高等数学(完整版)详细（课堂PPT）

1、.1回顾回顾 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(一、问题的提出一、问题的提出曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy .2面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间）把区间,ba分成分成n个长度为个长度为ix 的小区间，的小区间，相应的曲边梯形被分为相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形， 第个小窄曲边梯形， 第i 小窄曲边梯形的面积为小窄曲边梯形的面积为iA ，则，则 niiAA1.（2）计计算算iA 的的近近似似值值iiixfA

2、)( iix （3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA .3ab xyo)(xfy （4） 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若若用用A 表表示示任任一一小小区区间间,xxx 上上的的窄窄曲曲边边梯梯形形的的面面积积，则则 AA，并并取取dxxfA)( ，于于是是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素.4当当所所求求量量U符符合合下下列列条条件件：（1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量；（2）U对对于于区区间间 ba,具

3、具有有可可加加性性，就就是是说说，如如果果把把区区间间 ba,分分成成许许多多部部分分区区间间，则则U相相应应地地分分成成许许多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示为为iixf )( ；就就可可以以考考虑虑用用定定积积分分来来表表达达这这个个量量U.5元素法的一般步骤：元素法的一般步骤：1）根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间,ba；2）设设想想把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，取取其其中中任任一一小小区区间间并并

4、记记为为,dxxx ，求求出出相相应应于于这这小小区区间间的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示为为,ba上上的的一一个个连连续续函函数数在在x处处的的值值)(xf与与dx的的乘乘积积，就就把把dxxf)(称称为为量量U的的元元素素且且记记作作dU，即即dxxfdU)( ；.63）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U的的积积分分表表达达式式.这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长

5、；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等.7元素法的提出、思想、步骤元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）（注意微元法的本质）二、小结二、小结.8思考题思考题微元法的实质是什么？微元法的实质是什么？.9思考题解答思考题解答微元法的实质仍是微元法的实质仍是“和式和式”的极限的极限.10 xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12一、直角坐标系情形一、直角坐标系情形xxxx x .11例例 1 1 计计算算由由两两

6、条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx .12例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6

7、(322 2xy xxy63 .13于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？x.14例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy.15如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数

8、方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.16例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab .17 设设由由曲曲线线)( r及及射射线线 、 围围成成一一曲

9、曲边边扇扇形形，求求其其面面积积这这里里，)( 在在, 上上连连续续，且且0)( xo d d 面积元素面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA 二、极坐标系情形二、极坐标系情形)( r.18例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积.解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A.19例例 6 6 求求心心形形线线)cos1( ar所所围围平平面面图图形形的的面面积积)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利

10、用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0.20求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）三、小结三、小结.21思考题思考题 设设曲曲线线)(xfy 过过原原点点及及点点)3 , 2(，且且)(xf为为单单调调函函数数，并并具具有有连连续续导导数数，今今在在曲曲线线上上任任取取一一点点作作两两坐坐标标轴轴的的平平行行线线，其其中中一一条条

11、平平行行线线与与x轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积是是另另一一条条平平行行线线与与y轴轴和和曲曲线线)(xfy 围围成成的的面面积积的的两两倍倍，求求曲曲线线方方程程.22思考题解答思考题解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对两边同时对 求导求导x.23yxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 ,2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为所以

12、所求曲线为.223xy .24一、一、 填空题：填空题：1 1、 由曲线由曲线eyeyx ,及及y轴所围成平面区域的面积轴所围成平面区域的面积是是_ . .2 2、 由曲线由曲线23xy 及直线及直线xy2 所围成平面区域的所围成平面区域的面积是面积是_ ._ .3 3、 由曲线由曲线 1,1,1,12 xxyxxy所围成所围成平面区域的面积是平面区域的面积是_ ._ .4 4、 计算计算xy22 与与4 xy所围的区域面积时，选用所围的区域面积时，选用_作变量较为简捷作变量较为简捷 . .5 5、 由曲线由曲线xxeyey ,与直线与直线1 x所围成平面区所围成平面区域的面积是域的面积是_

13、_ . .练练 习习 题题.256 6 曲曲线线2xy 与与它它两两条条相相互互垂垂直直的的切切线线所所围围成成平平面面图图 形形的的面面积积S，其其中中一一条条切切线线与与曲曲线线相相切切于于点点 ),(2aaA，0 a，则则当当 a_ _ _时时，面面积积S最最小小 . .二、二、 求由下列各曲线所围成的图形的面积：求由下列各曲线所围成的图形的面积：1 1、xy1 与直线与直线xy 及及2 x；2 2、 y2x与直线与直线xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、摆线、摆线)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x轴；轴；5 5、 cos3 r及及 cos

14、1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡尔叶形线、笛卡尔叶形线axyyx333 . .26三、三、 求抛物线求抛物线342 xxy及其在点及其在点)3,0( 和和)0,3(处的切线所围成的图形的面积处的切线所围成的图形的面积 . .四、四、 求位于曲线求位于曲线xey 下方，该曲线过原点的切线的下方，该曲线过原点的切线的左方以左方以轴轴及及 x上方之间的图形的面积上方之间的图形的面积 . .五、五、 求由抛物线求由抛物线axy42 与过焦点的弦所围成的图形与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值面积的最小值 . .27一一、1 1、1 1； 2 2、332； 3 3、2 2； 4 4、y； 5

15、5、21 ee； 6 6、21. .二二、1 1、2ln23 ； 2 2、67； 3 3、2a ； 4 4、23 a ； 5 5、 45； 6 6、223a. .三三、49. . 四四、2e. . 五五、238a. .练习题答案练习题答案.28 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、旋转体的体积一、旋转体的体积.29一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕

16、x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy .30y例例 1 1 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点),(rhP的直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形将它绕轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋轴旋转构成一个底半径为转构成一个底半径为r、高为、高为h的圆锥体，计算的圆锥

17、体，计算圆锥体的体积圆锥体的体积r解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xo直线直线 方程为方程为OP.31以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的轴旋转而成的薄片的体积为体积为dxxhrdV2 圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo.32a aoyx例例 2 2 求星形线求星形线323232ayx )0( a绕绕x轴旋转轴旋转构成旋转体的体积构成旋转体的体积.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋转转体体的的体体积积dxxaVaa3

18、3232 .105323a .33 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cddyy2)( dcV.34例例 3 3 求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱与的一拱与0 y所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕x轴、轴、y轴轴旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)co

19、scos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy.35绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差轴旋转构成旋转体的体积之差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a .36补充补充 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直线直线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一

20、周而成的立体，体积为轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay| )(|2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a .37例例 4 4 求由曲线求由曲线24xy 及及0 y所围成的图形所围成的图形绕直线绕直线3 x旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM.38xo

21、ab二、平行截面面积为已知的立体的体积二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积.39例例 5 5 一一平平面面经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角 ，计计算算这

22、这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R .40例例 6 6 求求以以半半径径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆半半径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积.解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形

23、形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR .41旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周三、小结三、小结.42思考题思考题 求求曲曲线线4 xy，1 y，0 x所所围围成成的的图图形形绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.43思考题解答思考题解答xyo 14yxy交点交点),1 , 4(立体体积立体体积dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y.44一、一、 填空题：填空题：1

24、1、 连续曲线连续曲线,)(xfy 直线直线ax ，bx 轴轴及及 x所所围图形围图形轴轴绕绕 x旋 转 一周 而成的 立体的体 积旋 转 一周 而成的 立体的体 积 v_，轴轴绕绕 y旋转一周而成的立体的旋转一周而成的立体的体体 v积积_；2 2、 badxxfv)(常用来表示常用来表示_立立体的体积；体的体积；3 3、 抛物线抛物线axy42 及直线及直线)0(00 xxx所围成的图所围成的图形形轴轴绕绕 x旋转而成的立体的体积旋转而成的立体的体积_；4 4、 0, 0,cosh yaxxaxay所围成的图所围成的图x形形绕绕轴旋转而成的立体的轴旋转而成的立体的 v体积体积_；练练 习习

25、题题.45二二、 有有一一铁铁铸铸件件，它它是是由由抛抛物物线线、2101xy 11012 xy与与直直线线10 y围围成成的的图图形形，轴轴绕绕 y旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体，算算出出它它的的质质量量（长长度度单单位位是是厘厘米米，铁铁的的密密度度是是38 . 7厘厘米米克克）. .三三、 把把星星形形线线323232ayx 轴轴绕绕 x旋旋转转，计计算算所所得得旋旋转转体体的的体体积积 . .四、四、 求摆线求摆线)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱，的一拱，0 y，绕直线，绕直线ay2 旋转所成旋转体的体积旋转所成旋转体的体积. .46五、五、 求求222ayx 绕绕)

26、0( abbx旋转所成旋转旋转所成旋转体的体积体的体积 . .六、六、 设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为长分别为和和BA 2,2ba 2,2, ,h高为高为，求这截锥体，求这截锥体的体积的体积 . .七、七、 设直线设直线baxy 与直线与直线0 x，1 x及及0 y所围所围成梯形面积等于成梯形面积等于A，试求，试求ba ,使这个梯形使这个梯形轴轴绕绕 y旋转所得体积最小旋转所得体积最小 . .47一、一、1 1、 badxxf)(2, , badxxxf)(2；2 2、已知平行截面面积的；、已知平行截面面积的； 3 3、202 ax

27、 ；4 4、2243sha . .二、二、 ( (克克) . ) . 三、三、310532a . . 四、四、327a . .五、五、ba222 . . 六、六、)(261bAaBABabh . .七、七、Aba ,0. .练习题答案练习题答案.48xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段都都缩缩向向一一点点时时，此此折折线线的的长长|11 niiiMM的的极极限

28、限存存在在，则则称称此此极极限限为为曲曲线线弧弧AB的的弧弧长长.一、平面曲线弧长的概念一、平面曲线弧长的概念.49 设曲线弧为设曲线弧为)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一阶连续导数上有一阶连续导数xoyabxdxx 取积分变量为取积分变量为x，在，在,ba上任取小区间上任取小区间,dxxx ，以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 弧长元素弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba 二、直角坐标情形二、直角坐标情形.50例例 1 1 计计算算曲曲线线2332xy 上上相相

29、应应于于x从从a到到b的的一一段段弧弧的的长长度度.解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab.51例例 2 2 计计算算曲曲线线 dnynx 0sin的的弧弧长长)0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n .52曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds

30、222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 三、参数方程情形三、参数方程情形.53例例 3 3 求星形线求星形线323232ayx )0( a的全长的全长.解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a .54例例 4 4 证证明明正正弦弦线线xaysin )20( x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆 taytxsin1cos2 )20( t的的周周长长.证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于1sdxys 20211dxxa 2022c

31、os1设椭圆的周长为设椭圆的周长为2s,cos12022dxxa .55 ,20222dtyxs 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原结论成立故原结论成立.dtta 022cos12.56曲线弧为曲线弧为)( )( rr 其其中中)( 在在, 上上具具有有连连续续导导数数. sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22 drrs 四、极坐标情形四、极坐标情形.57例例 5 5 求求极极坐坐标标系系下下曲曲线线33sin ar的的长长. .)0( a解解

32、drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 .58例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺线线 ar )0( a上上相相应应于于 从从0到到 2的的弧弧长长.解解, ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 .59平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式 五、小结五、小结.60思考题思考题 闭闭区区间间,

33、ba上上的的连连续续曲曲线线)(xfy 是是否否一一定定可可求求长长？.61思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长.62一、一、 填空题：填空题：1 1、 曲线曲线xyln 上相应于上相应于83 x的一段弧长为的一段弧长为_；2 2、 渐伸线渐伸线)sin(costttax ，)cos(sintttay 上相应于上相应于变变到到从从 0t 的一段弧长为的一段弧长为_；3 3、 曲 线曲 线1 r自自43 至至34 一 段 弧 长 为一 段 弧 长 为_ . .二二、 计计算算半半立立方方抛抛物物线线32)1(

34、32 xy被被抛抛物物线线32xy 截截得得的的一一段段弧弧的的长长度度 . .三三、 计计算算星星形形线线tax3cos ，tay3sin 的的全全长长 . .练练 习习 题题.63四四、 求求心心形形线线)cos1( ar的的全全长长. .五五、 证证明明：曲曲线线xysin )20( x的的弧弧长长等等于于椭椭圆圆2222 yx的的周周长长. .六六、 在在摆摆线线),sin(ttax )cos1(tay 上上求求分分摆摆线线第第一一拱拱成成3:1的的点点的的坐坐标标. .64练习题答案练习题答案 一、一、1 1、23ln211 ； 2 2、22 a； 3 3、23ln125 . . 二

35、、二、 1)25(9823 . . 三、三、a6. . 四、四、a8. . 六、六、)23,)2332(aa . .65 由由物物理理学学知知道道，如如果果物物体体在在作作直直线线运运动动的的过过程程中中有有一一个个不不变变的的力力F作作用用在在这这物物体体上上，且且这这力力的的方方向向与与物物体体的的运运动动方方向向一一致致，那那么么，在在物物体体移移动动了了距距离离s时时，力力F对对物物体体所所作作的的功功为为sFW . 如果物体在运动的过程中所受的力是变化如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思想思想.一、变力

36、沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功.66例例 1 1 把一个带把一个带 q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 r 轴上坐轴上坐标原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电标原点处，它产生一个电场这个电场对周围的电荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷荷有作用力由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为放在这个电场中距离原点为 r 的地方，那么电场的地方，那么电场对它的作用力的大小为对它的作用力的大小为 2rqkF （k是常数） ，当是常数） ，当这个单位正电荷在电场中从这个单位正电荷在电场中从 ar 处沿处沿 r 轴移动轴移动到到 br 处时，计算电场力处时，计算电场力 F

37、对它所作的功对它所作的功.67解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取取任任一一小小区区间间,drrr ,功元素功元素,2drrkqdw 所求功为所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1.akq .68点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例 2 2 一圆柱形蓄水池一圆柱形蓄水池高为高为 5米，底半径为米，底半径为3 米，池内盛满了水米，池内盛满了水.问要把池内的水全部问要把池内的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐标系如图

38、建立坐标系如图xoxdxx 取取x为为积积分分变变量量，5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,.69xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238 . 9 功元素为功元素为,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦).70解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次力与铁钉

39、进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功厘米，若每次锤击所作的功相等，问第相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？n设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n.71 hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n.72 由物理学知道，在水深为由物理学知道，在水深为h处的压强为处的压强为hp ，这里，这里 是水的比

40、重如果有一面积为是水的比重如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板一处，那么，平板一侧所受的水压力为侧所受的水压力为ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的点点处处压压强强p不不相相等等，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想二、水压力二、水压力.73例例 4 4 一一个个横横放放着着的的圆圆柱柱形形水水桶桶，桶桶内内盛盛有有半半桶桶水水，设设桶桶的的底底半半径径为为R，水水的的比比重重为为 ，计计算算桶桶的的一一端端面面上上所所受受

41、的的压压力力解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为为积积分分变变量量，, 0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小矩形片上各处的压强近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为.222dxxR ,xp .74小矩形片的压力元素为小矩形片的压力元素为dxxRxdP222 端端面面上上所所受受的的压压力力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R .75例例 5 5 将直角边各为将直角边各为a及及a2的直角三角形薄板的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水垂直地浸人水中，斜边朝下，

42、直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力长，求薄板所受的侧压力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积微元面积微元,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2(dxxaaxPa )(2(20 .373a .76 由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为21, mm相距为相距为r的两个质点间的引力的大小为的两个质点间的引力的大小为221rmmkF ，其中其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向连线方向 如如果果要要计计算算一一根根细细棒棒对对一一个个质质

43、点点的的引引力力，那那么么，由由于于细细棒棒上上各各点点与与该该质质点点的的距距离离是是变变化化的的，且且各各点点对对该该质质点点的的引引力力方方向向也也是是变变化化的的，就就不不能能用用此此公公式式计计算算三、引力三、引力.77例例 6 6 有有一一长长度度为为l、线线密密度度为为 的的均均匀匀细细棒棒，在在其其中中垂垂线线上上距距棒棒a单单位位处处有有一一质质量量为为m的的质质点点M，计计算算该该棒棒对对质质点点M的的引引力力2l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为积分变量为积分变量取取任任一一小小区区间间,dyyy ,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近

44、似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy .78小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为. 0 yF.79利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）四、小结四、小结.80思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没

45、水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？.81思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下半球该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关球浸没的深度无关.82一、一、 直径为直径为20厘米，高为厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强厘米

46、的圆柱体内充满压强为为310厘米厘米牛牛的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？体积缩小一半，问需要作多少功？二、二、 一物体按规律一物体按规律3tcx 作直线运动，媒质的阻力与作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由速度的平方成正比，计算物体由0 x移至移至ax 时，克服媒质阻力所作的功时，克服媒质阻力所作的功 . .三、三、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长610 米和米和米，高为米，高为20米，较长的底边与水面相齐米，较长的底边与水面相齐. .计算闸门计算闸门的一侧所受的水压力的一侧所受

47、的水压力 . .练练 习习 题题.83四、四、 半径为半径为的球沉的球沉r入水中，球的上部与水面相切，入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作多少功？多少功？五、五、 一块一块a高为高为 ，b底为底为的等腰三角形薄板，垂直地的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力板每面所受的压力 . .六、六、 设有一半设有一半R径为径为，中心，中心 角为角为的圆弧形细棒，其的圆弧形细棒，其线密度为线密度为 常数常数，在圆心处有一质，在圆心处有一质的的量为

48、量为 m质点质点M，试求这细棒对质，试求这细棒对质M点点的引力的引力 . .84七、七、 油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流油类通过直油管时，中间流速大，越靠近管壁流速越小，实验测定，某处的流速越小，实验测定，某处的流与与速速 v流处到管子流处到管子中心的距中心的距之之间间离离 r有关系式有关系式)(22rakv , ,其中其中为为比比例例k常数，常数，为为油油管管a半径半径. .求通过油管的流求通过油管的流量量 （注： 当流速为常量时， 流量（注： 当流速为常量时， 流量 = = 流速流速 截面积）截面积） . .85 一一、2ln800 ( (焦焦耳耳) ). . 二二、37327

49、25akc( (其其为为中中 k比比 例例常常数数) ) . . 三三、1 14 43 37 73 3( (千千牛牛) ) . . 四四、gr434 . . 五五、 ba261. . 六六、引引 力力的的大大小小 为为2sin2 Rkm, ,方方向向指指为为 M向向 圆圆弧弧 的的中中心心 . . 七七、42ak . .练习题答案练习题答案第六章习题课第六章习题课.86微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名称释译名称释译所求量所求量的特点的特点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式一、主要内容一、主要内容.871 1、理论依据、理论依据.)1()2()(,)()(

50、,)()1()()(,)(定积分定积分的微分的的微分的分就是分就是这表明连续函数的定积这表明连续函数的定积于是于是即即的一个原函数的一个原函数是是则它的变上限积分则它的变上限积分上连续上连续在在设设UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa .882 2、名称释译、名称释译.)()(:)()(,)2(方法称微元法方法称微元法计算积分或原函数的计算积分或原函数的这种取微元这种取微元积分积分的无限积累的无限积累到到从从就是其微分就是其微分所求总量所求总量知知由理论依据由理论依据dxxfdxxfUbadxxfdUAba .89（1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间

51、间 ba,有有关关的的量量；（2）U对对于于区区间间 ba,具具有有可可加加性性，就就是是说说，如如果果把把区区间间 ba,分分成成许许多多部部分分区区间间，则则U相相应应地地分分成成许许多多部部分分量量，而而U等等于于所所有有部部分分量量之之和和；（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示为为iixf )( ；就就可可以以考考虑虑用用定定积积分分来来表表达达这这个个量量U.3 3、所求量的特点、所求量的特点.901)根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间,ba；2）设设想想把把区区间间,ba

52、分分成成n个个小小区区间间，取取其其中中任任一一小小区区间间并并记记为为,dxxx ，求求出出相相应应于于这这小小区区间间的的部部分分量量U 的的近近似似值值如如果果U 能能近近似似地地表表示示为为,ba上上的的一一个个连连续续函函数数在在x处处的的值值)(xf与与dx的的乘乘积积，就就把把dxxf)(称称为为量量U的的元元素素且且记记作作dU，即即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U4 4、解题步骤、解题步骤.915 5、定积分应用的常用公式、定积分

53、应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab.92如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数.93 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r

54、 dA)()(212122极坐标情形极坐标情形.94(2) 体积体积xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cd.95xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA.96(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为.97C曲线弧为曲线弧为)( )( rr 弧长弧长 drrs )()(22(4)

55、旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22侧侧.98(5) 细棒的质量细棒的质量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 转动惯量转动惯量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(为为线线密密度度x .99(7) 变力所作的功变力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水压力水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(为为比比重重 .100(9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0

56、xF)(为引力系数为引力系数G(10) 函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(1.101二、典型例题二、典型例题例例1 1.3;2;1)0(sincos00033体积及表面积体积及表面积体体它绕轴旋转而成的旋转它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它的弧长它所围成的面积它所围成的面积求求星形线星形线已知已知 ataytaxa aoyx.102解解.10A设面积为设面积为由对称性由对称性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设设弧弧长长为为由对称性由对称性,有有 2022)()(4dtyxL 20sinc

57、os34tdtta.6a .103.,30VS 体体积积为为设设旋旋转转体体的的表表面面积积为为由对称性由对称性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a .104例例2 2?,)2(;)0()1( .至至少少需需作作功功多多少少若若再再将将满满池池水水全全部部抽抽出出面面上上升升的的速速度度时时水水求求在在池池中中水水深深内内注注水水的的半半球球形形水水池池的的流流量量往往半半径径为为以以每每秒秒RhhRa oxyRh解

58、解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.).0()(222RyRRyx 半圆的方程为半圆的方程为于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有).0(2)(2222RyyRyRyRx .105时水池内水的体积为时水池内水的体积为为为的球缺的体积即水深的球缺的体积即水深故半球内高为故半球内高为的立体的立体轴旋转而成轴旋转而成圆绕圆绕因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th时已注水的时间为时已注水的时间为又设水深又设水深,)(athV 则则有有atdyyRyh 02)2(即即得得求导求导两边对两边对,t,)2(2adtdhhRh .106

59、故所求速度为故所求速度为.)2(2hRhadtdh .)2(所所需需的的功功水水全全部部提提升升到到池池沿沿高高度度需需的的最最小小功功即即将将池池内内将将满满池池的的水水全全部部抽抽出出所所的的功功约约为为所所需需降降到到抽抽水水时时使使水水位位从从dyyRyy )0()1(),(2水的比重水的比重 yRdyx,222yRyx 又又.)(2(2dyyRyRydW 即即功功元元素素.107故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 RdyyRyRyW02)(2( RdyyRyyR0322)32(.44R .108例例3 3.,4,20,3050,的静压力的静压力求闸门一侧所受的水求闸门一侧所受的水米米顶部高出水面顶部高