第九章随机数学模型

1、第九章随机数学模型 我们在处理实际问题时，往往会遇到许多不确定的因素引入随机变量描述这种不确定的行为，通常是对实际问题最恰当的描述。由此建立的数学模型称为随机数学模型。9.1广告中的数学在我们的现实生活中，广告无所不在。广告给商家带来了丰厚的利润，广告中蕴藏着诸多学问。以房产销售广告为例，房产开发商为了扩大销售，提高销售量，通常会印制精美的广告分发给大家。虽然买房人的买房行为是随机的，他可能买房，也可能暂时不买，可能买这家开发商的房子，也可能买另一家开发商的房子，但与各开发商的广告投入有一定的关联。一般地，随着广告费用的增加，潜在的购买量会增加，但市场的购买力是有一定限度的。表9.1给出了某开

2、发商以往9次广告投入及预测的潜在购买力。 表9.1 广告投入与潜在购买力统计（单位：百万元） 广告投入 0.2 0.4 0.5 0.52 0.56 0.65 0.67 0.69 1 购买力 1034 1058 1067 1069 1072 1078 1080 1081 1095下面从数学角度，通过合理的假设为开发商制定合理的广告策略，并给出单位面积成本700元，售价为4000元条件下的广告方案。模型假设（1）假设单位面积成本为元，售价为元，忽略其他费用，需求量是随机变量，其概率密度为。（2）假设广告投入为百万元，潜在购买力是的函数记作,实际供应量为。模型建立开发商制定策略的好坏主要由利润来确定

3、，好的策略应该获得好的利润（平均意义下），为此，必须计算平均销售量。 上面第二式表示，当需求量大于等于供应量时，取需求量等于供应量。因此，利润函数为 利用得到 （9.1）上式中，第一项表示已售房毛利润，第二项为广告成本，第三项为未售出房的损失。模型求解 为了获得最大利润，只需对（9.1）式求导并令其为零，设获得最大值时的最优值为，则 因此，满足关系式 （9.2）通过（9.2）式，在广告投入一定的情况下，可以求出最优的供应量，但依赖于需求量的概率分布。为使问题更加明确，增加如下假设：（3） 假设需求量服从分布，即 (9.3)将（9.3）代人（9.2）得到 （9.4）即最优的供应量等于毛利率与由广

4、告费确定的潜在购买力的乘积。将（9.4）式代入（9.1）式，得到最大利润为 （9.5）对（9.5）式关于求导，得驻点满足的方程为 （9.6）因此，只要知道了潜在购买力函数，就可以给出最优的广告投入。 下面根据开发商获得的相关数据，来确定潜在购买力函数。通过对表9.1数据分析，得知其符合型曲线增长率，经拟合得到 （9.7）记将（9.7）式代入（9.6）式，当时，求得 （9.8）将代入（9.8）式得到(百万元)。 9.2定岗定编问题 社会系统中，常常因为职务、地位等的不同，划分出许多的等级，各等级的人数比例称之为等级结构，定岗定编问题即是保持一个稳定合理的等级机构，这类问题在许多单位都可以看到它的

5、缩影。那么等级结构是怎样随时间变化的呢？等级结构的变化依赖系统内部的等级随时间的转移（即通常所说的职务升降，以及系统内外部的交流（即通常所说的调入、调出、退休、死亡等）。通过数学语言将等级结构随时间变化关系恰当地表示出来，就构成这个问题的数学模型。假设（1）将一个系统由低向高分成个等级，每隔年进行一次正常的等级调整。（2 ）表示第次调整时第个等级的人数，记，不妨称之为等级结构。为系统第年的总人数。（3） 记，称为等级结构向量。（4） 记表示每次从等级升到等级的人数占等级中人数的比例；，表示每次从等级中退出人数的比例；，表示每次调入等级的人数占总调入人数的比例。记， 。一般地，分别称为内部转移矩

6、阵、退出向量、调入向量。为简便起见，不妨假设其与时间无关。模型建立 根据假设，可以得到，且 （9.9）第次的系统总人数满足方程 （9.10）每个等级人数的转移方程为 （9.11）从到年总人数的增长量记为，则 （9.12）将（9.12）代入（9.11）得到 （9.13）记，则也是随机矩阵，（9.13）可以表示为 （9.14）通常称（9.14）为等级分布基本方程。假如系统的总人数每年以固定的比例增长，即，则 （9.15）特别地，如果每年进出系统的人数大致相等，即系统总人数保持不变。那么，方程（9.15）可以简化为 （9.16）具有形如（9.16）的方程称为马氏链。对于由（9.14）给出的等级分布基

7、本方程，下面考虑如下问题：给定初始等级结构，如何确定调入比例，使等级变化尽快达到或接近给定的理想等级结构。需要指出的是，如果等级结构满足，则称等级结构为稳定的。系统是否有稳定的等级结构是有条件的，如果存在，则必须满足（9.9），且 （9.17）保证（9.17）成立的充分必要条件是存在非负向量（每个分量非负），使 （9.18）如果矩阵可逆，由（9.17）得到 （9.19）令 ，由于的各分量之和为1，即。利用（9.19）式得 （9.20）再将（9.20）式代入（9.19）式得到 （9.21）关于两个等级接近程度的分析 在处理实际问题时，通常会比较两个等级的接近程度，以便确定当前等级的状态。为此，我

8、们引入等级距离的概念。定义两个等级之间的距离如下： (9.22)其中为加权因子，由对各等级的关注程度确定。一个满意的等级分布应该满足如下优化问题： （9.23）由于如果记 （9.24）则与呈正比，（9.23）等价于 （9.25）对于上面的优化问题，在某种程度上，它只是条件极值问题，可以用拉格朗日乘子法求解。9.3零件的预防性更换 在生产设备或科学仪器中长期运行的零件都会发生故障或损坏，等到损坏时才更换零件可能会带来一定的经济损失，比如产生废品等。如果在零件运行一定时间后，就对尚属正常的零件做预防性更换，就可以避免一些废品、次品的损失。如果策略得当，或许可以将损失降到最低程度。解决这个问题的关键

9、在于恰当地估计零件能够正常运行的时间，简称零件寿命。由于零件在制造及运行过程中受到多种因素的影响，零件的寿命是一随机变量，可以通过试验分析及理论分析来确定零件的寿命分布及其他数字特征。一般来说，不同的零件寿命分布不一样，预防性更换的策略也不一样。假设：（1） 零件寿命服从某种已知的分布，其分布函数为，概率密度为，数学期望为。（2） 确定一个正常的时间间隔，当时，对零件进行故障更换，更换费用为，当时，对仍然正常工作的零件进行预防性更换，更换费用为。（3） 记，分别称为零件的可靠度及失效率。建模与求解这是一个优化问题，目标函数为单位时间的损失费用最小。如果称零件每更换一次为一个周期，则周期的平均长

10、度为 （9.26）一个周期内的平均损失为 (9.27)单位时间的平均损失为 (9.28)通过求导运算可以得到使（9.28）式取得极小值的应满足 (9.29)方程（9.29）是否有解取决于式中的相关参数及零件的分布类型。如果记 (9.30)则有 考察（9.29）式及（9.30）式得知，如果为关于的单调递增函数，且 （9.31）则存在唯一的有限的正值使方程（9.29）成立，且（9.28）式的最小值为。 不同寿命分布的零件的最优的更换策略存在较大差异。下面就几个常用的寿命分布，分析最优的零件更换策略。指数分布 设零件的寿命服从指数分布，即 经计算得到 方程（9.29）不成立，即不存在预防性更换策略。

11、分布 设零件的寿命服从分布，即 经计算得到 易见是的单调递增函数，且。考虑（9.31）式得知，当时，存在唯一的有限的正值使方程（9.29）成立，即存在最优的预防性更换策略。威布尔分布（）分布设零件的寿命服从威布尔分布，即 经计算得到 易见，当时，是的单调递增函数，且。存在唯一的有限的正值使方程（9.29）成立，即存在最优的预防性更换策略。9.4 零件的参数设计一件产品通常是由多个零部件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行批量生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代

12、表数学期望，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的3倍。 进行零件参数设计，就是确定其标定值和容差。需要考虑两方面的因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了零件的制造成本，容差设计得越小，成本越大。下面通过一个具体实例来介绍零件参数的设计方法。粒子分离器某参数（记为）有7个零件的参数（记作）决定，经验公式为 （9.32）的目标值（记作）为1.5。当偏离时，产品为次品，质量损失为1000元；当偏离时，产品为废品，质量损失为9000元。 零件参数的标定值有一定的容许变化范围；容差分为三个等级，用与标定值

13、的相对值表示，等为，等为，等为。7个零件参数标定值的容许范围及不同容差等级零件的成本（元）如表9.2。 表9.2标定值容许范围等等等0.075，0.1250.225，0.375 0.075，0.1250.075，0.1250.125，1.87512，200.5625，0.9375/2020505010/255050100/2525/200500/100100 现在要进行批量生产，每批生产1000个。在原设计中7个零件参数的容差均取最便宜的等级，标定值分别为 分析原方案的合理性，并给出最优的设计方案。这是随机优化问题，目标函数为单个零件的费用。假设：（1）7个零件的参数均服从正态分布且相互独立，

14、也即 （9.33）其中，是第零件参数的标定值，记。（2）参数的容差记为，其关于标定值的相对值记为，即 （9.34）（3）记第种零件的成本为，则每件产品的总成本为 。产品参数分布描述产品的质量损失费用与产品的次品率、废品率有关，因此必须先确定产品参数的分布，尽管已经有关于的经验公式，但如果利用这样的公式确定其分布函数将是非常麻烦的，甚至是不可行的，有必要对其作适当简化，求其近似分布。如果可行的话，线性近似是最容易处理的。下面我们来对其作线性近似，并分析其合理性。若 则 （9.35）由（9.33）式得 的方差可以近似地表示为 （9.36）因此，可以近似地认为 （9.37）可以通过随机模拟进一步验证

15、（9.37）式的合理性。先在的标定值允许范围内任取一组值，由计算机产生若干组相互独立的正态分布随机数，画出直方图（见图9.1），用分布拟合的检验法检验服从正态分布的合理性。 图9.1线性近似合理性数值检验目标函数描述产品总费用=零件总成本+总的质量损失费用，但在随机问题中，应该考虑的是平均意义下的费用，即期望总费用。质量损失函数为 其中，。根据（9.37）式，可以得到的概率密度函数为 据此有正品的概率为 （9.38）次品的概率为 （9.39）废品的概率为 （9.40） 大批生产的平均每件产品的质量损失费用为 因此每个产品的总费用为 （9.41）模型建立与求解引入记号表示第零件参数取第个容差的成

16、本，=1表示第零件参数取第个容差，否则=0。考虑（9.39）式及（9.40）式，引用标准正态分布的分布函数，得到 将之代入（9.41）式，则得到目标函数为 该零件参数优化设计问题可以归结为如下的优化问题 其中，分别为零件参数标定值的下界与上界。可以借助Lingo软件给出该优化问题的最优结果。具体结果为 9.5航空公司超额预售的最优策略我们经常在一些媒体上看到旅客的抱怨，他们本已经订好了某天某次班机的机票，但到达机场后接受检查时却被告知：“先生，对不起，你的航班已经满员，我们将不得不让你改乘其他航班了”。造成这种现象的原因是航空公司为了追求利润最大化，通常会超额预售机票。发生这种事情自然会引起乘

17、客的不满，因此在计算机辅助订票的今天，应该优化订票方案，既考虑航空公司的利润，又尽可能减少乘客的抱怨。由于我们并不清楚航空公司的任何强制服务且缺失航空公司相关数据，因此不能对某次飞机给出定性结论，下面只是一般性的结论。假设：（1） 航班的飞行成本与乘客数无关，航空公司的利润只与收入与成本有关，飞机最大容量记为。（2） 尽管不同机舱的票价不同，为了简化模型，只考虑乘客的平均票价，每个乘客所付费用记为，预订票乘客登机概率为。(3) 对于一次飞行，取消登机的人数记为，该事件发生的概率记为。(4) 某次航班订票总数记为，因航班满员被拒登机的补偿费用记为。（5）某次航班出售的折价机票数记为，折价率记为。

18、(6) 客源丰富，不考虑订票不满的情况。必要时，可以改变某些假设。 模型建立模型一 不考虑任何形式补偿) 个订票者中有个取消登机时利润 （9.42）每个航班的实际平均利润 (9.43) 要使最大，应该尽可能小，因此需要越大越好。这个模型的缺点是没有考虑拒签补偿。更合理的模型需要将拒签因素计入模型。对于不同的拒签补偿方式，我们可以建立不同的模型。模型二 现金补偿模型 假设每位被拒签的补偿是, 个订票者中有个取消登机时利润 (9.44)每个航班的实际平均利润 记 表示不登机乘客的期望值，则有 （9.45）下面考虑几种特殊情况，验证模型的有效性情形一： 结果表明，当时，公司利润最大，这与实际是相符的

19、。情形二：预订票者实际登机的概率服从二项分布，因此个预定票者有个取消登机的概率为 （9.46） 假设，记 (9.47)我们的目标是寻找最优的,使取最大值。可以通过数值模拟寻优。(1) 分别为0.02，0.04，0.06，0.08，0.1，横坐标为,纵坐标为,结果见图9.2。 图9.2 从图9.2可以看出，对需要超额预定的票数有较大影响，这一点与实际也是相符的，因为越大，平均来说实际取消登机的人数越多。为了保证航班满座，就必须多预售一些票。（2）分别为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，横坐标为。,纵坐标为，结果见图9.3。 图9.3从图9.3中可以看出，在实际登机率为96%的情况下，对于赔

20、付比率为0.10.5，一架200座的航班，超额预售的票数约为11张时，利润最大。该图也说明了，如果航空公司能准确地知道预定票者的登机概率，只要适当地控制预售票数，从平均意义上来说，即使航空公司制定较高的拒签赔付率，也不会对其最大利润产生多大影响。 模型三 混合补偿模型模型二仅考虑了现金补偿。在实际操作时，混合补偿也是常见的补偿方式，航空公司可以让拒签者自己选择现金补偿，或优惠购买折价机票 。 假定个旅客以票价订了折价机票，不考虑这部分人取消登机情况。对于一个航班，有个预订票者取消登机的利润为 （9.48） （9.49）据此得到 （9.50）类似于前面的分析，也可以得到最优的预订票方案。9.6

21、最佳进货策略一个小型的水族馆专营各种规格的水族箱，每个周末，店老板都要清点存货，确定下一周是否进货。老板的进货策略是：如果本周某种规格的水族箱存货全部售出的话，下周初就再进货3个，否则便不再进货。这样的策略可能会造成部分时间顾客买不到货，造成一定的潜在利润损失。表9.3给出了该店过去两年的需求情况，根据这组统计数据，确定该店的缺货情况。 表9.3 水族馆100周需求记录周次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10需求量 1 2 1 1 1 1 1 0 3 3 周次 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20需求量 1 0 2 0 1 3 3 4 1 2周次 21 22 23

22、24 25 26 27 28 29 30需求量 2 0 0 2 1 1 1 0 2 2周次 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40需求量 1 4 1 0 1 1 0 1 1 1 周次 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50需求量 1 0 2 1 1 2 1 1 0 0周次 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60需求量 1 0 1 1 1 2 1 0 1 0周次 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70需求量 2 0 1 2 0 0 2 1 2 1周次 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80需求量

23、0 1 0 0 3 1 2 1 0 2周次 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90需求量 3 0 0 2 1 0 0 2 0 1周次 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100需求量 1 1 0 0 0 1 0 1 0 2 图9.4 100周需求统计假设（1） 第周水族馆的需求服从参数为1的泊松分布。（2） 第周水族馆的存货用随机变量表示，且。根据假设得到 于是 ， ， 如果记 则有 下面进一步计算缺货概率。一般来说这个概率依赖于，为了得到关于缺货的更一般的信息，我们需要对的信息再作一些分析。是一个遍历的马尔可夫链，其一定存在唯一的渐进稳定的单位长度概率向

24、量，它可以通过求解稳定状态方程计算出来。令得到 因此，对于充分大的，近似地有 =上式表明，每年约有10.49%的时间（约5周时间）水族馆是缺货的。9.7 分类问题人以类聚，物以群分。人们认为某一批样品属于同一类，是因为它们之间有相同或相似之处，从指标上来说就是大小比较接近。由于指标往往不只一个，接近程度的衡量标准不一样，结果会有差异。本节借助一个实际问题介绍两类常用的分类方法。若已知两类蠓共32个标本，已由生物专家根据触角长度及重量的数据分成类和类，具体数据见表9.4，根据这32个样本的特征对未知的8个样本进行分类。 表9.4() 类蠓的触角与重量数据序号 1 2 3 4 5 6 7 8 8.

25、70 5.00 10.38 10.86 6.560 13.57 13.57 9.89 32.94 16.64 37.14 46.24 23.08 38.58 42.54 14.02序号 9 10 11 12 13 14 15 16 10.98 10.52 9.44 12.18 8.24 16.55 9.59 10.34 15.59 35.71 26.00 36.90 38.16 37.12 42.90 36.69 表 9.4() 类蠓的触角与重量数据序号 17 18 19 20 21 22 23 24 27.14 12.78 19.88 19.05 10.37 21.54 13.66 28.4

26、9 23.04 30.15 23.54 16.13 22.28 13.94 19.88 19.71序号 25 26 27 28 29 30 31 32 15.16 23.17 21.31 14.46 6.97 19.64 13.93 23.68 20.00 18.09 26.57 8.75 22.56 25.37 24.38 23.46 未知的8个样本为 表9.4() 未知类别蠓的触角与重量数据序号 33 34 35 36 37 38 39 40 10.12 12.03 11.70 9.23 20.71 21.88 28.66 17.89 26.22 27.04 15.24 27.66 23.

27、73 24.79 25.64 14.04已知的32个样本及未知的8个样本分布见图9.5 图9.5 40个样本分布下面用三种方法来建立模型解决此问题。模型一 距离判别模型距离判别法是让指标大小比较接近的属于一类，新样本离谁近就判给谁。当已经给定了一些样本的分类，一般有许多样本属于同一类，以谁作为这类的代表呢？以哪一个样本作代表都不太合适，一个比较恰当的方式是以样本的几何中心为代表。通常的方法是通过计算样本的均值向量及方差。根据样本与均值的接近程度，判断其类型。对于给定的蠓样本，与哪组均值向量越接近，就认为该样本属于此类。考虑32个样本得到类的均值向量，均方差向量为，类的均值向量，均方差向量为。常

28、用的距离判别有欧氏距离与马氏距离判别法。欧氏距离定义为 （9.51）马氏距离定义为 （9.52）其中，表示两类样本的协方差阵。经计算得 ， 欧氏距离判别法可以看作为马氏距离判别法的一个特例，即协方差阵为单位阵。利用（9.51）式及（9.52）式进行回代，计算类蠓的欧氏距离及马氏距离见表9.5。 表9.5类蠓回代距离统计序号 1 2 3 4 5 6 7 8 3.1 281.3 21.3 188.4 103.9 46.8 110.4 342.5 230.1 194.6 318.0 685.0 139.6 326.4 480.3 119.6 0.035 0.288 0.018 0.139 0.135

29、 0.088 0.104 0.257 0.006 0.711 0.053 0.473 0.261 0.116 0.279 0.860序号 9 10 11 12 13 14 15 16 286.9 10.19 43.43 22.35 36.48 58.98 108.40 7.39 82.9 272.0 100.7 285.4 389.8 258.8 548.7 304.4 0.267 0.007 0.027 0.029 0.113 0.359 0.120 0.015 0.715 0.026 0.110 0.056 0.084 0.131 0.268 0.043经检验发现：在欧氏距离意义下序号为2

30、，8，9的样本出现误判；在马氏距离意义下序号为1，13，14的样本出现误判。利用（9.51）式及（9.52）式进行回代，计算类蠓的欧氏距离及马氏距离见表9.6。表9.6类蠓回代距离统计序号 17 18 19 20 21 22 23 24 370.1 11.3 170.5 343.5 104.9 469.3 170.4 491.3 83.4 111.0 8.6 25.6 62.8 62.6 22.2 107.7 0.845 0.536 0.024 0.040 0.714 0.234 0.217 1.224 0.161 0.243 0.021 0.062 0.114 0.142 0.044 0.1

31、95序号 25 26 27 28 29 30 31 32 179.4 371.3 154.4 581.5 111.0 136.5 78.7 258.4 10.6 33.8 39.3 167.1 128.4 20.1 28.9 35.4 0.095 0.325 0.084 0.150 1.460 0.020 0.253 0.302 0.021 0.064 0.097 0.423 0.233 0.051 0.056 0.073经检验发现：在欧氏距离意义下序号为18，29的样本出现误判；在马氏距离意义下序号为20，27，28，30，样本出现误判。综上分析发现：对于32个已知样本，用欧氏距离判别误判率

32、为15.6%，用马氏距离判别误判率为21.9%。易见，距离判别法的误判概率还是比较高的。将8个未知样本数据分别代入（9.51）式及（9.52）式，得到相应的欧氏距离及马氏距离见下表9.7。 表9.7未知样本欧氏距离与马氏距离统计序号 33 34 35 36 37 38 39 40 6.3 5.7 17.3 5.0 13.5 13.8 19.5 19.9 9.6 8.6 8.8 11.1 3.6 5.2 11.4 7.1 0.028 0.080 0.328 0.019 1.510 1.780 4.124 1.302 0.100 0.077 0.743 0.063 0.361 0.365 0.69

33、4 0.915经比较发现：在欧氏距离意义下序号为 33， 34 ，36的样本为类，序号为35，37，38，39，40的样本为类；在马氏距离意义下到序号为33，35，36，的样本为类，序号为34，37，38，39，40的样本为类。对于马氏距离判别法，进一步分析可知，如果两类样本的协方差阵相同，则 表示平面上的一条直线，它将平面分成两个区域，分别表示两类样本区，位于该直线上的点到两个样本中心距离相等，理论上该直线上的样本点属于无法判别的情况。如果两类样本的协方差阵不同，则 表示平面上的一条曲线，它将平面分成两个区域，分别表示两类样本区，位于该曲线上的点到两个样本中心距离相等，理论上该曲线上的样本点

34、属于无法判别的情况。我们在前面的回代中已经发现，马氏距离判别法会出现误判，那么怎样估计误判率呢？为此，不妨简化假设蒙的触角长度与重量服从正态分布，即 记 则类被误判为类的概率为随机变量落入区域内的概率，类似地可以计算将类误判为类的概率。模型二Fisher法多变量的判别分析有多个指标，它们对于判别样本属于哪一类一般都有影响，但影响程度一般不完全相同，总会有些指标影响大，有些指标影响程度小，因此按主要差异来进行判别将会有比较好的效果。通常指标间有一定的关联性，因此主要差异不一定是某个指标，而是某些指标的某种线性组合，在这个方向上，样本点最容易区分。Fisher判别法就是这一思想的某种体现。借助多元统计中方差的思想，一般可以分类的样本，应该是类与类之间方差很大，而各类之间却靠得狠近，方差较小。可否用一个指标来表征这些特征呢？因为方差总是非负的，