几何板的使用

1、三角形内角和定理的研究一、 课题引入（利用几何画板探索三角形内角和定理）我们已学习过三角形内角和定理为180 这条定理，大家有没有想过，最初发现这一规律的人，是用什么办法得到这一结果的呢？（按照课本剪纸的办法，通过不断的测量不同的三角形而猜想得到结果.等等）下面我们就从最原始的办法入手，一个角度一个角度的测量，然后计算不同的三角形的内角和，看看结果到底如何。1、 首先，我们画出ABC（图1）2、 接下来，我们测量出它的三个内角的度数（图2）3、 计算ABC三个内角的和（图3）4、 改变ABC的形状，把测量所得结果列表观察，得出结论（图4）5、 至此，我们可以得到猜想：三角形内角和为180。（利

2、用课本上介绍的方法可以从理论上证明结论的正确性） 。二、知识点讲解。1、 软件介绍：几何画板软件是由美国Key Curriculum Press公司制作并出版的几何软件，它的全名是几何画板-21世纪的动态几何，由人民教育出版社汉化。 几何画板是一个适用于几何（平面几何、解析几何、射影几何等）教学的软件平台。它为老师和学生提供了一个探索几何图形内在关系的环境。它以点、线、圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等，它能显示或构造出其它较为复杂的图形。它的特色首先能把较为抽象的几何图形形象化，但是它最大的特色是动态性，即：可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆）

3、，而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）都保持不变，这样更有利于在图形的变化中把握不变，深入几何的精髓，突破了传统教学的难点。2、 入门知识（1）双击桌面上的几何画板图标，打开几何画板，如图5；（2）工具框中的工具是使用最多的工具，下面我们逐一介绍工具框中的各种工，具的使用方法第一个工具是选择工具 ，用来选择一个对象，按住它向右拖，可以发现还有另外两个工具和 ，分别是用来对对象进行旋转和缩放的工具。第二个工具是画点工具。将鼠标移动到 ，并单击鼠标左键就选择好了画点工具，然后再将鼠标移动到工作区并单击就可以画一个点。第三个工具是画圆工具。将鼠标移动到 ，并单击鼠标左键就选择好了画圆工具，然

4、后再将鼠标移动到工作区，按住鼠标左键不放并拖动鼠标到另一位置后松开鼠标左键，就可以画一个圆。第四个工具是画线段工具。将鼠标移动到 并单击鼠标左键就选择好了画线段工具，然后再将鼠标移动到工作区，按住鼠标左键不放并拖动鼠标到另一位置后松开鼠标左键，就可以画一条线段，按住 向右拖，可以发现还有另外两个工具 和 ，分别是用来作射线和直线的工具。第五个工具是文本工具。将鼠标移动到 ，并单击鼠标左键就选择好了文本工具，双击工作区中的文本就可以改变文本的格式。第六个工具是对象信息工具。将鼠标移动到 ，并单击鼠标左键就选择好了对象信息工具。将鼠标移动到工作区，并双击工作区中的对象可以得到对象的有关信息。第七个

5、工具是脚本工具（可能有的同学的工具栏上没有出现这一工具，这是由于尚未正确设置脚本工具目录的缘故）。将鼠标移动到 ，并单击鼠标左键就选择好了脚本工具（此工具往往能够起到事半功倍的效果）。（3）接下来我们介绍功能菜单。几何画板的功能菜单结构与大多数Windows应用程序差不多。它一共有九个下拉菜单，分别为文件，编辑，显示，构造，变换，测算，图面，窗口，帮助。文件，编辑，帮助下拉菜单与大多数应用程序的结构差不多，都包括了保存，复制，粘贴，帮助等常见功能。其它几个菜单是几何画板的精髓部分。（注：由于翻译的原因，可能菜单名称与此有一点差距，但其功能完全一样！）3、 接下来，我们以三角形内角和定理为例来学

6、习它的部分功能。（1） 首先，我们画出ABC（图1）。我们有两种办法画出这个三角形。方法一：选择画点工具 ，依次在工作区内画三个点A、B、C，按住Shift键的同时，选择A、B、C，单击构造菜单下的线段，即可画出此三角形；方法二：选择线段工具 ，然后在工作区内按下鼠标左键拖动一定距离，松开鼠标，作出一条线段AB，接下来从B点出发，再作一条线段BC，再把AC连结起来，即可画出此三角形。（2） 接下来，我们测量出它的三个内角的度数（图2）按住Shift键的同时，依次选择点B、A、C，然后选择测算菜单下的角度菜单项，即可测量出BAC的度数；用同样的方法可以测出ABC和ACB的度数。（注意顶点一定要作

7、为初选择的第二个字母）（3） 计算ABC三个内角的和（图3）选择测算菜单下的计算菜单项，弹出一个计算器（如图6）。依次单击BAC=97.0 ，+，ABC=45.0 ，+，ACB=38.0 ，再按确定按钮，即可计算出 ，拖动A点发现ABC三个内角的度数发生了改变，然而其三个内角的和始终为180 。（4） 改变ABC的形状，把测量所得结果列表观察，得出结论（图4）依次选择BAC=97.0 ，ABC=45.0 ，ACB=38.0 ， ，然后选择测算菜单下的菜单项固定成表格，将上述四个因素固定成表格的形式。改变A点位置，从而改变各内角的度数，再选中表格，然后选择测算菜单项下的增加表格的项，把新得到的结

8、果列入表格中（亦可直接双击表格达到增项的目的）。（5） 请大家观察，三角形三个内角的和有什么规律？ 三、练习：利用几何画板探索四边形内角和为多少度？五边形内角和为多少度？n边形内角和为多少度？第二讲 几何画板基本知识（二）三角形中的有关线段研究一、三角形的角平分线三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（注意：此处角平分线是指线段而不是射线）一个三角形有三条内角平分线。下面我们来画出这个三角形的三条角平分线。1、 首先，我们画出一个三角形ABC（图1）2、 按住Shift键，依次选择点B、A、C，然后选择构造菜单下的角平分线菜单项，作出BAC

9、的平分线AM。（注意：此时为一条射线），如图2；3、 按住Shift键，选择射线AM和线段BC，单击构造菜单下的交点菜单项命令，画出两条线的交点，用文本工具 指向此点，当手指变黑时，单击此交点，把标签显示出来，标为D。如果不是D或要改变为其它的字母，可用文本工具双击该标签，弹出一个对话框，如图3。 4、 用选择工具 选中射线AM，然后选择显示菜单下的隐藏射线菜单项，则射线AM被隐藏。 5、 按住Shift键，选择A点和D点，然后选择构造菜单下的构造线段菜单项，则ABC中A的平分线就画了出来。 6、 下面我们来检验一下，线段AD是否真的是ABC中BAC的平分线。由定义可知，如果AD是ABC的角平

10、分线，那么有BAD=DAC= 1/2BAC。分别测量出各个角的度数，如图5，果然不出所料7、 请大家自己画出ABC中B的平分线。参考图6。8、 接下来，我们再画出ABC中C的平分线。我们当然可以利用与前面同样的方法来画出这条角平分线。如图7大家仔细观察这个图，你发现了什么规律？改变三角形的形状，这条规律仍然成立吗？（规律：三角形三条内角平分线相交于一点） 9、 既然这样，我们还可以考虑用其它的方法来画出ABC中C的平分线。先作出线段AD和BE的角平分线的交点O，然后单击线段工具 ，向右拖动，选择射线工具 ，再单击选择工具 ，按住Shift键的同时，选择点C和点O（注意一定要先选C再选O），然后

11、选择构造菜单下的射线菜单项，作出射线CO，然后作出射线CO与AB的交点F，隐藏射线CO再连结CF，得到ACB的平分线CF。（这种画法是根据三角形三个内角的平分线交于一点而想到的） 10、 如果大家觉得作出的三角形都是黑色线段，不够美观，你可以选中要改变颜色的线段或其它对象，然后选择显示菜单下的颜色菜单项，选择一种你喜欢的颜色，则所选对象的颜色立即发生改变。同时，我们也可把某些线段用虚线表示，只需要选择显示菜单下的线类型菜单项，选中虚线，即可实现。（如图8）二、三角形的中线 在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。同样，此处是指线段，而不是射线或直线。 1、 先作出一个三角

12、形ABC，如图92、 选择线段BC，然后选择构造菜单下的中点菜单项，作出BC的中点D，选择点A和点D，选择构造菜单下的线段菜单项，作出线段AD，则得到ABC中BC边上的中线。（如图10）3、 由定义知，如果AD是ABC的中线，那么有BD=CD= 1/2BC，接下来我们来测量其长度。选择B点和D点，再选择测量菜单下的距离菜单项，量得BD的长度，同样可以量得CD的长度和BC的长度。（如图11）如果想把其中的距离 两个字去掉，可用文本工具 双击测量结果，弹出对话框（如图12），单击文本格式按钮，出现对话框（如图13）在第一个文本框中输入BD，按确定按钮即可。对其它两个文本可实行同样的操作，结果如图1

13、4；4、 请大家自己作出AC和AB边上的中线BE和CF。（参考图15）5、 通过图15，我们可以得出什么结论？6、改变三角形的形状，结论仍然成立。三、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。1、 首先我们作一个锐角三角形ABC，（如图16）2、 选择A点和线段BC，再选择构造菜单下的垂直线菜单项，作出线段BC的垂线，选择该直线和线段BC，作出它们的交点D，隐藏直线AD，再选中A点和D点，构造出线段AD，则AD就是ABC中BC边上的高（图17）。3、 同样，我们可以测量出BDA=CDA=90（如图18） ，从而符合三角形高的定义。4、

14、为了作出图中的直角符号，需要花费一番心思。作一条较短的线段EF（此处为了节省劳动时间，把作这个直角符号的制作过程录成脚本。选择文件菜单下的新脚本菜单项，打开一个新脚本窗口（如图19），单击录制按钮，即可将接下来所做的工作记录下来）。5、 选择点D和线段EF，单击构造菜单下的以圆心和半径画圆菜单项，作出一个圆，此圆交AD于点G，交BD于点H，连结G和H，按住Shift键，选择点D和线段GH，再双击线段GH，将它标记为反射中心，然后选择变换菜单中的反射命令，作出D点关于线段HG的对称点D，连结DH和DG，得到图20。调整EF到合适的长度，并隐藏线段EF、GH，点H、G、D和圆D，即可得到图18中的

15、直角符号。此时转到脚本窗口，并单击停止按钮，即可将此过程录制完毕。6、 你可以在在这里输入您的注释栏中加入你自己的注解，例如将此脚本命名为直角标记并在后面注明此脚本由某某设计。然后将此脚本以一个名字保存起来，例如以直角标记.gss作为名字保存。（图21）7、 接下来，我们用同样的方法作出AC边上的高BE，然后再来利用刚才制作的脚本直角标记.gss，标记直角符号。先作一条短线段MN。同时选到点E、线段MN、BE和AC（注意一定要按顺序选择），打开刚才设计的脚本直角标记.gss，在这里，可以有三种选择单步，播放，快放，选择单步按钮，即可自己控制一步一步的把这个直角标记画出来，选择播放按钮，由电脑控

16、制一步一步的把它完成，而选择快放按钮，则由电脑在极短的时间内把结果呈现出来。任选取一种方式都可以达到目的。8、 请大家把AC边上的高BF作出来，并标记它们角度。9、 此时，大家又可发现什么规律吗？（可能有学生回答：三角形三条高线交于一点）那么这个结论正确吗？（通过观察不同的三角形：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形（如图22），得到结论：三角形三条高或高的延长线交于一点。第三讲 几何画板基本知识（三）记录的使用下面我们来学习如何生成一个记录文件并灵活使用这个记录文件我们来将一个三角形的作图过程录制下来，以后要作一个三角形的时候，就可以直接拿出来使用。首先请大家打开几何画板，出现一个空白的工作区

17、，然后用鼠标单击文件菜单下的新记录菜单项，新建一个记录文件如图1。请大家点击新记录窗口的录制按钮，开始把以下作图过程记录下来。选中线段 工具，依次拖动，画出不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接，构成一个三角形ABC，此时记录窗口会同步记下作图过程（如图2）。点击记录窗口的停止按钮，结束记录过程。此时，仔细观察记录窗口，发现它主要由5部分组成，标题栏写着记录01.gss，表示是此记录文件名，后缀为*.gss表示为几何画板的记录文件，如果选择文件菜单存盘命令，可将它以另一个名字保存，例如将它存为三角形.gss，注意：前缀最多为8个英文字符（或四个中文字符）；接下来一共有五个按钮，刚才我们已经用?

18、quot;录制和停止 这两个按钮，左边三个按钮分别为阶进，播放和快进，这三者的区别在于：阶进按钮，需要自己点击鼠标，一步一步的画出图来；播放按钮，只需选定所需条件后，点击播放，则由电脑一步一步的显示作图过程；而快进按钮，则一步到位，立即显示出作图结果。再接下来为一个文本框，写着请在这输入注释，即要求你输入有关这个记录的说明，例如我们在此输入三角形。再接下来，出现了一个黑色框，其中反白显示着前提，点A，点B，点C，这表明如果要执行这个记录，必须首先按照此顺序选中三个点，才能保证记录能够正确执行，否则就会弹出一个对话框（如图4）提示你要给定合适的前提；再接下来的框中记录了你刚才作图的步骤。要想使用

19、这个记录，你可以在工作区中依次选中三个点，点击播放按钮，即可作出一个三角形。如果我们想以后也能使用这个记录，则必须把它存盘。我们在安装程序目录下新建一个目录 tools，将该记录文件存放在该目录中，等下我们会用到它。练习11）画一个锐角三角形，作出它的三条角平分线，取其交点（内心），并将此过程记录下来，将记录文件保存在目录tools下面；2）画出一个锐角三角形，作出它的三条中线，并取其交点（重心），将记录文件保存在目录tools下面；3）画出一个锐角三角形，作出它的三条高，并取其交点（垂心），将记录文件保存在目录tools下面（不要求标记直角符号）；4）画出一个锐角三角形，作出它的三条垂直平分

20、线，并取其交点（外心），将记录文件保存在目录tools下面；（注意用不同的颜色表示不同类型的线条）为了方便的使用我们已经录制好的记录，我们有必要把它放在某个固定的地方，以供随时调用。大家注意到，在工具栏中有一个工具 ，称之为记录工具（可能有的同学的工具栏中没有，那只是由于没有设置好工具目录的缘故）请大家选择显示菜单，出现图5所示的下拉菜单，再选择参数选择菜单项，弹出如图6所示对象参数选择对话框，再点击其它按钮，弹出如图7所示高级参数选择对话框，看到中间的记录工具目录：标签，点击设置按钮，可以设置记录文件所在的目录，点击清除按钮，可将刚才所做的设置清除。设置好记录工具目录后，按继续按钮，可返回图

21、6所示画面，再按确定按钮，可以发现你的工具栏中多了一个图标 ，此时，用鼠标单击此图标向右拖动，可以出现如图8所示画面，选中三角形，即可在工作区通过对鼠标的拖动得到一个三角形。下面请大家设置好自己的脚本工具目录，并按照刚才的步骤作出一个三角形。练习2利用记录工具，在同一个锐角三角形中作出三角形的三条中线，三条高，三条角平分线，三条垂直平分线（用不同的颜色表示），并标出四个交点。思考：这四个交点有可能重合为一点吗？如果可能，此时该三角形是什么形状的三角形？参考图形：在上面探索三角形的形状的过程中，我们看到，我们猜想到结果是一个等边三角形，然而却很难控制它，使它成为一个等边三角形，下一节课我们将学习

22、如何使我们的结果更加精确，更有说服力。第四讲 几何画板基本知识（四）操作类按钮的使用打开编辑菜单，再点击操作类按钮，可见到五个菜单项，移动，动画，隐藏显示，系列，演示按钮。这五个按钮是把几何画板用活的最关键的部分。下面我们来分别介绍这五个菜单项的使用一、 灵活运用移动按钮。1、下面我们先来学习如何实现一个三角形与另一个三角形重合。1) 作水平线段EF，在EF上任取一点G，并度量出线段EG的长；2) 选中度量出的线段EG的长度，然后选择变换菜单下的标记距离；3) 任作一个三角形ABC；4)选中ABC，并选择变换菜单下的平移，弹出一个对话框（如图2）在按标记的距离前打上勾，再按确定按钮。则ABC向

23、右平移得到了另一个ABC。如图1。5) 按住Shift键，依次选择G点和E点（注意先后顺序），然后选择编辑菜单下的操作类按钮-移动，弹出一个对话框（如图3）。在这里可以根据不同的需要选择移动的速度为慢速，中速，快速，急速。我们选择慢速，再按确定按钮，出现了一个按钮移动G-E。同理选择G点和F点，作出另一个按钮移动G-F（如图1）。6) 双击移动G-E，可使两个三角形重合，再双击移动G-F，又可使这两个三角形分开。 二、动画按钮的使用1、构造单点运动的按钮1) 作一条线段AB，任取AB上一点C。2）按住Shift 键的同时选择点C和线段AB，并单击编辑菜单下的操作类按钮菜单项，再选择动画弹出一个

24、对话框如图4，这里有三个下拉框供选择。点C移动，有三种选择双向，单向，一次，表示点C是在线段上双向运动还是只向一个方向运动或只运动一次。沿着线段j表示点C运动的路径，而快速地，正常地，慢慢地表示点C运动的速度。这里可以根据需要而选择相应的项。例如我们选择双向，快速地运动，再按确定按钮，再出现如图5所示按钮。双击此按钮，可以见到C点在AB上快速地双向运动。3）如果我们想把画面变漂亮一点，此处可以充分发挥你的创意。例如我们可以利用画图软件画一个圆，然后把它复制，再回到几何画板中选中C点，选择编辑菜单下的粘贴命令。则此圆将随着C点的运动而运动。如果你把线段AB和C点都隐藏起来，则画面上就只见到一个圆

25、在运动。类似的，我们可以把其它图片粘贴过来，从而实现动态画面。4) 制作动画按钮的要求是：自由的点在某一条轨迹上运动。所谓自由点，是指它本身可以在某一条轨迹上任意移动。例如，在线段上任取一点，则该点可以在该线段上任意移动，在圆上任取一点，我们又可实现该点在圆上任意移动。如果把我们把希望移动的对象粘贴在这一点上，则可实现该对象按照相应的轨迹移动。如果给定的条件不足或有多余，则动画菜单以恢色显示，表示暂时不能用，其它菜单与此有相似的特点。5) 在学习任何一个菜单操作之前，我们必须弄清楚它所需要的前提条件，而这些前提条件往往与数学中的要求一至。例如作一个圆，就必须告诉画板，你所作的圆的圆心在哪里，半

26、径是多少，想作一条垂线就应该指明过哪一点作哪条线的垂线，否则该菜单是恢色显示的。因此，当出现异常问题时，应该首先考虑是否给定条件不足或有多余。6) 以上所作的移动按钮和动画按钮，我们都可以修改它的标签，以使它符合一定的意义，让我们下次使用或其它人使用的时候一看就知道该按钮的作用。例如，我们可以将例1中的移动G-E按钮改名为合拢，而将移动G-F按钮改名为分开，这样，这两个按钮的作用就很清晰了，其它类似。2、构造多点驱动的按钮有时，我们希望多个运动同时产生，这时我们可以借助于几何画板的多驱动点运动的功能来实现。当然，所谓多驱动点运动，也只是在选择对象的时候有所不同而已。例如，我们作一条线段AB，任

27、取AB上一点C，再作一个圆O，任取圆O上一点D，我们希望点C在AB上运动的同时点D也在圆O上运动。按住Shift键的同时依次选择点C，线段AB，点D和圆O，选择编辑菜单下的操作类按钮，再点击动画菜单项，弹出一个对话框如图6。单击第一行文字，可出现一个与图4类似的对话框，进行相应的设置，再单击第二行文字，可进行类似的设置。最后按动画按钮，出现一个按钮如图7，双击此动画按钮，可见到点C在线段AB上运动，而此时点D也在圆O上运动。如果我们把一些对象粘贴在运动的点上，再把它的运动路径隐藏起来，即可产生与Flash类似的动画。产生多驱动点运动时选择对象的顺序是：动点P1，轨迹T1；动点P2，轨迹T2;动

28、点Pn，轨迹Tn；三、隐藏/显示按钮的使用。 在画板文件中可以出现多个页面吗？一个几何画板文件中可以放置多少内容？答案是：利用隐藏/显示按钮，可以设置多个页面，放置无限多的内容。 例如，我们可以选择整个画面的内容，然后选择编辑菜单下的操作类按钮，再点击隐藏/显示，即可出现两个按钮，其中一个为显示，另一个为隐藏，双击隐藏按钮，可将整个画面都隐藏，再双击显示按钮，则又可出现整个画面。这样我们就可以把一些暂时不希望出现，但在操作过程中需要出现的内容利用隐藏/显示按钮把它先隐藏起来，需要用的时候再让它显示。当然，对于一些在操作过程中不需要出现的对象，我们可以把它直接隐藏掉。灵活运用隐藏/显示按钮，可以

29、让你的画板文件容量更大，更灵活和具有交互性。当一个画面中出现了多个隐藏/显示按钮的时候，我们有必要把它们用不同的名字表示。可以用文本工具修改其标签，赋予它们不同的意义。做到见名知义。四、 系列按钮的使用在学习了移动，动画，隐藏/显示按钮的使用之后，我们可以利用系列按钮把上述操作自动连续执行。1、 下面实现一个三角形内部闪动的效果。1） 构造一个ABC，并选择三个顶点，然后选择作图菜单下的多边形内部菜单项，把ABC内部作出来，并选择一种填充颜色（例如红色）2） 选中三角形内部，然后把它做成一个隐藏/显示按钮，3)用对象信息工具 双击显示按钮，弹出一个对话框。在序列中的延时标签后的框中输入1，表示

30、如果此按钮作为一个系列中的某个按钮的话，它将延时一秒执行，当然可以根据需要把此数据更改，其取值范围是0到9之间的整数。4） 对隐藏按钮作同样的操作。再次选中三角形内部，作多两对隐藏/显示按钮，并分别改名为隐藏1，显示1，隐藏2，显示2，隐藏3，显示3。5） 依次选中隐藏1，显示1，隐藏2，显示2，隐藏3，显示3，再单击编辑菜单下的操作类按钮，选择系列菜单项，出现一个按钮系列，双击此按钮，可以看到我们所要求的效果。结果如图2、 我们也可以把其它按钮合起来用。例如，在图1中，可以实现把ABC与ABC分开，再让它闪动三次，以实现强调的效果。参照上面的操作即可完成。五、演示按钮菜单项此菜单项其实没有多

31、大意义，因为一般都是直接双击按钮就可以进行演示了。除非没有鼠标的情况之下才使用它。以上介绍了操作类按钮的基本使用方法，根据这些基本的方法，再结合其它程序，你可以设置出非常复杂的图形，这一切全取决于你的创意。练习：试灵活运用操作类按钮设计一个几何画板文件。第五讲 几何画板基本知识（五）等腰三角形中有关性质一、 我们先来学习如何用几何画板画出一个等腰三角形。1、 任意画一条线段AB作为等腰三角形的一条腰2、 以A点为圆心，AB长为半径画一个圆3、 在圆上任取一点C，连结AC和BC，即可得到等腰三角形ABC。其中BC为底边。（如图1）4、 选择圆A并把它隐藏起来，即可使屏幕上只留下ABC。思考：你还

32、能用其它方法作出一个等腰三角形吗？二、等腰三角形的有关性质分别测量ABC的三个内角（图2），观察各内角之间有什么关系？ 2、 任作一个ABC，度量出三边AB、BC、CA的长度，作顶角BAC的平分线，BC边上的中线和BC边上的高，拖动A点，使AB与AC相等，此时你发现了什么？3、 分别作出等腰三角形ABC两底角的平分线BE和CF，并度量出它们的长度，你能得出什么结论？为什么？（如图4）4、 分别作出等腰三角形ABC两腰上的高BG和CH，它们相等吗？为什么？（如图5）5)分别作出等腰三角形ABC两腰上的中线BT和CS，是否也可得到同样的结论？（图6）6、 AD为等腰ABC底边上的高，P为AD上任意

33、一点，问P点到腰AB与AC的距离PE和PF之间有什么关系？ 任取AD上一点P，过点P向AB和AC作垂线，垂足分别为点E和点F，测量出PE和PF的长度，并把P点从D点向A点慢慢拖动，在此过程把所得结果列成表（如图7），我们也可以让P点自己动起来。选择P点和线段AD，并单击编辑菜单下的按钮，按住鼠标向右拖动，出现动画菜单项，单击，弹出一个对话框（如图8）单击快速地下拉箭头，选择慢速地，然后按确定按钮，即可得到一个铵钮（如图7），双击按钮，即可让P点在AD上双向运动。二、 学生自我探索：1、 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离与其中一腰上的高有什么关系？你能证明吗？ 2、 设P为正ABC内一点，由

34、P向三边BC、CA、AB所作垂线分别为PD、PE、PF；问：（1）当P在什么位置时，满足PD=PE+PF；（2）若P为正ABC外一点，P在什么位置满足PD=|PE-PF|3、初等几何中，最令人惊叹的定理莫过于莫勒定理了：其内容是：三角形三个角的三等分线共有6条，每相邻的（不在同一个角的）两条三等分线的交点，是一个等边三角形的顶点。这个定理最早是英国数学家莫勒（Morley）于1904年发现的。莫勒曾对他的剑桥大学同学提到过这个定理，后来就称这个定理为莫勒定理。这个定理莫勒虽然早就发现了，但他一直没有发表，过了20年才在日本正式发表。在这20年中，别的数学家也发现了这个定理。教育时报曾把这个定理

35、作为问题提出来，公开征求解答，后来收到两种不同的证法。（参考图形如右）第六讲 几何画板基本知识（六）变换菜单的使用 几何画板中变换菜单是经常使用的，其中的平移，旋转，缩放，反射子菜单是使你的几何画板文件生动丰富的相当重要的工具。下面我们通过几个实例来介绍如何使用这些功能。一、我们考虑如何作出图1。1、 作线段AB；2、 选择点A，然后选择变换菜单的C 标记中心A Ctrl+F命令，如图2；（也可直接双击A点，看到A点闪烁即可）3)选择点B和线段AB，再选择变换菜单的R 旋转命令（如图3），然后就会弹出一个旋转对话框（如图）。在对话框中输入90，就会得到点A和线段AB以点A为中心按逆时针方向旋转

36、90度后的新图形（如图）。（注意：此处所指的旋转都是指按逆时钟方向旋转，若想顺时钟转，只要加个负号即可）4、 选择点A、点C，然后选择变换菜单的V 标记向量A-C命令，如图65、 选择点B和线段AB，再选择变换菜单的T 平移命令（如图 7），然后就会弹出一个平移对话框（如图8）。按确定按钮关闭对话框，就会得到点A和线段AB按向量AC平移后的新图形（图9）6、 连结BD，则得到正方形ABCD。（当然，上述正方形也可采用其它方法来作，此处主要是为了展示变换菜单的各子菜单的功能）7、 依次选择A点，B点和C点（注意一定要按顺序选择！），然后选择作图菜单下的圆上的弧命令（如图10），则可以得到图11。

37、8、 连结BC，并选择线段BC，然后选择变换菜单的M 标记镜面命令（如图12）（此处也可直接双击线段BC使其标记为镜面）9、 选择弧BC，然后选择变换菜单的F 反射命令（如图13），就可以得到如图 14所示的图形。10、 选择两段弧BC，并选择作图菜单下的命令弓形内部（如图15），作出两个弓形的内部（如图16）；11、 选择点B、A，然后选择变换菜单的V 标记向量 B-A命令（图 6），标记好向量BA。12、 选择左边弧BC和点C，然后选择变换菜单的T 平移命令，把弧BC和点C按BA方向平移过去（如图 17）。13、 作出弧AC上的一点E，再选择点A、C、E（注意顺序！中间的点C为角的顶点），

38、然后选择变换菜单的A 标记角命令（如图 18），标记出ACE；14、 双击点C把点C标记为旋转中心15、 选择点B、D、线段AB、BD、CD、AC、左边弧BC，然后选择变换菜单的R 旋转命令，就会弹出一个旋转对话框，询问你是否以点C为中心并按ACE的方向旋转，按确定按钮关闭对话框，得到如图 19所示的图形。16、 选择点E和点C，然后选择编辑菜单的B操类按钮M 移动命令，就会弹出一个移动速度对话框，按确定关闭对话框，得到一个按钮移动E-C 。用同样的方法得到按钮移动E-A（如图20）。17、 对图形作一些必要的隐藏和修改，即可得到图21，双击展开，可得到图22，双击复原，可得到图23；二、作出

39、图24中的阴影三角形，该三角形与大三角形形状完全一样，只是大小可调整。1、 先给出三角形ABC，再任作一条线段PQ（如图25）2、在线段PQ上任取一点F，作出线段PF，并依次选择线段PF和线段PQ（注意顺序！），选择变换菜单下的标记比命令（如图26）（表示标记一个以线段PF的长为分子，线段PQ的长为分母的比例）3、 双击B点，把它标记为中心，然后选择C点，再选择变换菜单下的缩放命令，弹出一个对话框，如图 27，按确定键，得到图28，其中C为C点按标记的向量缩放得到的点；4、 同样作出A点关于B点缩放得到的点A,选择A,B,C并作出三角形内部，则可得到图29；5、 拖动F点可改变三角形ABC的大

40、小；当然，你也可以把它做成动画按钮，使它自动改变大小（如图30）；三、自我探索：1、P，Q分别是ABC的边AB、AC上两定点，在BC边上求点R，使得PQR的周长最短。2、（许瓦兹是柏林大学著名数学家，他给后人留下一道极著名而又有意义的问题，被后人称之为许瓦兹三角形问题）在任意锐角三角形ABC内作内接DEF（即三个顶点D、E、F分别在三边BC、CA、AB上），使其最短。（分析：三个顶点分别在三角形三边上的三角形有无穷多个，但其周长最短却只有一个，由两点之间，线段最短，和垂线段的概念，我们可以这样作，如图10，作ADBC交BC于D，再作D关于AC、AB的对称点D,D，连结D,D交AC于E，AB于F

41、，则DEF即为所求。想想看，为什么？） 第七讲 几何画板高级技巧1、 如何在几何画板中插入声音？选择编辑菜单下的插入对象命令，弹出一个对话框，如图1 ，选中声音选项，单击确定按钮，弹出一个音频对象框，如图2，选择编辑菜单下的插入文件命令，可将已制作好的*.wav文件导入，（例如，在WINDOWS98操作系统中，你可选择C：windowsmediaThe microsoft Sound.wav文件），完成操作后，几何画板文件中出现了一个声音图标 ，双击此图标，可以播放出声音。（注：此处可导入其它类型的文件，请大家自己试一试！）2、 如何查看一个对象的父母？首先要理解什么是父母，相对应的也就有子女

42、这个概念。举例说明如下：作一条线段AB，则A点和B点是这条线段的父母，而这条线段就是由A点和B点生成的子女，假如由于某种原因把A点和B点都隐藏起来，现在想要改变线段的长度，则必须使A点和B点都显示出来，此时有两种方法可实现：方法一是选择显示菜单下的显示所有隐藏项，但这种方法把其它你不想显示出来的对象也显示出来了，所以不符合我们的要求；方法二、选中工具栏中的对象信息工具 ，用此工具去双击线段AB，则弹出一个对话框，如图3 ，单击父母右边的下拉菜单，将出现线段AB的父母，即点A和点B，选取B点，则出现另一个对话框，如图4，去掉隐藏按钮前面的,按确定即可使B点显示出来，同理可显示出A点；（注：此处也

43、可显示出一个对象的子女，大家可以进一步研究！）3、如何使得打开文件时按钮动作就开始执行？如果在保存一个文件时选择了某一按钮，则当您再次打开此几何画板文件时将会自动执行这一按钮动作。要取消这一功能，则保存文件时不要选择任何按钮。（注意：保存时只能选择一个按钮而不能再同时选择其他任何对象）4、 查看别人是如何制作课件的？看到某些精彩的课件时自然就会想知道别人是如何制作的，可是往往其中的关系错综复杂，看得一头雾水。怎么办呢？其实很简单（1)几何画板打开一个文件时，在文件打开对话框右下角有一个包括工作选项（如图5），把打上勾。（2） 打开文件后，选择显示菜单中的 显示所有隐藏命令，就可以把所有隐藏的对象显示出来。 （3） 连续按Ctrl+Z键，直到所有的对象都不见了。（4）连续按Ctrl+R键，您便可以看别人的课件是如何一步步做的了5、 如何让一个点闪烁？（1） 任作一条线段AB，取AB上一点C，作出线段AC；（2） 另作一点D，以D为圆心，AC长为半径作一个圆D；（3） 作出圆D的内部，并以红色（或其它颜色）表示；（4） 作出C点在AB上运动的动画按钮（5） 调整线段AB的长，使它比较短，双击动画按钮，即可出现红色的