非线性时间序列模型的波动性建模(中)

1、非线性时间序列模型的波动性建模Song-Yon Kim and Mun-Chol Kim朝鲜平壤 金日成综合大学 数学学院本文出自于2011年5日朝鲜平壤举行的第一届PUST国际会议本版修订于2013年11月3日摘要：在本文中的非线性时间序列模型被用来描述金融时间序列数据的波动。描述两种由波动的非线性时间序列组合成TAR（阈值自回归模型）与AARCH（非对称自回归条件异方差模型）的误差项和参数估计的研究。关键词：非线性时间序列模型；波动；ARCH（自回归条件异方差模型）；AARCH；TAR；QMLE（拟极大似然估计）一 介绍在金融市场中，资产价格的波动是一个极其重要的变量，其建模在投资，货币政

2、策，金融风险管理等方面中有重要意义在投资持有期的资产价格波动的一个很好的预测是评价投资风险的一个很好的起点。资产价格波动是金融衍生证券定价的最重要的变量。对于定价我们需要知道的波动性范围是从现在相关资产，直至期权到期。事实上，市场惯例是根据波动单位列出价格期权。如今，波动性的定义和测量可能在衍生工具合约明确规定。在这些新的合同，波动成为潜在的“资产”。 波动率模型已成为一个在金融时间序列模型分析的主要对象并且使许多科学家沉浸其中。1973年，金融数学由Black和Scholes 1带领进入了一个新阶段。他们用该持有人的随机分析理论来估算期权的价格，股份持有人有权用预定价格为K在预定的未来时间T

3、 +而不是目前的时间T买一个商品（或相关资产）与（这种选择被称为欧式期权。）假设相关资产的动态价格。根据风险中性测度。在这里，r（短期利率），是常数，为标准维纳过程。则时间t期权价值的如下1：（公式）这里和参数是唯一未知。其中称为波动，在上面的公式中所示，准确估计成为期权定价和估计的一个非常重要的问题。此外，如对关联时间t的波动t的估计等问题开始提出。1982，罗伯特恩格尔提出了一个新的模型来用一个更准确的方法 7 对波动作出估计。他重视ARCH模型中的误差项，这是大多线性时间序列模型如AR、ARMA、ARIMA等所忽略的。同时他提出一种新的非线性模型，通过相加取代简单的白噪声，误差项的条件异

4、方差性偏差的变化自动回归。误差项的条件异方差性偏差的 自动回归1986年，Bollerslev将Engle的 ARCH (q模型修改变为GARCH (p, q model 8.在他的论文中，他提出了GARCH（1，1）过程中的存在，静止状态和MLE（最大似然估计）。此后，大量ARCH模型相继被开发出来，例如ARCH-M，IGARCH和LogGARCH等。在整个研究中，波动性已被证明是更受“坏消息”，而不是“好消息”的影响，也就是说，是不对称的，这导致对非对称模型的研究。1991年，Nelson提出了指数GARCH模型（EGARCH）描述了不对称冲击。 6 但在许多研究论文，有效的参数估计和固定

5、的条件是没有明确解释的，而且这种困难难以克服 9 。但在1993，Glosten开始使用阈值自回归条件异方差（TARCH）模型和其后提出的许多非对称模型 2 ，试图对不对称的波动进行建模。特别是在2003年，Wai Mi Bei开发了非对称ARCH（q）模型 10 。直到现在，持续的研究正在努力拟出更好的波动模型以显示各种ARCH模型的影响。在本文中，利用非线性时间序列模型的波动性建模是基于对前人研究成果分析的观察而得出。众所周知的，波动性和其他金融时间序列数据可以被ARCH模型很好地描述。同时，这些数据在一定的时间点有系统的变化。例如，亚洲金融危机之后金融时间序列数据的突然改变，以及美国的住

6、房危机等。反映这类系统的改变的最典型的模型是阈值自回归模型（TAR）模型。该模型的概念的第一次提出是在1953年由P. A. P. Modern提出的模仿的加拿大猞猁生态数据的不能被线性模型解答的问题。1983年，为解决这一问题在，H.tong在一个框架分析了时间序列数据，提出以往的研究方法的限制，证明时间序列数据的各种线性模型具有不同范围的组合能具有更好的效果。针对加拿大猞猁的生态系统，他提出了下面的模型。同时，他也表明，如果从1749到1924年太阳黑子的数量的原始数据的使用Box-Cox变换，或可以通过以下模型描述这是数据分析伴随着系统的变化而进步的一个巨大贡献。如模型中显示，TAR模型

7、已改为基于阈值（以上模型中的11.9824）与一定的时间延迟（在上述模型中的9）并成为完全删除以前的线性度的非线性时间序列模型的起源。因此，我们认为，如果我们要对某些事件如金融危机后的波动数据建立模型，将TAR模型和AARCH模型在同一结构上结合能得到更好的预测效果。在本文中，我们提出了TAR-AARCH（阈值自回归不对称自回归条件异方差）模型(1-(3来描述波动。其中，间隔序列如下如模型(1-(3显示，(1是TAR模型及其误差，(2和(3是aarch模型。换句话说，模型(1-(3形成的TAR模型包括非对称ARCH效应。同时也考虑到模型的似然函数的完整的形式是不可能的，基于QMLE（拟极大似然

8、估计）的适当的参数估计方法已经建立和估计的渐近正态性，已证明了这tar-aarch模型的适用性。然后，通过在TAR模型小波估计出延迟时间和阈值参数后，它可以估计出组合成tar-aarch模型的所有参数 5 。二 TAR-ARCH模型的参数估计为了对模型使用QMLE，我们首先需要找到.但由公式(3显示，并不能被估计出，因为含有绝对值项，因此，通常会发现QMLE的参数估计是无效的。但如果对用于(1-(3中的QMLE进行集中处理，这个问题是可以解决的。此时，被固定，QMLE集中，可以得到(1，且可以观察到它的渐近正态性。如果我们假设是已知的， QMLE对集中为，得到它的渐近正态性的证明，那么我们就可

9、以通过两个步骤获得的参数和估计。但我们应该能够确定是否有这样的估计可以被假定为参数的估计，如果是这样，与拟极大似然估计的差值是多少。为此，用拟极大似然估计法得到的TAR-ARCH模型参数和它的渐近正态性已被分为基于上述方法得到集中拟极大似然估计和渐近正态性，对每个参数和结果可以与从4得到的拟极大似然估计比较，证明该方法的效率。1.TAR-ARCH模型中的集中拟极大似然估计法使如果TAR-ARCH模型是已知的，则集中QML方程的转化：定理1：在模型(1-(3中，让作为QML的估计，当已知则集中在，并满足强平稳条件。当已知时，是模型(1-(3的真实估计，此时同理，对的集中拟极大似然估计和它的渐近正

10、态性可由定理1通过同样的方法证明。我们可以发现拟极大似然估计与集中拟极大似然估计的差别。为此，采用QMLE获得的参数（TAR-ARCH）可转化为，它的Fisher信息矩阵可以与上述的集中QMLE的Fisher信息矩阵相比较以证明两者之间的关系。(,:子函数的拟极大似然估计因此可以得出结论，如果子参数使用上面的方法获得了无法使用拟极大似然估计进行估计的TAR-AARCH模型的集中拟极大似然估计，那么得到的估计可以接受，虽然效率略有减少。2. 集中拟极大似然估计法在TAR-AARCH模型的渐近正态性 易知，在模型(1-(3中，如果已知，集中QML方程是如下则可以证明以下定理。定理2：在模型(1-(

11、3，是已知的，是集中在QML估计。同时，它对满足强平稳条件。如果当已知时是模型(1-(3的真实估计，则其后估计也为真实估计。对的集中拟极大似然估计是能够得到结果的，且它的渐近正态性能通过同样的方法证明。三 结论在本文中，首先，两种类型的非线性模型，即TAR模型和非对称ARCH模型组合成了TAR-AARCH模型，并用一个更有效的方式描述了波动。第二，对各种困难的组合模型产生的不对称性提出了适当的参数估计方法。四 相关文献1. Black F, M. Scholes, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Poli

12、tical Economy, 81, 1973, 637-653 2. Glosten L.R, Jagannathan R, Runkle P.E, On the relation between the expected value and the nominal excess return on stock, Journal of Finance, 48, 1993, 1779-1801 3. H. Tong, Non-linear time series: A Dynamical system approach, Clarendon Press, Oxford, 1990 4. Kim

13、, Song-Yon; Threshold AR with Asymmetric ARCH type Error (in Korean, Dissertation for ph D, 2007 5. Kim, Song-Yon and Kim, Mun-Chol, The identification of Thresholds and Time delay in Self-Exciting TAR model by Wavelet, International Symposium in Commemoration of the 65 th Anniversary of the Foundat

14、ion of Kim Il Sung University (Mathematics, 2021. Sep. Juche100(2011 Pyongyang DPR Korea, arXiv 1303.4867math-ph 6. Nelson D, Conditional Heteroskedasticity in asserts: a new approach, Econometrica, 59, 1991, 347-370 7. Robert F. Engle, Risk and volatility: Economic models and financial practice, Nobel lecture, Stockholm, December 8, 29, 2003 8. Tim Bollerslev, Generalized autoregressive conditional heterosk