课堂探究 1.4.2微积分基本定理

1、.课堂探究探究一 利用微积分根本定理求简单的定积分1微积分根本定理是求定积分的一种根本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意y的原函数是yln x根本过程分为两步：求fx的原函数Fx；计算FbFa的值2求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量，例如在定积分x2tdx中，积分变量是x，m和t是常数【典型例题1】 计算以下定积分：1xdx；21t3dt；3dx；4cos xexdx；5x12dx；6t2dx.思路分析：求原函数时要和求导数运算联络起来，充分借助导数公式和导数运算法那么解：1x，xdxx2202.21t3，1t3dt.3ln x，dxln xln

2、 2ln 1ln 2.4sin xexcos xex，cos xexdxsin xex010e1e.5x12x22x1，x22x1，x12dx.6t2xt2，t2dxt2xt2.探究二 利用微积分根本定理和定积分的性,质求定积分1求复杂函数定积分要根据定积分的性质1有限个函数代数和差的积分，等于各个函数积分的代数和差，即f1x±f2x±±fnxdxf1xdx±f2xdx±±fnxdx.2常数因子可提到积分符号外面，即kfxdxkfxdx.3当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即fxdxfxdx.4定积分对区间的可加性，假设ca，

3、b，那么有fxdxfxdxfxdx.2对被积函数是分段函数的定积分，根据定积分“对区间的可加性，分段积分再求和3对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分4当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解，与复合函数的求导区分开来例如：对于被积函数ysin 3x，其原函数应为ycos 3x，而其导数应为y3cos 3x，再如：被积函数ye2x时，其原函数是ye2x，而其导数是y2e2x.【典型例题2】 计算以下定积分：1fxdx，其中fx2|x4|dx；3 0sin2xdx；4e2xdx；5dx.思路分析：首先对被积函数进展恰当的化简、变形，然后再求定积分解：1fxdxx

4、2dx4dx4x4；2|x4|dx4xdxx4dx224；3sin2xdxdx0；4e2xdxe4；5 dxdx|sin xcos x|dx|sin xcos x|dx|sin xcos x|dxcos xsin xdxsin xcos xdxsin xcos xcos xsin x22.探究三 利用定积分求平面图形的面积1利用定积分求平面图形的面积时，一般步骤是：画草图；求曲线的交点定出积分上、下限；确定被积函数，但要保证求出的面积是非负的；写出定积分并计算2求由一条曲线yfx和直线xa，xbab及y0所围成平面图形的面积S.图中，fx0，fxdx0，因此面积Sfxdx；图中，fx0，fxd

5、x0，因此面积Sfxdx；图中，当axc时，fx0，当cxb时，fx0，因此面积S|fx|dxfxdxfxdx.3求由两条曲线fx和gx，直线xa，xbab所围成平面图形的面积S.图中，fxgx0，面积Sfxgxdx；图中，fx0，gx0，面积Sfxdx|gx|dxfxgxdx.【典型例题3】 1求抛物线yx2x与x轴所围成图形的面积；2求曲线ycos x与两坐标轴所围成图形的面积；3求直线y2x3与抛物线yx2围成图形的面积思路分析：画出图形，结合图形分析定积分的积分区间，同时注意面积与积分的关系解：1由图形可知，所求面积为S|x2x|dxxx2dx.2画出曲线ycos x，由于当0x时，cos x0，x时，cos x0，故图形的面积为|cos