[推荐学习]2022版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.5简单的三角恒等变换第2课时简单的

1、生活的色彩就是学习第2课时简单的三角恒等变换题型一三角函数式的化简例1(1)化简： .(2)cos，那么sin .答案(1)cos 2x(2)解析(1)原式cos 2x.(2)由题意可得，cos2，cossin 2，即sin 2.因为cos>0，所以0<<，2，根据同角三角函数根本关系式可得cos 2，由两角差的正弦公式可得sinsin 2cos cos 2sin .思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看原那么，一看角，二看名，三看式子结构与特征(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点(1)cos(x

2、)，那么cos xcos(x) .(2)假设，且3cos 2sin，那么sin 2的值为()A. BC. D答案(1)1(2)D解析(1)cos xcos(x)cos xcos xsin xcos xsin xcos(x)×()1.(2)cos 2sinsin2sincos代入原式，得6sincossin，cos，sin 2cos2cos21.题型二三角函数的求值命题点1给值求值问题例2(1)(2022·合肥联考)，为锐角，cos ，sin()，那么cos .答案解析为锐角，sin .，(0，)，0<<.又sin()<sin ，>，cos().cos

3、 cos()cos()cos sin()sin ××.(2)(2022·广东)tan 2.求tan()的值；求的值解tan()3.1.命题点2给值求角问题例3(1)设，为钝角，且sin ，cos ，那么的值为()A. B.C. D.或(2)，(0，)，且tan()，tan ，那么2的值为 答案(1)C(2)解析(1)，为钝角，sin ，cos ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin >0.又(，2)，(，2)，.(2)tan tan()>0，0<<.又tan 2>0，0<2<，tan(2)1.tan

4、 <0，<<，<2<0，2.引申探究本例(1)中，假设，为锐角，sin ，cos ，那么 .答案解析，为锐角，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin ××.又0<<，.思维升华(1)给值求值问题的关键在“变角，通过角之间的联系寻找转化方法；(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角(1)，且2sin2sin ·cos 3cos20，那么 .(2)(2022·成都检测)假设sin 2，sin()，且，那么的值是()A. B.C.或 D.答案(1)(2)A解析(1)，且2si

5、n2sin ·cos 3cos20，那么(2sin 3cos )·(sin cos )0，2sin 3cos ，又sin2cos21，cos ，sin ，.(2)因为，sin 2>0，所以2，所以cos 2且，又因为sin()>0，所以，所以cos()，因此sin()sin()2sin()cos 2cos()sin 2×()()×，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2()×()×，又，2，所以，应选A.题型三三角恒等变换的应用例4(2022·天津)函数f(x)4tan xsin·

6、;cos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间上的单调性解(1)f(x)的定义域为x|xk，kZf(x)4tan xcos xcos4sin xcos4sin x2sin xcos x2sin2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2x2sin.所以f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，那么函数y2sin z的单调递增区间是，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.设A，Bx|kxk，kZ，易知AB.所以当x时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减思维升华三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之

7、间的关系；注意公式的逆用和变形使用(2)把形如yasin xbcos x化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性(1)函数f(x)sin(x)2sin cos x的最大值为 (2)函数f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是 答案(1)1(2)解析(1)因为f(x)sin(x)2sin cos xsin xcos cos xsin sin(x)，1sin(x)1，所以f(x)的最大值为1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)，T.9化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用典例(12分)(2022·

8、;重庆)函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性思想方法指导(1)讨论形如yasin xbcos x型函数的性质，一律化成ysin(x)型的函数(2)研究yAsin(x)型函数的最值、单调性，可将x视为一个整体，换元后结合ysin x的图象解决标准解答解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，4分因此f(x)的最小正周期为，最大值为.6分(2)当x时，02x，7分从而当02x，即x时，f(x)单调递增，9分当2x，即x时，f(x)单调递减11分综上可知，f(

9、x)在上单调递增；在上单调递减12分1(2022·青岛模拟)设tan()，那么tan()等于()A2 B2 C4 D4答案C解析因为tan()，所以tan ，故tan()4，应选C.2(2022·全国甲卷)假设cos，那么sin 2等于()A. B. C D答案D解析因为sin 2cos2cos21，又因为cos，所以sin 22×1，应选D.3(2022·福州模拟)tan 3，那么的值等于()A2 B3C4 D6答案D解析2tan 2×36.4tan()，且<<0，那么等于()A BC D.答案A解析由tan()，得tan .又&

10、lt;<0，所以sin .故2sin .5设(0，)，(0，)，且tan ，那么()A3 B2C3 D2答案B解析由tan ，得，即sin cos cos cos sin ，sin()cos sin()(0，)，(0，)，(，)，(0，)，由sin()sin()，得，2.6函数f(x)sin(2x)cos(2x)的图象关于点对称，那么f(x)的单调递增区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案C解析f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，由题意知2×k(kZ)，k(kZ)|，.f(x)2sin.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)应选C.7假设f(x)2t

11、an x，那么f的值为 答案8解析f(x)2tan x2tan x，f8.8假设锐角、满足(1tan )(1tan )4，那么 .答案解析由(1tan )(1tan )4，可得，即tan().又(0，)，.9化简： .答案4解析原式4.10函数f(x)sin x2sin2x (x)的最小值是 答案1解析f(x)sin x(1cos x)2sin(x)1，又x，x，f(x)min2sin 11.11函数f(x)cos2xsin xcos x，xR.(1)求f()的值；(2)假设sin ，且(，)，求f()解(1)f()cos2sincos()2×.(2)因为f(x)cos2xsin x

12、cos xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin(2x)，所以f()sin()sin()(sin cos )又因为sin ，且(，)，所以cos ，所以f()(××).12(2022·安徽)函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2xsin1，所以函数f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)的计算结果知，f(x)sin1.当x时，2x，由正弦函数ysin x在上的图象知，当2x，即x时，f(x)取最大值1；当2x，即x时，f(x)取最小值0.综上，f(x)在上的最大值为1，最小值为0.*13.函数f(x)2cos2x12cos xsin x(01)，直线x是f(x)图象的一条对称轴(1)求的值；(2)函数yg(x)的图象是由yf(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，假设g，求sin 的值解(1)f(x)2cos2x12