第二章 非线性方程

1、第二章 非线性方程求根 代数方程求根问题是一个古老的数学问题，早在16世纪时找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世纪才证明 次的一般代数方程式不能用代数公式求解。因此需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程式的近似解。 在工程和科学技术中许多问题常常归结为求解非线性方程式问题，例如在控制系统的设计领域，研究人口增长率等。 本章将介绍几种求解非线性方程近似解的数值方法。最后一节简单介绍求解非线性方程组的方法。 §1 二 分 法 设有非线性方程 (1.1) 其中，为上连续函数且设（不妨设方程（1.1）于内仅有一个实根）。 求方程（1.1）实根的二分法过程，就是将含根区间逐步分半

2、，检查函数值符号的变化，以便确定含根的充分小区间。 二分法叙述如下：记。第1步分半计算：将分半，计算中点及，如果 则根一定在区间内，否则根一定在区间内（若 则）。于是得到长度缩小一半的含根区间，即 ，且第步分半计算：重复上述过程，设已完成第1步，第步分半计算得到含根区间 且满足： （1）， 即； （2）；现进行第k步分半计算： （3） 计算 且有 （1.2）（4） 确定新的含根区间，即如果，则根一定在内，否则根一定在区间内，且有 总之，由上述二分法得到一序列，由（1.2），则有 可用二分法求方程实根的近似值到任意指定的精度。事实上，设为给定精度要求，试确定分半次数k使 由，两边取对数，即得 （

3、1.3）例1 用二分法求于内一个实根，且要求精确到小数后第3位（即要求）。 解 由和公式（1.3）可确定所需分半次数。计算结果如下表。 表 6-1k11.02.01.58.89062521.01.51.251.56469731.01.251.125-0.09771341.1251.251.18750.61665351.1251.18751.156250.23326961.1251.156251.1406250.061577871.1251.1406251.13281319575681.1328131.1406251.1367190.020619091.1328131.1367191.13476

4、64.307101.1328131.1347661.133789111.1337891.1347661.134277二分法优点是方法简单，且对只要求连续即可。可用二分法求出于内全部实根。但二分法不能求复根及偶数重根。二分法：设有方程，其中于连续，且满足条件（且设于内只有一个实根）。 （1） 计算，； （2） 如果 或 ,则输出 ； （3） 如果，则；否则其中表示给定的最大分半次数，当 或时分半终止。 §2 迭 代 法迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程，超越方程及方程组的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢问题。 为了用迭代法求非线性方程的近似根，首先需要将此方程转化为等价的方程

5、 (2.1)显然，将转化为等价方程(2.1)的方法是很多的。 例2 方程可用不同方法转化为等价方程 ( a) (b) 定义：（迭代法）设方程为。 （1）选取方程根的一个初始近似，且按下述逐次代入法，构造一近似解序列： （2.2）这种方法称为迭代法（或称为单点迭代法）。称为迭代函数。 （2）如果由迭代法产生的序列有极限存在，即，则称为收敛或称迭代过程（2.2）收敛。否则称不收敛。 设为连续函数，且 ，则有，即为方程（2.1）的解（称为函数的不动点）。 事实上，由迭代过程（2.2）两边取极限，则有 显然，在由方程转化为等价的方程时，选择不同的迭代函数，就会产生不同的序列（即使初始值选择一样），且这

6、些序列的收敛情况也不会相同。 例3 对例2中方程，考察用迭代法求根： （a）， (b) ， 表 6 2 k01.01.011.3414710.52359921.4738200.02360131.49530141.49715251.49728961.49730071.497300 由计算看出，我们选取的两个迭代函数和，分别构造序列 收敛情况不一样（初始值都取为1.0），在（a）种情况收敛且。在（b）种情况出现计算无定义。 因此，对于用迭代法求方程近似根需要研究下述问题： （1） 如何选取迭代函数使迭代过程 收敛。 （2） 若 收敛较慢时，怎样加速收敛。 迭代法的几何意义： 从几何上解释，求方程根

7、的问题，是求曲线与直线交点的横坐标。当迭代函数的导数在根处满足下述几种条件时，从几何上来考查迭代过程的收敛情况如图(1)-(4)。从曲线上一点出发，沿着平行于轴方向前进交于一点，再从点沿平行于轴方向前进交于点，显然，的横坐标就是。继续这过程就得到序列，且从几何上观察知道在（1），（2）情况下收敛于，在（3）、（4）情况不收敛于。 由迭代法的几何意义可知，为了保证迭代过程收敛，应该要求当时，迭代函数的导数满足条件；否则方程于可能有几个根或迭代法不收敛，为此有下述关于迭代法收敛性定理。 定理1 设有方程 （1） 设于一阶导数存在； （2） 当时，有； （3） 当时，满足条件：。 则 （1） 在上有

8、唯一解； （2） 对任意选取初始值，迭代过程收敛，即；（3）； （2.3）（4）误差估计 （2.4）只证明（2），（3），（4）。 证（2）由定理假设条件（2），当取时，则有，。记误差，由中值公式有 其中c在与之间，即。又利用假设条件（3）得到误差的递推关系 （2.5）反复利用（3.5），得到 （当）即 。证（3） 由迭代公式，显然有 （2.6）其中 在与之间，于是 即 证（4） 反复利用（2.6），可得 。 由定理3结果（2.3）可知，当计算得到的相邻两次迭代满足条件 （2.7）时，则误差 。所以在电算时可利用来控制迭代终止，但是要注意，当时，即使很小，但误差还可能较大。当已知，及给定精度要

9、求时，利用（2.4）可确定使误差达到给定精度要求所需要迭代次数。事实上，由可得 （2.8）定理1中的假设条件：当时，。在一般情况下，可能对于大范围的含根区间不满足，而在根的邻域是成立的，为此有下述迭代过程局部收敛性结果。定理 2（迭代法的局部收敛性）设给定方程 （1）设为方程的解； （2）设在的邻近连续可微且有则对任意取初值，迭代过程（）收敛于（称迭代过程具有局部收敛性）。 证： 取，于是只要验证定理3中条件（2）成立，定理4即得证。 事实上，设，则满足 ，其中，。这说明。 例4 试用迭代法解方程：。 解 （1）由于当时，连续，且显然有 及 即知，方程于及内有根，分别记为及。 （2）考查取初值

10、时，迭代过程的收敛性，其中迭代函数为。 显然，及为增函数，则当时，。又由，则当时，于是由定理3可知，当初值时迭代过程收敛。结果见表63表63 00.010.6931471820.99071046141.1461931151.1461932如果要求近似根准确到小数后第6位（即要求），则由上表可知，且。所以。于是 ，。（3）为了求内方程的根，考查迭代过程 （2.9） 显然，当时，。所以，迭代过程（2.9）不 收敛于。 （4）可将方程转化等价方程 ，从而，且有。因为当时，所以，当选取初值时，迭代过程 收敛。如取，则迭代12次有 ，且有。由上例可见，对于方程，迭代函数选取不同，相应由迭代法产生的收敛情

11、况也不一样。因此，我们应该选择迭代函数，使构造的迭代过程 收敛且较快。迭代法：求解方程 （1） 选取解的初始估计；给定精度要求（2）对于，计算，其中为给定的最大迭代次数。（3）终止条件：当时（或 ）迭代终止。 §3 牛 顿 法 解非线性方程牛顿方法是一种将非线性函数线性化的方法。牛顿方法的最大优点是在方程单根附近具有较高的收敛速度，牛顿方法可用来计算的实根，还可计算代数方程的复根。它是求解方程应用最广泛的迭代法之一。 3.1 牛顿法公式及误差分析 设有非线性方程 （3.1） 其中，假设在上一阶连续可微，且 ；又设是的一个零点的近似值（设）。现考虑用过曲线上点 的切线近似代替函数，即用

12、线性函数代替。且用切线的零点，作为方程（3.1）根的近似值，即 （3.2）一般，若已求得，将（3.2）中换为，重复上述过程，即得求方程根的牛顿方法的计算公式 （3.3）下面利用的泰勒公式进行误差分析。设已知的根的第次近似，于是在点泰勒公式为（设二次连续可微）： （3.4）其中C在与之间。 如果用线性函数 近似代替，其误差为。且用根作为的根的近似值，又得到牛顿公式.现在（3.4）中取，则有 于是 .利用牛顿公式（3.3）即得误差关系式 （3.5）误差公式（3.5）说明的误差是与的误差的平方成比例的。当初始误差充分小时，以后迭代的误差将非常快的减少。 由计算公式（3.3）可知，用牛顿方法求方程根，

13、每计算一步需要计算一次函数值及一次导数。 例5 用牛顿法求 根。 解 显然，方程在，内各有一根。牛顿法计算公式为 以为初值求解如下：，由此可见，经过3次迭代，即得误差小于的平方根。同理可得另一平方根-5。注：当初值选取靠近根时，牛顿法收敛且收敛较快；当初值不是选取接近方程根时，牛顿法可能会给出发散的结果。 3.2 牛顿法的局部收敛性 设有方程，由于牛顿法是一种迭代法，其中迭代函数为 可用迭代法理论来考查牛顿方法的收敛性。 定理3 设方程有根，而在根邻近具有连续二阶导数，且，则存在的一个邻域 ，使得对于任意初值， 由牛顿法产生的序列收 敛 于，且有 （3.6）证 由于牛顿法是一个迭代法， 其迭代函数为 故 从而 于是由定理2知，牛顿法迭代法为局部收敛。且由（3.5）取极限即得（3.6）。 注： 在用牛顿法求的单根时，一般可用来估计的误差，即当充分接近时，若 ，意味着。 §4 弦 割 法 如果函数比较复杂，求导可能有困难，这时可将牛顿公式中近似用差商来代