工程力学2材料力学第3章

1、TSINGHUA UNIVERSITY 范钦珊教育教学工作室 FAN Qin-ShanFAN Qin-Shan s Education & Teaching Studios Education & Teaching Studio 返回总目录返回总目录返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA U

2、NIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 当外力沿着杆件的轴线作用时，其横截面上只有轴力一个内力分量。与轴力相对应，杆件横截面上将只有正应力。TSINGHUA UNIVERSITY 很多情形下，杆件在轴力作用下产生均匀的伸长或缩短变形，因此，根据材料均匀性的假定，杆件横截面上的应力均匀分布，这时横截面上的正应力为 AFxN其中FNx横截面上的轴力，由截面法求得；A横截面面积。 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 考察一橡皮拉杆模型，其表面画有一正置小方格和一斜置小方格 受力后，正置小方块的直角并未发

3、生改变，而斜置小方格变成了菱形，直角发生变化。这种现象表明，在拉、压杆件中，虽然横截面上只有正应力，但在斜截面方向却产生剪切变形，这种剪切变形必然与斜截面上的切应力有关。 TSINGHUA UNIVERSITY 为确定拉(压)杆斜截面上的应力，可以用假想截面沿斜截面方向将杆截开，斜截面法线与杆轴线的夹角设为。考察截开后任意部分的平衡，求得该斜截面上的总内力 TSINGHUA UNIVERSITY 力FR对斜截面而言，既非轴力又非剪力，故需将其分解为沿斜截面法线和切线方向上的分量： FNx和FQ TSINGHUA UNIVERSITY FN和FQ分别由整个斜截面上的正应力和切应力所组成。TSIN

4、GHUA UNIVERSITY 在轴向均匀拉伸或压缩的情形下，两个相互平行的相邻斜截面之间的变形也是均匀的，因此，可以认为斜截面上的正应力和切应力都是均匀分布的。于是斜截面上正应力和切应力分别为 2NPcoscosxFFAAQPsin1sin 22xFFAA其中，x为杆横截面上的正应力;A 为斜截面面积 cosAA TSINGHUA UNIVERSITY 拉压杆斜截面上的应力公式也可以通过考察杆件上的微元而求得。 以相距很近的两横截面和两纵截面从杆内截取微小单元体，简称微元。所取微元只有左、右面上受有正应力x 。 TSINGHUA UNIVERSITY 将微元沿指定斜截面（）截开，令斜截面上的

5、正应力和切应力分别为和 。并令微元斜截面的面积为dA。根据平衡方程有 0nF0tF0sincosdd0coscosddAAAAxx据此可以得到与前面完全相同的结果。 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 设一长度为l、横截面面积为A的等截面直杆，承受轴向载荷后，其长度变为l十l，其中l为杆的伸长量。 实验结果表明：在弹性范围内，杆的伸长量l

6、与杆所承受的轴向载荷成正比。EAlFlP 写成关系式为 TSINGHUA UNIVERSITY 这是描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律。其中，FP为作用在杆件两端的载荷；E为杆材料的弹性模量，它与正应力具有相同的单位；EA称为杆件的拉伸（或压缩）刚度拉伸（或压缩）刚度(tensile or compression rigidity );式中“”号表示伸长变形；“”号表示缩短变形。 EAlFlPTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 对于杆件沿长度方向均匀变形的情形，其相对伸长量 l/l 表示轴向变形的程度，是这种情形下杆件的正应变，用 x

7、表示。 llxEAlFlPPxF llEAllxEAFx/PTSINGHUA UNIVERSITY 需要指出的是，上述关于正应变的表达式只适用于杆件各处均匀变形的情形。llx 对于各处变形不均匀的情形，必须考察杆件上沿轴向的微段dx的变形，并以微段dx的相对变形作为杆件局部的变形程度。TSINGHUA UNIVERSITY这时 PddddxxF xEA xxxxE可见，无论变形均匀还是不均匀，正应力与正应变之间的关系都是相同的。 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 杆件承受轴向载荷时，除了轴向变形外，在垂直于杆件轴线方向也同时产生变形，称为横向变形。

8、实验结果表明，若在弹性范围内加载，轴向应变x与横向应变y之间存在下列关系： xy为材料的另一个弹性常数，称为泊松比泊松比(Poisson ratio),为无量纲量。 TSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITY阶梯形直杆受力如图示。材料的弹性模量E200GPa；杆各段的横截面面积分别为A1A22500mm2，A31000mm2；杆各段的长度标在图中。1杆AB、BC、CD段横截面上的正 应力； 2杆AB段上与杆轴线夹45角 (逆时针方向)斜截面上的正应力和切应力；杆的总伸长量。 TSINGHUA UNIVERSITY1计算各段杆横截面上

9、的正应力 AB段： BC段： CD段： kN4001NxFkN1002NxFkN2003NxF 因为杆各段的轴力不等，而且横截面面积也不完全相同，因而，首先必须分段计算各段杆横截面上的轴力。分别对AB、BC、CD段杆应用截面法，由平衡条件求得各段的轴力分别为： TSINGHUA UNIVERSITY 进而，求得各段横截面上的正应力分别为： 1计算各段杆横截面上的轴力和正应力AB段： BC段： CD段： kN4001NxFkN1002NxFkN2003NxFAB段： BC段： CD段： MPa40Pa10401025001010066322N2AFxxMPa200Pa10200101000102

10、0066333N3AFxxMPa160Pa101601025001040066311N1AFxxTSINGHUA UNIVERSITY2计算AB段杆斜截面上的正应力和切应力 应用拉伸和压缩时杆件斜截面上的应力公式 ： 2sin21cos2xxAB段杆横截面上的正应力为 ： MPa1601x与杆轴线夹45角(逆时针方向)斜截面，45，其上之正应力和切应力分别为 ： MPa80MPa452sin160212sin21MPa80MPa45cos160cos14522145xxTSINGHUA UNIVERSITY2、计算杆的总伸长量 因为杆各段的轴力不等，且横截面面积也不完全相同，因而必须分段计算各

11、段的变形，然后相加。 应用杆件承受轴向载荷时的轴向变形公式 EAlFlPTSINGHUA UNIVERSITY2、计算杆的总伸长量EAlFlP计算各段杆的轴向变形分别为： 33N1 11961-3400 10300 10m200 102500 100.24 10 m0 24mm.F llEAmm600m100.06m1025001020010300101003-693322N22.EAlFlmm210m100.12m1025001020010300102003-69333N33.EAlFl杆的总伸长量为： mm30mm0.120.0624031.iillTSINGHUA UNIVERSITY三

12、角架结构尺寸及受力如图所示。其中FP22.2 kN；钢杆BD的直径dl25.4 mm；钢梁CD的横截面面积A22.32103 mm2；二者的弹性模量E200GPa。杆BD与CD的横截面上的正应力。 TSINGHUA UNIVERSITY1受力分析，确定各杆的轴力 首先，对组成三角架结构的构件作受力分析，画出受力图。因为B、C、D三处均为销钉连接，故BD与CD杆均为二力构件 由平衡方程解得二者的轴力分别为： 0 xF 0yF kN4031N10222kN4031N1022222PNPN.FFFFCDBD其中负号表示压力。 TSINGHUA UNIVERSITY2计算各杆的应力 应用拉、压杆件横截

13、面上的正应力公式，BD杆与CD杆横截面上的正应力分别为： BD杆 CD杆 MPa062Pa100621025.41043144662321NN.dFAFBDBDBDx MPa759Pa1075910103221022266332NN.AFAFCDCDCDx其中负号表示压应力。 TSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 例如，对于三角架结构，前面已经计算出拉杆BD和压杆CD横截面上的正应力。现在可能有以下几方面的问题：在这样的应力水平下，二杆分别选用什么材料，才能保证三角架结构可以安全可靠地工作

14、？在给定载荷和材料的情形下，怎样判断三角架结构能否安全可靠的工作？在给定杆件截面尺寸和材料的情形下，怎样确定三角架结构所能承受的最大载荷？ 为了回答上述问题，仅仅计算应力是不够的，还必须通过实验研究材料在拉伸与压缩载荷作用下的力学性能；在此基础上，建立杆件在轴向载荷作用下的强度设计准则。 TSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 为了得到应力一应变曲线，需要将给定的材料作成标准试标准试样样（specimen）,在材料试验机上，进行拉伸或压缩实验拉伸或压缩实

15、验（tensile test,compression test）。 拉伸试样可以是圆柱形的。 若试验材料为板材，则采用板状试样。其中l0称为标准长度标准长度或称标距标距（gage lensth）；d0为圆柱形试样标距内的初始直径；A0为板试样标距内的初始横截面面积。 TSINGHUA UNIVERSITY 为了得到应力一应变曲线，需要将给定的材料作成标准试样标准试样（specimen）,在材料试验机上，进行拉伸或压缩实验拉伸或压缩实验（tensile test,compression test）。 试验时，试样通过卡具或夹具安装在试验机上。试验机通过上下夹头的相对移动将轴向载荷加在试样上。 T

16、SINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY脆性材料TSINGHUA UNIVERSITY韧性金属材料TSINGHUA UNIVERSITY聚合物TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYp 比例极限e 弹性极限TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYs 屈服强度TSINGHUA

17、UNIVERSITY0.2条件屈服应力塑性应变等于0.2时的应力值TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY应变硬化TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY00100%ulll强度指标(失效应力) 韧性材料0S 脆性材料0b韧性指标延伸率TSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSIT

18、YTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY

19、结构尺寸及受力。设AB、CD均为刚体，BC和EF为圆截面钢杆，直径均为d。若已知载荷FP39 kN，杆的直径d25 mm，杆的材料为Q235钢，其许用应力160MPa。此结构的强度是否安全。 TSINGHUA UNIVERSITY1分析危险状态 该结构的强度与杆BC和EF的强度有关，在校核结构强度之前，应先判断哪一根杆最危险。 现二杆直径及材料均相同，故受力大的杆最危险。 为确定危险杆件，需先作受力分析。 根据受力图，应用平衡方程 00DAMMTSINGHUA UNIVERSITY1分析危险状态 根据受力图，应用平衡方程 00DAMM有 03753PN1FF.0sin302383N2N1.FF

20、由此解出 kN231N10231N75331039753333PN1.FF74.1kNN1074.1Nsin30238310231sin302383sin30238333N1N1N2.FFF可见杆EF受力最大，故为危险杆。 TSINGHUA UNIVERSITY2计算危险构件的应力杆EF横截面上的正应力 3N2N222-6264 74 1 1025104151 10 Pa151MPa.FFdA 因为材料的许用应力160MPa，而危险构件的最大工作应力为151MPa，所以满足强度条件 所以，危险构件EF杆的强度是安全的，亦即整个结构的强度是安全的。 maxTSINGHUA UNIVERSITY结

21、构尺寸及受力。设AB、CD均为刚体，BC和EF为圆截面钢杆，直径均为d。若已知载荷FP39 kN，杆的材料为Q235钢，其许用应力160MPa。BC和EF二杆所需的直径。TSINGHUA UNIVERSITY二杆材料相同，受力不同，故所需直径亦不同。设杆BC和杆EF的直径分别为d1和d2，则由强度条件可以得到 421N1dFBC 422N2dFEF应用上例中受力分析的结果 kN231N1.F74.1kNN2FTSINGHUA UNIVERSITY 421N1dFBC 422N2dFEFkN231N1.F74.1kNN2F代入上述二式，得到 mm815m10815101601023144363N

22、11.Fd mm324m10324101601017444363N22.FdTSINGHUA UNIVERSITY结构尺寸及受力。设AB、CD均为刚体，BC和EF为圆截面钢杆，直径均为d30 mm 。杆的材料为Q235钢，其许用应力160MPa。确定此时结构所承受的许可载荷PTSINGHUA UNIVERSITY根据前面的分析，EF杆为危险杆，由平衡方程得到其受力 PPN1N1N291sin3023753833sin302383sin302383FFFFF.应用强度条件有 42N2maxdFTSINGHUA UNIVERSITY应用强度条件有 42N2maxdF由此得到 2P2N29144dF

23、dF.于是有 52kN59N105259N91410160103091436622P.dF结构的许可载荷 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY返回返回返回总目录返回总目录TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY 哪些横截面上的正应力可以应用拉伸应力公式计算？哪些横截面则不能应用。 TSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITYTSINGHUA UNIVERSITY