积分格式对数值模拟波动特性的影响分析

1、积分格式对数值模拟波动特性的影响分析唐 晖1 李小军1 亓兴军21 中国地震局工程力学研究所，哈尔滨，1500802 山东建筑大学土木工程学院，济南，250101提要 本文通过分析时空离散波动数值模拟中振动传递函数的特性，探讨了显式积分格式对波动传播规律的影响。结果表明，所研究的显式积分格式应用于波动的有限元模拟时，波动的截止频率只受空间离散网格尺寸控制，而与时间离散步距无关。证明了在波动的有限元模拟中，所研究的显式积分格式的引入不影响离散网格中计算波动的截止频率。关键词：地震波动，有限元模拟，显式积分格式，截止频率，寄生振荡THE INFLUENCE OF AN EXPLICIT INTEG

2、RATION FORMULA ON PROPERTY OF NUMERICAL SIMULATION OF WAVE PROPAGATIONTang Hui1 Li Xiaojun1 Qi Xingjun21 Institute of Engineering Mechanics, China Earthquake Administration, Harbin, 1500802 School of Civil Engineering, Shandong Jianzhu University, Jinan,250101Abstract The property of vibration trans

3、fer function is analyzed in this paper when wave is simulated numerically with time and space discretization, the effect of the integration formula on wave propagation is discussed. As the result shows, when the explicit integration formula analyzed in the paper is applied to finite element simulati

4、on of wave motion, the cut-off frequency of wave motion is only controlled by the size of space discretization and is independent of size of time discretization step. It is approved that the application of the explicit integration formula in finite element simulation of wave motion has no effect on

5、the cut-off frequency of wave propagation.Key word: wave propagation, finite element simulation, explicit integration formula, cut-off frequency, parasitic oscillation1 引言波动问题的解法大致可以分为解析解法和数值解法，后者相对于前者在求解较为复杂的波动问题时更为有效，因而具有广泛的应用前景，其中以有限元法和有限差分法为主。文献1给出了一种将有限元法与有限差分法相结合的类似于差分法的有限元解法，这种方法不仅保持了有限差分的计算简

6、便和便于编程等的优点，还利用有限元的优点消除了有限差分方法在处理非均匀介质和非规则边界时所遇到的困难。在应用该有限元法对波动问题进行求解的过程中，用有限元离散模型代替原连续体以及对时间域的离散，并结合中心差分格式，使得弹性波的传播规律发生变化2,3。然是，中心差分法在任意阻尼的情况下蜕变为隐式积分格式，就失去了显式积分格式计算量方面的优势。文献4给出了一种任意阻尼的情况均为显式格式的逐步积分方法。对于这一显式积分格式的计算精度、稳定性以及能耗特性，在一些文章中作了较为详细的分析5，6,7，而该显式积分格式应用于波动的有限元模拟时，对波动传播规律的影响尚未有具体的研究成果。为此，本文将对该问题进

7、行具体研究。2 显式积分方法对于动力方程： (1)本文要研究积分方法求解的积分格式4为 (2) 以上各式中，、及分别为体系运动的加速度、速度、位移及荷载矢量；、及分别为空间离散化计算模型体系的质量矩阵、阻尼矩阵及刚度矩阵。在波动的有限元模拟中，对于线弹性体系，可以将时域地震动输入的反应进行分解，以不同自振频率下的地震动反应叠加表示。因此，积分格式对空间离散化计算模型体系的影响可以通过分析其对不同自振频率的单自由体系的影响得到。对于单自由体系动力方程 (3)该显式积分方法格式的积分逼近算子矩阵为： (4)式中，。借助于特征值，动力方程式（3）的位移解即可以表示为 (5)系数和可由反应的初始值决定

8、。通过变换可以进一步得到 (6)其中，为积分逼近算子矩阵的谱半径，（其具体计算式参见文献7），它反映每一积分时间步距计算中积分格式对位移反应幅值的影响，为引入该积分格式后空离散体系反应的频率，即时空离散体系计算反应的频率。3 传递函数的计算10j-1jj+1图1 一维均匀离散模型以图1所示的一维均匀离散集中质量体系为模型，文献2计算分析了仅空间离散时波动计算的传递函数，研究了空间离散时波动的频散、截止频率和寄生振荡等现象。得到的空间离散网格中波动的截止频率为 (7)其中，和分别为波速和空间离散步距。弹性波中大于或等于截止频率的频率分量，在离散网格中将不再是波动形式传播，蜕变为衰减的振荡波。式（

9、7）表明，在波速一定的情况下，该截止频率的大小与空间离散步距成反比。文献3进一步研究了对于空间离散网格模型，采用中心差分格式逐步积分计算时，时间离散对波动的频散、截止频率和寄生振荡特性的影响。本文也以图1所示空间体系体系为模型，通过推导本文讨论的显式积分格式应用于波动有限元模拟时的传递函数，来分析此时计算波传播的规律。图1所示离散体系中节点编号为0，1，2,，单元j规定为节点j-1和j之间的部分。一维集中质量有限元离散模型中，单元的质量、刚度及瑞利阻尼矩阵可由下式给出 (8) (9) (10)上面各式中, ，分别是单元i的质量线密度、剪切刚度和空间离散步距。本文仅研究均匀介质及离散步距相等的情

10、况。由于瑞利阻尼以刚度系数的影响为主，一般取。在的情况下，由式（2）可得到积分格式的递推计算公式 (11) (12)由式（6）可以得到如下关系 (13) (14)其中，及P分别是位移和速度的初始幅值以及积分的步数。利用式（13）和（14），由式（12）式可以得到 (15)记波在节点k-1和k之间的传递函数为，即节点k-1和k在同一时刻的振幅和之间存在关系，则式（15）可改写为 (16)， 利用式（16）和（13）及关系，由式（11）可以得到 (17)，求解式（17）得到 (18)式（18）可进一步表示为 (19)求解式（19）得到 (20)记传递函数，则在取波速=1000m/s、阻尼的刚度系数

11、0.0005和空间离散步距=10m、时间离散步距=0.006s时，传递函数的幅值随频率变化关系如图2所示。以下假定波动沿正向传播，传递函数的相位随频率变化关系如图3所示。 图2 传递函数四个解的幅值与频率的关系图3 传递函数四个解的相位与频率的关系 根据文献4和5的研究结果，本文研究的显式积分格式稳定性条件为 (21)式中，为波传播稳定计算的最高频率。文献8及其它一些研究应用这一显式积分格式的所得结果，也证实了这一稳定性条件对于时空离散模型波动计算分析的适用性。而图3中的第（3）和（4）种情况属于对于任何频率波的计算均不稳定的情况，这些与实际计算情况相违。因此，图3中的第（3）和（4）种情况对

12、应的传递函数的解为不合理解。由此可知传递函数仅有两个合理解，它们对应图3中的第（1）和（2）种情况，即 (22)4 传递函数计算结果分析上述计算结果展示了本文研究的积分格式应用于空间离散模型中波动的模拟时的截止频率特性，当频率超出截止频率时传递函数的相位为，即产生寄生振荡。下文进一步分析了时空离散步距变化对截止频率的影响。对于频率小于等于的波的模拟，空间离散步距应小于其所能取的最大值，且有 (23)定义空间离散步距取最大值时，稳定计算的最大时间离散步距为，则利用积分稳定条件式(21)得到 (24)在保证积分稳定的情况下，改变计算时空离散步距和时，传递函数的幅值和相位的变化如图4所示，图中，。从

13、图4所示的计算结果可以看到，时空离散网格中，的波为可传播的波，而波为寄生振荡波。这表明，时空离散网格中波动的截止频率与仅空间离散时波动的截止频率相同，即空间离散步距的变化对波动的截止频率有明显的影响（其影响由式（7）确定），而时间离散步距的变化对波动的截止频率没有影响。上面的分析也就证明了，在波动的数值模拟中，如果采用本文研究的显式积分格式，时空离散化对波动的截止频率的影响只来自空间离散化，显式积分格式的引入不影响计算波动的截止频率。图4 不同时空离散步距和时传递函数幅值和相位随频率的变化 5 结语已有的一些研究和应用结果表明，本文中所研究的显式积分格式具有广泛适用性和相当高的精度，同时，这种

14、利用显式积分格式的能耗特性可以抑制或消除波动有限元模拟中由于引入人工边界产生的高频失稳。而本文的研究进一步表明，该显式积分格式应用于波动的有限元模拟时，在有限元网格中能传播的波的频率值只受空间离散的控制，在保证积分稳定的情况下，时间离散步距的大小对有限元网格中能传播的波的频率范围没有影响，即在波动的有限元模拟中，该显式积分格式的引入不影响计算波动的截止频率。参考文献1 廖振鹏. 近场波动的有限元模拟J. 地震工程与工程振动，1984, 4(2):1-14.2 廖振鹏，刘晶波. 离散网格中的弹性波动（）J. 地震工程与工程振动，1986，6(2):1-16.3 刘晶波，廖振鹏. 离散网格中的弹性

15、波动（）时域离散化对波传播规律的影响J. 地震工程与工程振动，1990，10(2):1-10.4 李小军，廖振鹏，杜修力. 有阻尼体系动力问题的一种显式差分解法J. 工程力学，工程力学第一届编委会主编，北京科技出版社，1992，471-476；地震工程与工程振动，1992，12(4):74-80.5 李小军，刘爱文. 动力方程求解的显式积分格式及其稳定性与适用性J. 世界地震工程，2000，16(2):8-12.6 景立平. 波动有限方程显式逐步积分格式稳定性分析J. 地震工程与工程振动，2004，24(5):20-26.7 李小军，唐晖，显式积分格式的能耗特性，工程力学，2007（待刊出）.

16、8 Xiao-Jun LI, Zhen-Peng LIAO, Hui-Min GUAN. An Explicit Finite Element-Finite Difference Method for Analyzing the Effect of Visco-elastic Local Topography on the Earthquake Motion. ACTA Seismologica Sinica, 1995, 8(3):447-456.作者基本情况唐晖： 博士研究生，中国地震局工程力学研究所主要研究领域： 地震波动模拟通讯地址： 北京市中关村北一条一号，100080电话：小军： 博士，中国地震局工程力学研究所研究员、博士生导师、副所长主要研究领域： 地震小区