个样本 xi的最优压缩系数 i可表示为下列优化问题： （5）选择 ，进行无损压缩，需要考虑重建残差x

3、i-Di。因为 ，编码长度转换为： （6）计算最优化系数 i，相当于解决 minL ( xi,i)的估计问题，此问题与上公式的 MAP 问题一致，根据上节分析，无损压缩问题又与公式的稀疏表示模型一致。 稀疏表示问题的优化算法 稀疏编码问题是基于 2.1 节的稀疏表示模型，并假设字典 D 已知的情况下，输入信号 x 的稀疏表示系数 的估计问题。目前常用的稀疏编码问题的优化算法多是基于最优化方法、匹配追踪和贝叶斯方法构造的，大概可归纳为以下三类：针对 l0范数最小化问题提出的贪婪算法；针对 l1范数最小化问题提出的线性规划最优化算法；统计优化算法。 为简化表达，本文假设字典 D 的每个原子是标准化的（l2范数大小为 1）。贪婪算法 多数算法都是针对下述问题提出的：常用的计算方法主要为贪婪算法。代表性的有 MP算法、OMP算法及改进算法。 匹配追踪MP 贪婪算法的核心思想是在每次迭代过程中，选择与当前残留误差最相关的原子。正交匹配追踪 OMP 贪婪算法的核心思想也是在每次迭代过程中，选择与当前残留误差最相关的原子，相对 MP 算法改进之处在于：将选中的原子正交投影到已被选择的原子张成的空间中；之后重新计算残留误差，循环上述过程即可。如下：其它贪婪算法一般都是对 MP 和 O

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