关于奈维斯托克斯方程的分析

1、合 肥 学 院Hefei University 系别： 化学与材料工程系 专业： 化学工程与工艺 班级： 姓名： 学号： 关于奈维-斯托克斯方程的分析牛顿第二定律在不可压缩粘性流动中的表达式。简称N-S方程。此方程是法国力学家、工程师C.-L.-M.-H.奈维于1821年创立，经英国物理学家G.G.斯托克斯于1845年改进而确定的。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，奈维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。直角坐标系下： x分量

2、y分量 z分量 将以上三式写成向量形式，为 上式称为牛顿型流体的运动方程，或奈维斯托克斯方程。该方程对稳态或非稳态流动、可压缩或不可压缩流体、理想或实际流体均适用。但需指出，本构方程是针对牛顿型流体而言的，故该方程仅适用于牛顿型流体。 对于不可压缩流体，=常数，此时无论是稳态流动还是非稳态流动，连续性方程为 将上式带入奈维斯托克斯方程有：x分量 y分量 z分量 写成向量形式，为 式中为流体的运动粘度，或称动量扩散系数。（1） 可解性 原则上讲，奈维-斯托克斯方程是可以用数学方法求解的。但事实上，到目前为止，还无法将奈维-斯托克斯方程的普遍解求出。其原因是方程组的非线性以及边界条件的复杂性，只有

3、针对某些特定的简单情况才可能求得其解析解。奈维-斯托克斯方程描述的是任一瞬时流体质点的运动规律。原则上讲，方程既适用于层流，也适用于湍流。但实际上只能直接用于层流，而不能直接求解湍流问题。这是由于在湍流中流体质点呈高频随机脉动，因此各物理量亦高频脉动，而无法追踪这些极为错综复杂的流体质点和旋涡的运动规律。（二）初始条件与边界条件 对于具体的流体问题，在求解运动方程时给一定的初始及边界条件。初始条件指时，在所考虑的问题中给出下述条件：边界条件的形式很多，下面仅列出3种最常见的边界条件：1、 静止固面：在静止固面上，由于流体具有黏性，u=0。2、 运动固面：在运动固面上，流体应满足u流=u固。3、

4、 自由表面：自由表面指一个流动的液体暴露于空气中的部分界面。在自由表面上应满足 上式表明，在自由表面上法向应力分量在数值上等于气体的压力，而剪应力分量等于零。（3） 关于重力项的处理由第一章关于流体静力学的讨论可知，对于不可压缩流体有 式中为流体的静压力。将以上3式带入不可压缩流体的奈维-斯托克斯方程式，可得 （1）令 （2） 式中为流体的动力压力，简称动压力，它是流体流动所需的压力。将（2）带入（1），可得 写成向量形式为 （3）式中（2）（3）是以动压力梯度表示的运动方程,式中不出现重力项。从物理意义上讲，如果从流体流动的压力中减去静压力则得动压力，而后者仅与流体的运动速度有关。引入动压力

5、可以是方程中不出现重力项，从而使方程的求解变得更容易。但是这并不意味着重力在任何情况下都不对速度u发生影响，因为在求解实际问题时除了方程之外还必须考虑边界条件。在此必须区别两种情况：（1）如果边界条件中只包含速度而不包含压力，则引入变换式后，对边界条件而不发生任何影响，此时重力同样不出现在边界条件中。由此可以确信，在这种情形下中理想的存在除对压力发生作用产生静压力外，不再对其他物理量包括速度u产生任何效应。（2）如果边界条件中出现压力，则引入公式后，原来不包含g的边界条件中将出现g，重力通过边界条件又重新出现了，它仍将对速度起作用。通过上述讨论可知，只有在所述问题的边界条件中仅含速度时，采用以

6、动压力梯度表示的运动方程求戒才是有效的。通常封闭通道中的流体流动问题可采用此方程求解，而有自由表面的流动情况用此式是不适宜的。最后应指出，以动压力梯度表示的运动方程式仅适用于不可压缩流体。（4） 奈维-斯托克斯方程简化 对平壁间流动,假设流体为不可压缩流体,且所考察的部位远离流道的进出口，流体仅沿x方向稳态流动,奈-维方程可以简化:对不可压缩流体仅沿x 方向上的稳态流,连续性方程可以简化：于是 在x方向上的奈维-斯托克斯方程可以简化为: 对z方向上的奈维-斯托克斯方程可以简化为: 对y方向的奈维-斯托克斯方程可以简化为: 由y方向的奈维-斯托克斯建华方程有：对上式求导： 于是可以得出： 这是一个二阶线性常微分方程，它满足以下边界条件：解微分方程同时利用边界条件得出流体流速分布关系在平壁中心处，流体的速度达到最大，于是有：速度分布于最大速度的关系为： 平均速度为：于是有： 于是沿x方向的压力梯度为：由上式