傅里叶级数及其应用.

1、毕 业 论 文 题 目： 傅里叶级数及其应用 作 者： 姜广辉 指导教师： 李博 职 称： 讲师 院 系： 理学院数学系 专 业： 数学与应用数学 班 级： 10级1班 日 期： 2014年5月 傅里叶级数及其应用摘 要：傅里叶级数是数学分析中的一个重要概念，具有较好的几何和代数性质，伴随着科技的进步与发展，涉及了许多数学命题的讨论和应用，傅里叶级数的相关知识已经成为从事科学研究和工程设计等科技人员必备的数学基础.通过对傅里叶、拉格朗日、狄利克雷、黎曼等人在傅里叶级数方面的贡献，介绍了傅里叶级数起源和发展历程.同时文章以在图案设计和铁路客运量预测上的应用说明了傅里叶级数的价值.在图案设计设计方

2、面，运用MATLAB软件，编写傅里叶级数的程序语言，通过自定义函数、编写画图函数程序、对图形多余部分处理、图形线条加粗等步骤，进而得到傅里叶级数的图形.通过对最基本的傅里叶级数的图形的组合、排列可以构成丰富的图案.在铁路客运量预测方面，基于傅里叶级数预测模型，以我国20042009年铁路客运量为数据基础，通过将时间序列划分为趋势性和季节性部分，分别采用最小二乘法和傅里叶级数预测法对两者进行拟合，应用MATLAB软件，求出预测模型，并进行预测.通过对预测结果的误差分析，表明：采用傅里叶级数预测法预测我国铁路客运量的效果较好.因此傅里叶级数在一定程度上受到了很多数学家的欢迎.关键词：傅里叶级数；收

3、敛性；MATLAB软件；图案设计；预测模型Fourier series and its applicationsAbstract：Fourier series is a mathematical analysis of an important concept，and has good geometry and algebraic properties，along with the progress and development of technology，involving a lot of discussion and application of mathematical propos

4、itions，Fourier series of relevant knowledge has become a mathematical foundation for scientific research and engineering design and other technical personnel necessary. Through Fourier，Lagrange，Dirichlet, Riemann，who contribute in terms of Fourier series，Fourier series introduces the origin and deve

5、lopment process，while the article in the graphic design and rail application passenger traffic forecast illustrates the value of the Fourier series. In the design of graphic design，the use of MATLAB software program written in the language of Fourier series，via a custom function，the preparation proc

6、ess of drawing functions，the excess part of the graphics processing，graphics，bold lines and other steps，then get the Fourier series pattern by the combination of the basic pattern of the Fourier series，the arrangement may constitute a rich patterns. Railway passenger traffic forecast，prediction mode

7、l based on Fourier series to the railway passenger traffic volume of 2004-2009 data base，by the time series into trend and seasonal part，respectively，using the least squares method and fourier Fourier series prediction method for both fitting using MATLAB software，find the prediction model and predi

8、ct the outcome of the prediction error by analysis showed that：Fourier series prediction method to predict the effect of Chinas railway passenger volume better. So to some extent，the Fourier series has been welcomed by many mathematicians.Keywords：Fourier series；convergence；MATLAB software；graphic d

9、esign；prediction model目 录引 言11 傅里叶级数的起源22 傅里叶级数的严密化42.1 狄利克雷条件42.2 黎曼引理52.3 吉布斯现象与一致收敛52.4 连续傅里叶级数的收敛性63 傅里叶级数的应用83.1 傅里叶级数在图案设计上的应用83.2 傅立叶级数在铁路客运量预测上的应用143.2.1 傅里叶级数预测模型143.2.2 实证分析16小 结19致 谢20参考文献21引 言在五千年的数学历史长河中，傅里叶级数的诞生和发展，构成了数学史上非常重要的部分.在无法进行理论证明时，采用直观推断的研究方法在早期的科学研究中已被广泛应用.由此带来了许多重要发现，傅里叶级数就

10、是其中之一.傅里叶在研究热传导方程时继承了前人研究天文理论和弦震动方程的方法，直观地断定每一个周期函数都可以表示为三角级数，但他并没有给出一个函数可以展开为三角级数的条件，也没有给出严格的证明.尽管如此，傅里叶将、欧拉、黎曼等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展为内容丰富的一般理论，从而开创了数学物理学的一个时代.在当代，傅里叶级数在物理学、计算机、移动通信等学科具有非常广泛的应用，同时也是处理工程学中诸多问题不可或缺的理论工具.在图案设计中，通过傅里叶级数的变换，可以设计出许多精美的图案.在铁路客运量预测中，通过傅里叶级数预测法，可以为铁路部门安排车次提供可靠的理论依据.所以，探究傅里叶

11、级数的起源发展及其应用，对于培养学生抽象思维和创新意识具有重要作用.1 傅里叶级数的起源1753年，伯努利，提出了采用三角级数解弦振动方程的方法.1759年，拉格朗日，在给达朗贝尔的信中称可以表示为三角级数.1777年，欧拉在研究天文问题时得到 （1）因此推出了 ，观察此式的结果可知：（1）除了因缺少正弦项而只能表示周期为的偶函数，欧拉得到的三角级数与今天我们使用的傅里叶级数已经没有区别.（2）欧拉推出级数系数的方法运用三角函数的正交性，这正是现在“信号与系统”课程在推导傅里叶系数公式时所采取的方法.尽管欧拉已经得到了类似傅里叶级数的表达式，他所采取的推导级数系数的方法我们今天仍在使用.然而，

12、他与拉格朗日及达朗贝尔却始终坚持这样的观点：并非是任意的周期函数都可以表示为三角函数.十九世纪，傅里叶迈出了重要的一步.傅里叶像他同时代的科学家一样，也从事热传导的研究.他在解如下偏微分方程：时得到，初始条件必须有于是，傅里叶面临这样的问题：能表示成三角级数吗？特别是能确定吗？不妨取，上式简化为傅里叶把等式左边和右边的展开为幂级数，经过并不严格的推导得到傅里叶敏锐的观察到，就是函数在区间上的面积，而计算面积对相当广泛的函数都有意义.因此他得出结论：每一个周期函数都可表示为，然而，这个结论却不为当时大多数科学家接受，傅里叶仍坚信自己的结论.随后他得到了更精确的结论，即对于任意周期函数，在周期区间

13、上都可以表示为 （2）傅里叶从没有给出“任意”函数可以这样表示的一个完全的证明，也没有说出一个函数可以展开为三角级数所必须满足的条件，但他对此是坚信的.1807年，傅里叶提交的论文被巴黎科学院拒绝了，论文评委之一的Lagrange坚决否认周期函数可以展开为三角级数，并批评了该论文缺乏严密性.事实上，傅里叶始终没有能在他的论文中对傅里叶级数理论做出严格的证明.经过15年的抗争，直到拉格朗日离世9年后的1822年，他终于出版了专著热的解析理论，直到此时人们才勉强地承认他的思想.我们可以列出傅里叶在方法上存在的缺陷.比如傅里叶在求级数系数时采用的方法不够严密，并且比欧拉所采用的运用三角函数的正交性质

14、的方法要复杂得多.尽管存在一些缺陷，傅里叶得到了正确的结论.傅里叶的结论展示了强大的生命力，对数学的发展也产生了深远的影响，这是傅里叶本人及其同时代人都难以预料到的，而且这种影响至今还在发展之中.（1）傅里叶级数促进了偏微分方程理论的发展，成功的解决了关于弦振动问题的解的争论；（2）傅里叶级数促进了函数概念的发展，傅里叶级数理论的先驱者们认为函数必须由一个解析表达式表示；（3）傅里叶级数标志人们从解析函数或可发展成泰勒级数的函数中解放出来.泰勒级数仅在函数的解析点附近表示该函数，而傅里叶级数在一整段上表示一个函数.2 傅里叶级数的严密化随着数学思想的进步，傅里叶的成就在后来赢得了广泛的赞许.但

15、严格地讲并不是任意周期函数的傅里叶级数都收敛.关于收敛条件和收敛证明问题的研究，后继者柯西和泊松的努力没有结果，代表性的成果是狄利克雷和黎曼做出的.2.1 狄利克雷条件狄利克雷在1822年至1825年间在巴黎几次会见傅里叶之后，对傅里叶级数产生了兴趣.1829年他在论文关于三角级数的收敛性中给定并证明了：当满足下列条件时其傅里叶级数是收敛的，这就是狄利克雷条件：（1）是单值有界的；（2）是分段连续的，即在一个周期内只有有限多个间断点；（3）是分段单调的，即在一个周期内只有有限多个极值点.今天的教科书中，条件（1）已放宽为绝对可积，使得工程上所遇到的绝大多数函数都满足狄利克雷条件.条件（2）和（

16、3）排除了无穷间断点和无穷振荡的情形.狄利克雷迈开了傅里叶级数严密化的坚实的第一步，以致黎曼尊称他为傅里叶级数理论的真正奠基者.关于傅里叶级数收敛性的研究持续到今天有很多结果，但狄利克雷条件在今天“信号与系统”教科书中使用最为广泛.2.2 黎曼引理黎曼曾在狄利克雷指导下研究傅里叶级数.1854年他在论文用三角级数表示函数中证明了：如果在周期上有界可积，则有其中， 这就是黎曼引理.进一步将定理有界可积条件放宽为勒贝格绝对可积，该定理称为黎曼勒贝格引理.黎曼同时还证明了在一点的收敛特性只依赖于在该点邻域中的特性.黎曼勒贝格引理是证明傅里叶级数收敛性的重要工具.1880年迪尼，给出了另一个傅里叶级数

17、收敛的充分条件：满足科普希茨条件的函数其傅里叶级数收敛.对该定理的证明就采取了黎曼勒贝格引理.2.3 吉布斯现象与一致收敛1881年约当条件给出了另一个傅里叶级数收敛的充分条件：有界变差函数的傅里叶级数收敛于.1898年，吉布斯发表文章证明了有界变差函数的傅里叶级数在间断点的振荡规律，因此这一现象称为吉布斯现象.这一现象展示了傅里叶级数在间断点收敛的不一致性.记的傅里叶级数的部分和为，级数在收敛的定义为：；级数在周期上的一致收敛的定义为：.关于函数的傅里叶级数一致收敛的一个充分条件是：在一个周期上满足一致科普希茨条件.2.4 连续傅里叶级数的收敛性在狄利克雷的研究工作之后的约50年间，人们相信

18、任何连续周期函数的傅里叶级数都收敛到该函数.然而在1873年雷蒙德给出了一个连续函数，其傅里叶级数在一点发散.1904年费耶证明了可采用算术平方方法由任何连续周期函数的傅里叶级数（即使该级数发散）重构该函数，即任何连续周期函数的傅里叶级数在算术平方和的意义下总是收敛于该函数.记得傅里叶级数的部分和为，上述结论用公式表示总是成立.其中， .雷蒙德指出连续函数的傅里叶级数在某些点发散，而费耶则证明了级数在算术平方和意义下总是收敛于该函数.关于连续函数的傅里叶级数的收敛问题似乎解决了.然而1926年柯尔莫果洛夫证明存在勒贝格可积的周期函数，它的傅里叶级数处处发散.1966年，卡亨和卡茨纳尔松指出在任

19、意给定的零侧集上，存在连续周期函数的傅里叶级数在该集合上所有点都发散.关于连续周期函数的傅里叶级数的收敛性似乎又不乐观了.然而在同一年卡尔松发表文章指出：对于平方可积的周期函数，其傅里叶级数几乎处处收敛.这是一个人们预料之外的好结果，因为连续周期函数在一个周期内是平方可积的.综合卡尔松和卡茨纳尔的结果，即连续周期函数的傅里叶级数只在零侧集上发散，亦即几乎处处收敛.至此关于连续函数傅里叶级数的收敛性问题就完全清楚了.3 傅里叶级数的应用傅里叶级数从产生到现在虽然只有短短的一百多年的时间，但是它的应用却是非常的广泛.他被广泛地应用在物理学、计算机、图案设计和预测模型等很多方面.下面就在图案设计和事

20、件预测方面的应用做简单介绍.3.1 傅里叶级数在图案设计上的应用艺术与数学有着极其丰富的普遍意义和极其深刻的美妙联系.多少世纪以来，艺术家在进行艺术的创作中，利用数学原理和数学方法而使画面充满了和谐与美感.古希腊雕塑家们黄金分割用在他们的许多作品的比例中.伟大的达芬奇在其绘画研究中运用黄金矩形、比例和射影几何，取得了非凡的成就.今天，数学在为艺术家提供创造和传达他们思想的灵感和工具方面仍然起着积极的作用.艺术家利用数学思想创造更深邃的艺术.事实上，有许多艺术家正在进行与数学思想多维空间和计算机在现技术的数学思想有关的艺术探索.数学（特别是现代数学）的研究对象在很大程度上可以被看成是“思维的自由

21、想象和创造”.因此，美学的因素在数学的研究中占有特别重要的地位，以致在一定程度上数学就可被看成一种艺术.数学理论以逻辑的严密性和规律性，在艺术的领域里借助于直觉、想象等非逻辑思维.提出新的概念和理论.所以，数学不仅有利于发展人们的逻辑思维，而且有利于人们的创造活动中对审美、直觉的发展.近代计算机技术更是将数学与美术这两者紧密地结合起来，形成了一门崭新的边缘学科数学美术学.1980年当计算机的图形功能日趋完善的时候，数学公式所具有的美术价值被曼德布鲁尔斯所发现，这就打开了数学美术宝库的大门，使常人也有幸目睹了数学公式所蕴藏的美学内涵.由一些简单的数学公式经过上亿次迭代计算所产生的数学美术作品，可

22、以用电脑根据实物自行改变大小进行组合形成局部图案，在自动拓展设计出复杂的图案，广泛用于印染、针织、装潢.许多复杂设计的绘制过程和难以得到的视觉效果，在电脑中变得轻而易举.现在绘制傅里叶级数的图形，以为例，具体步骤如下：（1）运用MATLAB软件，编写一个自定义的傅里叶级数的程序如下：function y=fly(f，k，l) syms x n；a0=int(f，x，-l，l)/l；an=int(f*cos(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；bn=int(f*sin(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；for n=1：k a(n)=int(f*cos(n*pi*x/l)，x，-l，l)

23、/l； b(n)=int(f*sin(n*pi*x/l)，x，-l，l)/l；endg=0；for n=1：k s=a(n)*cos(n*pi*x/l)+b(n)*sin(n*pi*x/l)； g=g+s；endy=a0/2+g；（2）编写画图函数程序：syms x n f=x； fly(f，1，pi)%调用傅里叶函数 x=-pi：0.1：pi； x=-pi：0.1：pi； f1=2*sin(x)； f2=-2*sin(x)； f3=2*sin(x)-sin(2*x)+2/3*sin(3*x)； f4=-2*sin(x)+sin(2*x)-2/3*sin(3*x)； f5=2*sin(x)-s

24、in(2*x)+2/3*sin(3*x)-1/2*sin(4*x)+2/5*sin(5*x)； plot(x，x，x，f1，x，f2，x，f3，x，f4，x，f5)；得到的到傅里叶级数的图形，如图1：图1 傅里叶级数图形在图1中将另一部分进行对称叠加达到对称的效果，如图2：图2 傅里叶级数叠加效果图（3）对多余部分进行处理findobj(allchild(gca)，Type，line)ans = 180.0021 179.0021 178.0021 177.0021 176.0021 175.0026 get(ans(1) DisplayName： Annotation： 1x1 hg.Ann

25、otation Color： 0.7500 0.7500 0 LineStyle： - LineWidth： 0.5000 Marker： none MarkerSize： 6 MarkerEdgeColor： auto MarkerFaceColor： none XData： 1x63 double YData： 1x63 double ZData： 1x0 double BeingDeleted： off ButtonDownFcn： Children： 0x1 double Clipping： on CreateFcn： DeleteFcn： BusyAction： queue Hand

26、leVisibility： on HitTest： on Interruptible： on Selected： off SelectionHighlight： on Tag： Type： line UIContextMenu： UserData： Visible： on Parent： 174.0024 XDataMode： manual XDataSource： YDataSource： ZDataSource： 对其中的对象进行设置set(ans(6)，LineWidth，7)将对象加粗，找到需要删除的线图3set(ans(6)，Color，1 1 1) 将y=x这条直线的颜色设置为白色

27、，达到这条线消失的结果（这些点对于后期处理没有影响，不影响这题效果）图4 淡化效果图（4）将其他的线条加粗set(ans(1)，LineWidth，3) 改变ans()中的值改变操作的线条图5 傅里叶级数加粗效果图得到最后的效果图图6 傅里叶级数最终的效果图通过以上一个简单的例子，我们可以看出：傅里叶级数图形非常具有节奏韵律感，并且，当改变变量的取值范围，就可以生成重复的、变化的图案，由此得到的单元及重复的有节奏的构图.对以上图形进行组合、排列或者发展、衍生，可构成丰富的图案变化.他被广泛应用于：室内的装饰浮雕、壁饰、椅子背、服装的前身、领角、领带及皮包、发卡等；纺织品的床单、毛巾、手绢等以及

28、地砖、墙线装饰铁艺栅栏等许多方面.3.2 傅立叶级数在铁路客运量预测上的应用铁路客运量预测是铁路部门进行决策的重要依据.铁路客运量波动具有较强的季节性特征，对于季节性预测常用的方法由：霍尔特-温特预测、ARIMA预测、傅里叶级数预测等.选择傅里叶级数预测法对我国2010年的铁路客运量月度数据进行预测，并且对预测结果进行误差分析.3.2.1 傅里叶级数预测模型在解决同时伴有趋势性变化的时间序列预测问题时，可将时间序列分为趋势性部分和季节性部分进行预测.其中，趋势性部分可以通过最小二乘法得到，对季节性部分用傅里叶级数预测法进行预测.将时间序列分解为： （3）式中：为趋势性部分；为季节性部分.用最小

29、二乘法对进行拟合，用傅里叶级数预测法对进行预测，预测过程分为以下4个步骤.（1）季节性部分预测.离散函数满足一定的光滑性条件时，可以在区间上展开为傅里叶级数： （4）（2）采用最小二乘法求解系数.其中，为不超过的最大整数.（3）选出影响较大的季节性部分.由公式（4）转化得到：式中：，当存在，使取得很大值时，说明具有季节性成分，即原时间序列具有季节性；反之，若对所有的，的取值都很小，则说明是不具有季节性成分，即原时间序列不存在季节性.傅里叶级数预测法的思路是选取取值较大的点，将此时的、带入公式（4），预测时间序列的季节性部分，得到.（4）总体预测.将计算得到的、带入公式（3），得到该时间序列的预

30、测方程.3.2.2 实证分析3.2.2.1 客运量预测将我国20042009年铁路客运量作为初始数据，利用傅里叶级数展开式预测2010年铁路客运量.（1）利用最小二乘法对我国铁路客运量20042009年的数据进行拟合，得到总体变化趋势. （2）用原始数据减去其对应的趋势性部分，得到季节性部分、为离散的点.（3）假定满足傅里叶级数展开的一切条件，将函数以为周期延展至，在区间上展开成公式（4），运用MATLAB软件编程解得的值，如图7所示.图7 的值由图7可知，当时，的取值很大，说明我国铁路客运量在这6年中带有季节性成分，每个季节成分的长度.根据傅里叶级数预测原理，选出使的取值很大的、.当分别取6

31、、12、24、30时的取值相对很大，将、代入公式（4），得到我国20042010年的铁路客运量中带有季节成分的预测值，2010年的预测值如表1所示.将预测值与实际数据进行比较，如图8所示.表1 我国铁路2010年客运量预测值 亿人月份预测值月份预测值11.5071.4521.4081.4831.2891.3041.28101.3551.36111.2261.27121.23图8 预测值与实际数据的比较3.2.2.2 误差分析对预测的相对误差、平均误差平方和平均绝对百分数误差进行分析.相对误差： 式中：为预测值.将数据带入后，预测的相对误差为.平均误差平方： 平均绝对百分数误差： 通过误差分析可

32、见，采用傅里叶级数预测法预测我国铁路客运量的效果较好.小 结在欧拉、伯努利等数学家讨论过三角级数之后，傅里叶将它发展成为处理数学物理问题的有力工具和具有普遍意义的方法，从而开创傅里叶分析这一近代数学的重要分支.三角级数的研究从19世纪起至今仍相当活跃，对整个数学的发展产生了巨大的影响.文章主要介绍了傅里叶级数的起源、发展及其应用.在介绍傅里叶级数的起源与发展方面，本文围绕傅里叶的主要工作，以时间为线索以关键人物的工作为依托，介绍了傅里叶级数的起源与发展.在傅里叶级数的应用方面，第一，介绍了在图案设计应用，傅里叶级数的基本形、变体和组合，通过不同的构图方法，创作出丰富的图案.第二，介绍了在铁路客运量预测上的应用，傅里叶级数预测法对于带有季节性的时间