重整化群在非线性方程中的应用

1、中国科学技术大学博士学位论文重整化群在非线性方程中的应用姓名：涂涛申请学位级别：博士专业：理论物理指导教师：程耕摘要重整纯群最松是量子场论中为解决微扰论中的发教瑟由一泌彝至在上个毯纪五十年代发震起来韵。随瑶的进凝表弱它不仅仅是个处壤发散的手段，而盈是有着更深静耪理上的需簧和存在的价值。只要提劐藕合常数的跑动和它对整子色劝力学的渐进自由的解释就可见其其有深刻的物理内容。二级相交的重整化群理论，是上个世纪七十年代由发展起来的，被认为是上个世纪理论物理的重大突破之一。重整化群理论已经对统计物理，更广泛的讲，是对凝聚态物理的理论和实验工作产生了深远的影响。指出标度和重整化群的概念不仅仅可以应用到一些浅

2、们熟知的现象上磷，如铁磁到顺磁的相变，两鼠可以应用到远离乎鸳态的现象，这些现象是可以用经典的镳微分方程来搬述的，例如流体的非线性扩数。在本论文的翦四章中，我们从他的原始工终如发，应髑羹整化群方法认真黪研究了非平衡瑰象中约几个踅要闼遥：珏键方程、多孑奔矮方程寒棼线性扩数方程。我、】发现，在耀徽扰论妻奎理这几个方程的时候，会出现发散行为，利用餐予场论中的重赘纯的概念可敬徽好的清豫掉发散顼。迸一步用羹整仡群讨论时，可以肴磁来，上述几个方程渐进解当中都很萌显的磁现了反常维数，这与用第二类相似毪的理论来分祈的结采是完全一致的。另外我们还发展了所谓的微扰级数求和至无穷阶的技术，我们用这一技术处理了上面三个

3、方穰，我们可以很明显的看出重整化群的实质是将微扰论中的展开级数在一定近似下全部求和了，可以认为是对微扰论的改进。众联周知，奁物理学中诲多重要的现象鄹是鼹线性演化方程来描述豁，它嬲的解就是孤立予。求解这些方程最直接静方法是所谓的爱散射方法，僵楚这个方法需要毖较多豹数学知识，馒用起采不是镖方便。等人掇出所谓，方法，楚对上述重整亿群方法的一个改迸。在本论文的后面三章中，我们应用惦方法对于受至扰动的几个重要的非线性发联方程：、方程给穗了一般的理论。我们可以给出孤子解在受到扰动之后的演化情况，决定这一演化规律的方程就是重整化群方程。我们的方法不但直观有效，而且比反散射方法簧简单很多。我们提出的羹整化群方

4、法可以应用到其他务种类溅的非线性发展方穰的求解中去，因此必然有着广泛的应用前景。、（），矿，“），矗，色矗，：，七、矗，矗矗、色叮，珈乇，、；：，、，色，色伍敛谢首先要衷心的感谢我的导师程耕教授。我从大三下学期开始起，就在程老师的实验室，到今年已经整整六年了。在这期间一直得到程老师在科研上的悉心指导，以及对我生活上的关心和照顾，这份师生之情我将永远铭记。正是程老师引导我逐步走上科研的道路，正是程老师严谨的治学态度、扎实的工作作风、敏锐的物理思想深刻影响了我，使得我真正懂得了怎样做一个合格的理论物理学工作者。特别是程老师在生病期间依然坚持工作，这种精神深深震动了我。其次要感谢我的好朋友于娜、黄运

5、锋、李媛媛、周云申、姜薇、罗宪华、刘红丽、刘松、朱茜茜，朋友之间的深厚友情、细心的关怀和默默的支持使得我有了最大的精神支柱，不知这份情意何时可以报答。还要感谢我的师兄弟潘海俊、杜太焦、刘国柱、刘建伟，我在与他们几年的共同生活中，得到了他们很多的帮助。特别是刘国柱，正是和他在一起，我学到了很多东西。感谢王筠华老师，她对我生活上一直给予很多的关心和照顾。感谢非线性科学中心的叶淮、金涛老师。最后感谢我的父母，二十多年来，他们含辛茹苦的抚养我长大，供养我读书，而我几乎没有任何回报，欠他们的实在太多。谨以此文献给上面所有的人！第一章重整化群的历史和最新进展重整化群一（）理论自从上个世纪七十年代以来有了很

6、大的进展。关于重整化对凹函数大动量渐进性质的研究是从上个世纪五十年代初开始的，最早是和他们为了处理量子电动力学中的光予传播子的大动量行为而引入重整化群理论【】。在年，推广了量子场论中的重整化群方法，并且与相变理论中提出的集团图象结合起来】，使临界现象理论有了实质性的进展，得到了与实验相符合的临界指数的结果。此后，重整化群的理论工作迅速发展，文献浩如烟海，已经远远超过万篇。重整化群理论已经应用到解决这样一些重要的物理问题上：量子色动力学中的渐进自由【，液晶和聚合物中的标度行为眠动力学临界行为】，二维熔化过程的理论，从倍周期分岔到混沌的标度律】，自组织临界现象中的标度行为，非磁金属中的磁性杂质的问

7、题】以及无序系统中电子局域化等等。在上个世纪九十年代，重整化群理论又应用到这样三个重要的领域：一个是低维强关联系统的密度矩阵重整化群方法【，一个是电子系统的朗道费米液体理论【】，另外一个就是非线性方程的微扰论【卜我主要是针对第三个方面做了一些深入的研究工作。为了说明下重整化群方法是怎样在非线性方程的微扰理论中起作用的，我用一个简单的例子作为开始。我们考虑这样一个线性的二阶微分方程秽”（）可初始条件是（，）（），可（）其中是小参数。我们首先想到的是可以做关于的微扰论掣可可（）（）在零阶时鲒，珈（），“（）容易得到其解为（）（）在的第一阶时可？一，（），（）（）第一章重整化群的历史和最新进褒容易得

8、到其解为可妻（）（）整理一下可以得到：在微扰论第一阶有珈；（）（，）（）显然，当趋于时，将趋于。，即也会趋于，这样在微扰论的第一阶就出现了发散。然而我们知道这个简单的线性二阶常微分方程有着精确解是（、），十邑显然精确解是没有任何发散的，是有界的。一（）让我们回想起在量子电动力学中，由于精细结构常数是一个小量，可以做微扰展开计算。在一阶的时候，由于电子自能圈图、光子极化圈图、电子和光子耦合的顶角图都会带来发散，所以我们就引入重整化的电子质量、重整化的电子电荷以及重整化的波函数。我们将上述圈图的发散都吸收到重整化后的物理量当中去，这样最后的物理结果是有限的，是没有任何奇异性的。这样一个过程在场论中

9、称为重整化（）。由于最后的物理结果应该是不随着重整化点的选择而变化的，这样就可以得到重整化的物理量随标度的改变而跑动的方程，这就是重整化群方程（）】。我们将上述思想应用到解方程（）上来。第一步，做微扰展开。可可（）在零阶时鳐珈其解为珈以（）（岛）（）其中是裸振幅，是裸位相。这里我们采用在场论中的说法，称直接做微扰论时，其中的量是裸量，在下面的处理中，是要对它们做重整化的。裸振幅和裸位相不能够由（）在长时间处的信息得到，因此裸量可以认为是在长时间处是不可观测量，正如量子电动力学中裸电荷在很远距离处由于真空极化效应被屏蔽也是不可观测量是样的道理。还要说明的是，这里我们并没有用初始条件来确定和如的值

10、，我们等最后再考虑初始条件。在第一阶时可？暑，一（吕）其解为（）。鲁。印舶）这样裸微扰论结果是珈耖（）舢（¨引字（。印“（酬。（）十。（）鲁，我们下面只考虑发散的奇异项。（）裸微扰论结果在趋于无穷时是发散的。其中我们将不发散的项称为第二步，进行重整化。首先引入任意时间标度，将写成：可（）等（一）（岛）等丁）（）引入重整化量兄磊（下），汤（），这里相当于对是做相乘重整化，对是做相加重整化。其中和易是重整化常数，我们也可以将其按展开（丁）。历（）则微扰论结果可以写成为可（）（）（口）（）曲（日冗）托譬（刊（¨十譬印我们可以选择重整化常数为（）（）（，）。一；丁这样含的项就被抵消

11、掉了。这样重整化后的微扰论结果是妇棚雌譬一小（¨显然这个结果是不发散的。（）第一章重整化群的历史和最新进展第三步，做重整化群讨论。因为原始问题中根本不含有，所以最终结果应该与无关，即挚：丁（）将方程（）代入有挲：丁（）（）丁。解之可以得到露（）（）和（丁）靠（）；。这时考虑初始条件，并令，方程（）最后的解是（疗冗）熹（扣（。）我们可以看到这个结果也是有界的，不发散的。而且与精确解的结果符合得很好。原则上，对该方程做关于每一阶都会有发散出现，这样我们选择重整化常数，在每一阶都用来抵消掉发散项，并做重整化群讨论，可以预期如果能够做到无穷阶的话，则与方程的精确解是致的。可以概括的来说，即使

12、是在非常经典的微分方程的微扰论中也会出现类似于量子场论中的发散问题，而且可以通过移植场论中的重整化和重整化群的思想得到很好的处理。下面几章我们就用上述重整化群方法去处理一系列的重要的非线性方程，看看我们能够得到什么样的重要结果。第二章§方程的反常维数方程的物理背景我们生活的世界充满着无序和随机结构，逾渗理论是处理强无序和几何随机结构的有效方法，因此一直是统计物理学中的重要分支【】逾渗理论的结论和思想可以应用到广泛的物理现象当中去，而且应用范围甚至超过了物理学的范畴。对此，曾经给出了如下一张表：现象或系统转变多孔介质中流体流动通讯或电阻网络局部扩展的变湿联结不联结导体和绝缘体的复合材料

13、超导体和金属的复合材料导体绝缘体超导体金属绝缘体金属不连续的金属膜表面上的液氮薄膜稀磁体非晶态半导体迁移率非晶态半导体中的变程跃迁正常相超流相顺磁逆磁局域态扩展态类似于电阻网络的联结不联结液体玻璃液体凝胶玻璃化转化聚合物凝胶化、流化核物质中的夸克禁闭相非禁闭相螺旋状星系中恒星的随机形成传播非传播群体中疾病传播抑制流行在本章和下一章当中，跟随和的工作，我们研究的是这样一个典型但是却相对简单的问题：水在多孔介质中的流动。我们将对这一问题做深入的研究，希望对这个问题的理解，可以使我们对于上面列表当中其他相关的物理问题得到深刻的启发。根据水量的守恒，有如下方程（）（回（）这里是多孔介质的空隙率，即该介

14、质中的小孔占介质总体积的百分比。是流体的密度。礁谁流的速度，是时问。类似与热传导理论中的定律，水流的速度也正比于水流的压力梯度，这被称为定律疗一：（）第二章力翟的反考维数这里是渗透性系数，决定了水流经过多孔介质时所受到的阻力，肛是水流的粘性系数。水流被假设为是可压缩的流体，这样它的密度将随着压力线性的增加导办一）。（）这里岛是流体的压缩系数，和风是水流的参考压力和密度同样多孔介质本身也被认为是可压缩的，空隙率依赖于多孔介质上的压力盯，我们称之为弹性介质黑：房（口一印）磊卜胁【口一（）这里厨是多孔介质的压缩率，和印是多孔介质的参考空隙率和压力。作用在多孔介质上的压力越大，介质就会被压得更加的严实

15、，空隙率也就相应的减小，这是可以理解的。因为作用的在流体和多孔介质系统上的总压力是由水流和多孔介质两者同时承受的，所以有盯印十（）将方程（）代入到方程（）当中，我们容易得到，当可压缩流体在弹性多孔介质中流动时，流体的压力满足经典的热传导方程，（这里厅鬲而盘【竹，卢（）是所谓的压致传导系数，类似于热传导过程中的传导系数。不过在实际问题中，多孔介质有一个很有意思的特性，就是压缩的不可逆性。也就是说，多孔介质受到的压力增大时的压缩率并不等于压力减小时的压缩率。当多孔介质的压力增加时，有鼠一屏包盯屏反（）这里注意到方程（），有馥盯一国。而当多孔介质压减小时，有一房盯屏反（。）这里孱并不等于屏。因此可压

16、缩流体在不可逆的弹性多孔介质中流动时的规律就要区别于方程（）。我们引入物理量“（，）（，），可以得到“（夙“）“（）§藿缬分辑秘磁类灏送行为这里片（札）是一个截断函数“）片，岛札，（最缸），反“其中七鳓。而而丽而而丽七不失一般性我们磅究一维媳馈况，这就是萋名的方程】：珏托礴“，珏国“键钍，岛§量纲分析和两类渐进行为在仔细研究方程之前，我们首先觚一个简单的例子开始。我们考虑一维的扩散方程最：；斤霹“视始条孛楚珏（删）一羔（一象）显然我们有以下的分布关系乱（，力如魏该问题的解是我们所熟知的出志唧（一高）我们感兴趣的是长时问行为，即姹时，这时解可以约化为钍一蛊哪一嘉斗。（）（）王

17、）（）（）（）（）（）（）第二章方程的反常维数以上结论可以通过量纲分析得到。在本问题中，我们可以把出现的物理量的量纲都写出来【】，陆【】，【】，【（，（】这样我们可以构造三个无量纲的量（）兀茜佰，壳，去既然上述这些物理量是无量纲的，那么它们之间可以用一个关系式联系起来，（，）（。）（）其中，是待确定的函数。那么当我们考察系统在长时间的行为，即所谓的渐进行为时，我们可以预期。将不出现，这时系统将只由和两个无量纲的量来决定，它们之间的关系式，被称为相似函数，我们记之为：丘（），÷这样从量纲分析我们可以得到系统的渐进解是（）娜）名鹏壳将上述表达式代入到扩散方程（）当中去，可以得到如下的常微

18、分方程（）兀有约束条件是（）不难得到其解为厶（）必（）去（一舞）这样我们得到了扩散方程的渐进解是个（）“隽嗽南和严格求解的结果是一致的。（。）§量纲分孝兵和礴淡澎进行为我们可以概括出上面的思路是：一般的讲，在我们所研究的问题中，根据出现的物联量可以构造系鄹的无量缁的量，。，它们之间满足关系式，（，。）（）其中，魑待定的函数。我们关心在长时间时，有一，通常的预期是足够小，以至于不褥出瑷在方程爨冬瓣当中珏，娃，疆。），瓣。÷或露浼是）一兀（，。），÷其中正怒相似函数。这样的渐挂行为我们就称之为第一类渐进行为。（）现在我们就看个第一类渐进行为失效的鳓子。我们考虑方程岛“

19、口箧乱有骜不连续酌扩散系数；当“（）字当魏珏。这里我们令方程（一）当孛的一和菇警。显然对于方程（句黪褒示瓣扩数过程，有一个依赖于时间的扩散半径）（），越过这个半径有馥，而在这个半径以内有凌钍，这样在这两个区域内有着不同的扩散系数。自然上述羹纲分析可以同样用到这熙。即仍然设方稷的濒遴解怒钍（列净鑫胀，蠢我髓赶最链（。，）一。盼位置为筑），稳壶懿兹毽是法）岛掣（十）鬈传，），曼知麓，）一，岛。不燕褥到它们戆艇是，歹（）我稍将上述海遴解静形式代入翻方程（）中，得到关于稽似函数矗的常微分方程（）（）（一希霸），要茎如（）第二章贰方程的反常维数，国（一；），知。（）我们要求，和，在处是连续的，即两边的解

20、要能够衔接起来。（一焘）南唧（一高。唧（一譬）（）非平庸解。（）（。）显然对于该问题而言，只有当时才有解，而这却是平庸解。也就是说，如果我们认为系统满足如方程（）所示的那种第一类渐进行为，那么就没有那么我们尝试着假设系统会有其他形式的渐进行为。前面我们认为在长时间时，不会出现系统的渐进解的表达式中，我们可以修改这一假设，认为是将以如下的形式出现】笋正（），。这样方程的渐进解成为（）吣一杀蒜瓣聪南将上述表达式代入方程（）中，可以得到关于相似函数五的常微分方程（）（）十（）五，茎岛）（）（）正，矗茎。我们记“（，）的位置在岛，由如下方程决定（）厶上述常微分方程可以做数值求解，得到系统的渐进解的形式

21、是（）“）“高蠹兀（）丽求解的结果可以表示于图中。（）一般说来，对于一个问题，如果有系列的无量纲的量来表征，取，它们之间满足一个关系式订，（，。）（）§重整化群和反常缝数图：反常维数（）的结果。其中横轴是，而纵轴是。曲线是做第二类渐进分析得来的【】，曲线是做重整化群到第一阶的结果，曲线是对函数做迭代计算的结果，】。其中，是待定函数我们考察其长时间的行为，我们可以认为系统的渐进解可以表示为。一；正（嵩，意），到，这样一类渐进行为我们称之为第二类渐进行为卜（）其中五是相似函数。，口”，。）就是所谓的反常维数是不能够用量纲分析得§重整化群和反常维数在上面的节，对于方程的讨论，非常

22、意外的出现了反常维数的概念。这个概念以前只是在量子场论和临界现象中爿出现的，现在在个非常经典的非线性方程中出现，不能不引起人们的浓厚兴趣和认真思考。等人首先在这个问题上取得了突破，他们用重整化群处理了方程，指出在第二类渐进行为中出现的反常维数完全类似于相变和临界现象中的临界指数，都可以用重整化群的方法得到。如同在第一章当中处理的那个简单例子的情形，我们可以用重整化群来处理方程“彰又可以写成，（）“一；磋“；卜“理“（）焦二章方程的反常维数这里我们考虑如下的初始条件出）法（一杀）方程（）的形式解可以写成为（）（。，）（一可，）（，）。幽由扛一，）执（，）菇“（，）在这里格林函数是）（州）高（一茜

23、）其中是函数，对应着不连续的扩散系数。，（）我们用重整化群方法处理。第一步，做普通的微扰展开。扛，）钍。婶，）（，）在零阶时就是简单的扩散方程，有（）州叫，意裔吲一燕】在第一阶时（）（，）（一可，）（，）瓢（。咄）一仇“。（”峭“。（”）通过繁杂的积分运算可以得到（，）钍。（叫）高卧尝）去（嘉）咖一可以写出裸微扰论的结果（）显然当÷时“。是发散的，这样我们又处在了第一章所举的那个例子的情形中。其中我们已经将不随发散的项不再写出，记为“”。我们吲州）法（勃一焘（去）】§，璧整健群秘及常维数第二步，徽耋整纯消除发散。鳓为趋于无穷大等效于趋于零，所叛我稻可以把当传类似于壁子场论中

24、的紫外截断的规则化参数。我们引入壬意标度弘，以及重整化量铂：来消除含的发散项。其中是熏整化常数，我们将其也做擞撬震器一“在第一除对我】选择（）这样我们在徽扰论的每一阶都可以通过选择。来消除掉这一阶出现的发散项丽乒儿。去（等）】（）这样可以得到蘑整化的微扰论结果吣归患唧（一扣一焘（；）此时已经不在重整化后的结果中出现了。（）第三步，做重熬亿群讨论。因为弘并不出现在原来的问题中，所以应该有挚：胃戳定义类戳与量子场论中的声涵数（）等刈焘崮初始条徉可潋撂蓟该常徽分方程的解（）杀这撵该弱题最驻懿结莱潋写为（）珏赤（一。焘。（鳓显然，反鬻维数穰蠡然的崮蕊了。我们籍道在稿界现象的理论中，我们研究的是两数，或

25、者说是关联函数的渐进行为。在相变点处，圭于标度不变性，魏时的关联函数是重整化交换的不动点，而关联函数中所谓的临界指数就是重螫化嚣分撰得来的反零维数。那么偌用一之述说法，在对于耨线性方程戆处理孛，方程的自相似渐进解也就是熏整化变换的不动点，所谓的第二类渐进行为的反常维数就是鑫据织指数。我们氇将重整纯群傲捌第一酚静结果，即方程）画在图中，可以糟出来。至少在定性的趋势上怒和前面节的结果符合鲍。旃二蕈方程的反常维数§微扰级数求和至无穷阶技术计算反常维数为了可以清楚的看到重整化群的实质，我们需要从一个新的视角，来审视用重整化群得到方程的反常维数的处理过程。为此，程耕提出了一个新的解析方法【】，

26、在一定近似条件下将“微扰级数求和至无穷阶”，来得到方程的反常维数。我们引入变量代换沌）南和（，）则方程（）重新写为相应的初始条件是（船）。（，印一寺如（一去霹（，）寺。（一曲寺哦丁）珏：）昧）嘉（一譬）“（，）“（，丁）“（，丁）十（。）我们做微扰展开（）我们假设方程的相似解可以写为分离变量的形式（荨，丁）（）（）可以做展开（）和（）（）（）那么在零阶时的解是（）¨（，丁）（）（）这罩（）晶（丁）弓黔和。（）（一譬）（）下面为了能够看出反常维数是怎么自然的出现的，我们做两个重要的近似§微扰级数求和至无穷阶技术计算反常维数近似一，我们保持“空间部分”（）在零阶近似，不考虑其高

27、阶修正。而对于时间部分（丁）我们则一直做到无穷阶。即我们设“。（，）厶（丁）“（，丁）这里（丁）厶（丁）晶（丁）。）近似二，同时我们保持函数在零阶近似（一）。这样我们有了方程的微扰展开表达式丁“。（，丁）刍，（丁）（一）一（丁）“。（，）初始条件变成为厶（）当时，我们碉。（，）昙口）（一【）蛳（，丁）将上述方程两边对变量从一。到。积分给出刍州）一志一卢利用方程（）我们得到解）去，吾扎（当佗时，我们有丁“。（，丁）昙，（丁）（一，（丁）礞咖（，丁）同样将上述方程两边对变量从一。到。积分，我们得到品解）（丁）导解）进一步解之有止（）：；（）。利用数学归纳法我们可以证明厶（）翥（，（）】“（）（）（

28、）（）（）（）（）（）镍二毒”方程的反常维数设方程（）对一，是正确的，即，一（）志【，（丁）对第阶方程（）做同样的积分过程给出（研）嘉厶（）舶（丁）嘉，（）将方程（）代入得到（）刍，（）两南【，（硎”导，（）其解不难得到是（）厶（丁）去【，（）】“在无穷极限我们有（）因为我们已经证明对于和是正确的，自然该命题对于任意均成立。“偿，丁）【，（）】“】“（，丁）（）将方程（）代入得到吣，丁，薹扣胁孤水，刃这就是（）“（，）一卢吾】“。（，）【吾一¨。（，）这里（）。卢焘这正是用重整化群方法得到的反常维数（）。（）总结起来讲，我们对方程做微扰展开，保持空间部分和函数在零阶近似下，将时间部分

29、的展开级数厶（丁）求和至无穷阶，这时反常维数很自然的出现，并且结果与重整化群处理的完全一致。这充分显示了重整化群实际上相当于普嫡微扰论在某一近似下的展开级数无穷阶求和的结果。§微扰级数求和至无穷阶技术的迭代推广§微扰级数求和至无穷阶技术的迭代推广在节中我们利用了微扰级数求和至无穷阶技术很明显的得到了和重整化群相等的反常维数，我们做了两个很重要的近似：一个是把空间部分保持在零阶，另外一个是把函数保持在零阶。这样空间部分和函数的高阶贡献实际上是被省略掉了。那么自然我们会想到如何把在近似中所省略掉的信息再包括进去，这样我们的结果必然能够得到改善。我们下面做的就是这样一件事情卜我们

30、对。函数一次次的做迭代，以便将其贡献考虑得更加完全。我们可以做如下假设：即在迭代每一步，迭代的函数形式没有发生改变，改变的只是相应的反常维数（）我们记（）卢（女）表示的是迭代第自次的结果。同样，仿照节，我们在迭代的每一步都对“（，）做微扰展开，并且将微扰级数求和至无穷阶，来得到相应的反常维数。那么在迭代的第次和微扰展开的第礼阶相应的方程是。（，丁）嘉矗（丁）。（一玉嘉睡）（刍）“仆“。（，丁）掣（丁）札。（，）“开。初始条件类似于方程（）（）这里我们用上标（七）表示对函数做迭代，下标表示对“（，丁）做微扰展踏（）（）前面节整个一节就是当月时，对“（，）做微扰展开并求和至无穷阶，我们有（当和扎时

31、，我们有卢焘一（。）丁。（，）杀，）（丁）。【（一曲寺嚷）（吾）一¨札。（，丁）钍。（，）因为有如下关系式（舶）（一曲刍哦）（吾）卅“。（）哕砘叫寺（吾）州珏浓，）（）第二章方程的反常维数即【（曲寺训吾广。（汀）】（。）将上式代入到方程（）中去，并对从一。到。积分可以得到（）击，（耻去【伍面岫一掣）】（）由初始条件（），我们解上述常微分方程得到，（丁）了亏磊吾一卢（）吾这里口（）、厅干丽当女和时，我们有咖（汀）品规）渺）一】烈）。（汀）同样上述方程两边对从一。到积分可以得到著烈丁），）（）昙抨（）进一步解之我们有，一删（丁）嘉一（丁）】”设方程（）对一是正确的舭丁）南鼎丁）在微扰展开

32、的第阶有（舛）嘉（）【（）一】艘。（）（舛）做同样的积分给出刍，（）圯船）昙，（丁）（。）（）（删（）（）（）（）（）（）§微扰级数求和至无穷瞬技术的迭代推广将方程（）代入得到昙臂（丁）百与，（丁）刍，（丁）其解不难得到是（）（丁）去一（丁）“现在我们把这些微扰级数加起来（）因为我们已经证明对于和是正确的，所以该命题对于任意的均成（，丁）【；，（丁）“】咖（，）将，（）的表达式（）代入得到。（），“（，）【刍卜扪“。（，丁）。（）这样有（，）（去）一”蛳（，丁）这里一（）。（：）：。（。）。口（。）：！型归卢。口啦了零霁÷三渤（）同理，我们完全可以重复地把这一迭代过程做到第

33、次，整个过程完全类似于这就是对函数做修正的第一级的结果。上面：次的过程，区别仅仅是卢（）取代了卢（”。容易证明这里忙，卢，。卢）了趸辜翥自然在迭代的无穷极限有。卢（。）卢（，这样有（，丁）（去）一“（，丁）（）。，。）这就是对函数做修正的第次的结果。删：一！圭！竺竺、（”）（）第二荤方程的反常维数那么。（。）：！兰！±！竺竺（）有两个问题是需要考虑的。第一，迭代序列是否收敛，第二，如果收敛，是否收敛到该积分方程的解。在这里我们认为这两个问题的答案是肯定的，我们将在以后的工作中来严格论证这一点（）上述方程）可以数值求解，这样我们把的结果，的结果以及我们的结果】放在一张图里面，即图。加以

34、比较，很明显，我们的结果比的第一阶的重整化群的结果要有明显改善。§迭代重整化群方法如前所述，在节当中数值计算的结果显示：方程的解从初始条件开始演化后，一段时间后，演化行为满足如下规律：一熹（一簧），即方程的渐进行为很快的趋向于上述不动点解。但是节中计算的反常维数定量地与节中重整化群阶的计算结果有偏离。在图中，我们可以很清楚地看到这一区别）这是因为他们的重整化群方法的出发点是线性的扩散方程的不动点解。这样在阶重整化群计算时，函数被保持在零阶近似，即以乱（，）】，因此函数的贡献实际上是被省略了。如果我们从阶重整化群计算结果出发的话，并且将函数的贡献一步步的包括进来，可以想象，我们能够改善

35、最后的结果。这就给了我们一个机会，能够更好的趋于最终的不动点解。另外一方面在节中我们给出了一个迭代的框架，可以将函数的贡献考虑得比较完全，从而得到改善的反常维数的结果。那么很自然的，我们可以将这一迭代的思想与重整化群方法结合起来。我们构造一个经典的迭代方法，在积分方程理论中被称为崩耐方法。我们的思路可以概括为这样的一些步骤：首先，我们将函数保持在其零阶近似（茹，）（一可，）（，）；：。由（咄一）。卜鼠“（”）露“（）（）（）§迭代重整化群方法接着我们可以得到第一次迭代的结果（），并将它代入函数中，再一次的求解方程扛扛白徊一，十一吣如帅蚓一一曲一岛曲砖（）并且这一迭代过程能够如法炮制的

36、做到第次钍（“（，）可（一可，）“（可，）新幽由（哪）。【一统旷协）荆”（舻）（）利用这样一个技巧我们就能够一步步的将函数的效应考虑进来。在第一步，我们这样开始州叫）赢裔【一高】“（，）粥（，）¨（，）（）搿（喝一）一统州炉）刚。（”）（）我们对“做关于的展开“【（，）乱舻（，）（，）（）阶项可以直接的计算。如我们所预期的，会发散，当的时候我们可以得到，牡嘉（一勃一焘（吾）（翻（）为了消除发散，我们利用重整化群方法。这样我们得到“沌归南（一萎）（）第二章方程的反常维数解的反常维数是焘。，（）这里下标表示重整化后的量。我们注意到这就是。他们得到的第一阶的重整化群的结果。明显的，我们可以

37、知道，此时函数保持在零阶近似。接着在第二步，我们将方程（）代入州函数，现在我们有悖埘一，赡如一亳；蚓叫一晚“（，）瑶“（，）（）这一计算于前面的稍微有些不同蔫唧一跏一蒜杀茜州渤孵眦（，）经过重整化群处理，解的形式保持不变（）珏托垆南唧（一萎）只是反常维数改变为（）。（）：！堡、”（十）（）我们可以看出来这与节中的（）是一致的。利用数学归纳法，容易证明。：！±！竺！设当一时命题成立，也就是说、”（“）（）。（一）：！兰！±！竺！兰：！现在我们将阶解、（）（）留叫（州）击唧（一丢）（）§迭代重整化群方法代入阶方程（”（，）如一，）（，）；。（一，）。一孥一（，）】；”一（，）重复相同的计算过程，可以得到（）扣，”羔唧勃一焉黯勐（）（）利用重整化群，我们有“（州）南（一芸）“（）其中。（）：；！±！竺竺！、（一）（肌）前面我们已经证明命题对于和时均成立，因此命题对于任意成立。如果上述迭代过程是收敛的话，极限是存在的。我们写下骢”。进一步有