数学(文)二轮复习通用讲义：专题二第二讲大题考法——数列

1、第二讲大题考法数列题型(一)主要考查等差数列、等比数列的通项公式及等差、等比数列基本量的计算前n项和的求解，且常结合数列的递推公式命题.典例感悟典例1(2018全国卷出)等比数列an中，ai=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=63,求m.审题定向(一)定知识主要考查等比数列的通项公式及前n项和.(二)定能力1 .考查数学运算：指数式的运算.2 .考查逻辑推理：欲求通项公式，需求公比q；欲求参数m,需列出参数m的方程.(三)定思路第(1)问应用方程思想、等比数列通项公式求解：列关于公比q的方程求q,并写出等比数列的通项公式；第(2)问应用方程思想、等

2、比数列求和公式求解：据等比数列前n项和公式，结合(1)中结论列关于m的方程并求解.解(1)设an的公比为q,由题设得an=qnL由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=2或q=2.故an=(2)n1或an=2n.11-(-2f(2)若an=(2)n则Sn=一：一.3由Sm=63,得(2)m=188,此方程没有正整数解.1 2门若an=2n1,则Sn=2n-1.1-2由Sm=63,得2m=64,解得m=6.综上，m=6.典仞2(2017全国卷n)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=1,4=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式；(2)

3、若T3=21,求S3.审题定向(一)定知识主要考查等差数列、等比数列通项公式及前n项和.(二)定能力1 .考查数学运算：二元方程组的求解和一元二次方程的求解.2 .考查逻辑推理：由求通项公式想到求数列的公比；要求等差数列的和需先求公差.(三)定思路第(1)问应用方程思想、等比和等差数列通项公式求解：根据等差、等比数列的通项公式，结合条件建立公差d、公比q的方程求解；第(2)问应用方程思想、等差数列求和公式求解：由已知条件列出q的方程，求出q,进而求出d,再由等差数列的前n项和公式求解.解设an的公差为d,bn的公比为q,则an=1+(n1)d,bn=qn1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)

4、由a3+b3=5得2d+q2=6.d=3，d=1,联立解得£(舍去)或1q=0Lq=2.因此bn的通项公式为bn=2n1.(2)由b1=1,T3=21,得q2+q20=0,解得q=5或q=4.当q=5时，由得d=8,则S3=21.当q=4时，由得d=1,则S3=-6.类题通法等差、等比数列的基本量的求解策略(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要先求解的中间问题.如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，即确定解题的逻辑次序.(2)注意细节.例如：在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；在数列的通项问题

5、中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等.对点训练已知数列an是等差数列，满足ai=2,a4=8,数列bn是等比数列，满足b2=4,b5=32.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列an+bn的前n项和Sn.-a4a1解：(1)设等差数列an的公差为d,由题意得d=2,所以an=a1+(n-1)d=23+(n1)X2=2n.设等比数列bn的公比为q,由题意得q3=b5=8,解得q=2.因为b1=，=2,所以bn=b1qn1=2x2n1=2n.q(2)因为an=2n,bn=2n,所以an+bn=2n+2n,所以Sn="2：2n212Ln2+n21-2+2n+1-2.眄刖，一、

6、主要考查错位相减法求和、裂项相消法题型(一)数列求和问题求和以及公式法求和，且常结合数列的递推公式命题.典例感悟典例1(2018全国卷n)记5门为等差数列an的前n项和，已知ai=7,S3=15.(1)求an的通项公式；(2)求Sn,并求Sn的最小值.审题定向(一)定知识主要考查等差数列的通项公式、数列的公式法求和及数列和的最值.(二)定能力1 .考查逻辑推理：欲求等差数列的通项公式，已知a1,需求公差d;欲求Sn的最小值，需列出Sn的关系式.2 .考查数学运算：一元二次函数的最值求解.(三)定思路第(1)问应用方程思想、等差数列通项公式求解：由题意列出关于数列公差d的方程，求出d,进而得出a

7、n的通项公式；第(2)问应用函数思想、二次函数的最值求解：由(1)得出Sn是关于n的二次函数，进而由二次函数的性质求出Sn的最小值.解(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=15.又a1=7,所以d=2所以an的通项公式为an=2n-9.n = 4时，Sn取得最小值，最na-an22(2)由(1)得Sn=2=n-8n=(n-4)16,所以当小值为16.典例2(2017全国卷出)设数列an满足n+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通项公式；fran一、，一(2)求数列而彳酌刖n项和.审题定向(一)定知识主要考查已知an的关系式求通项公式及裂项求和法求数列的和.(二)定能力1 .

8、考查逻辑推理：由an的关系式与an-1关系式得出an的式子，即通项公式.2 .考查数学运算：分式形式的裂项及裂项相消求和.(三)定思路第(1)问应用递推关系式，把和的问题转化为项的问题：利用an满足的关系式写出n>2时an1的关系式，通过消项求得数列的通项公式;第(2)问根据通项公式结构特点裂项求和：化简通项，观察数列的结构特征，利用裂项相消法求和解(1)因为a+3a2+(2n1)an=2n,故当n>2时，3a2+(2n3)an1=2(n1).两式相减得(2n-1)an=2,2所以an=(n>2).又由题设可得a1 = 2,满足上式,从而an的通项公式为2an2n 1(2)记

9、向前n项和为Sn.由(1)知一an2n+ 1 (2n+1j(2n 1)2n12n+1则Sn=1_；+1_1+2n 1 2n+113352n2n+1类题通法1.公式法求和要过“3关定义关会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列，还是等比数列应用关会应用等差(比)数列白前n项和公式来求解，需掌握等差数列的前n项和公式、等比数列的前n项和公式运算关认真运算，等差数列求和要根据不同的已知条件灵沽运用两个求和公式，问时注意与性质的结合使用；等比数列求和注意q=1和qw1两种情况2.裂项相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差.(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多.3 .错位相减法

10、的关注点(1)适用题型：等差数列an与等比数列bn对应项相乘(anbn)型数列求和.(2)步骤:求和时先乘以数列味的公比；将两个和式错位相减；整理结果形式.对点训练(2018石家庄模拟)已知数列an是各项均为正数的等比数列，若ai=1,a2a4=16.(1)设bn=log2an,求数列bn的通项公式；(2)求数列anbn的前n项和Sn.,fa1=15解：(1)设数列an的公比为q(q>0),由得q4=16,q=2,，an=2n-1.又bna2a4=16=10g2an>,bn=n1.(2)由(1)可知anbn=(n-1)2n1,则Sn=0X20+1X21+2X22+(n1)2n1,2

11、Sn=0X21+1X22+2X23+(n-1)2n,一得，一Sn=2+22+23+2n1(n1)2nn2-2=(n-1)2n=2n(2-n)-2,1- 2Sn=2n(n2)+2.题型(三)等差、等比数列的判定与证明主要考查等差数列与等比数列的定义、等差中项及等比中项，且常与数列的递推公式相结合命题.典例感悟典例1(2018全国卷I)已知数列an满足ai=1,nan+产2(n+1再.设况=1.(1)求bi,b2,加；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式.审题定向(一)定知识主要考查数列的递推公式、等比数列的定义及通项公式.(二)定能力1 .考查逻辑推理：欲求b1,

12、b2,b3,需求a1,a2,a3；由an+1与an的关系判断bn+1与bn的关系，由bn的通项公式得出an的通项公式.2 .考查数学抽象：由等比数列定义判断.(三)定思路第(1)问应用递推关系式及an与bn的关系式求解：2(n+1将递推关系式变形为an+1=nan,结合a1求出a2,a3,进而求得b1,b2,b3；第(2)问应用递推关系式及等比数列定义求解：an+12an由条件得=20-,即bn+1=2bn,利用等比数列定义可判定；n+1n第问应用(2)的结论，结合an与bn关系式求解：由等比数列的通项公式先得出bn,进而求得an.解(1)由条件可得an+1 =n将n=1代入得，a2=4ai,

13、而ai=1,所以a2=4.将n=2代入得，a3=3a2,所以a3=12.从而bi= 1b2= 2, b3= 4.(2)数列bn是首项为1,公比为2的等比数列.an+12an由条件可得=才，即bn+1=2bn,又bl=1,所以数列bn是首项为1,公比为2的n+1n等比数列.(3)由(2)可得=2"，所以an=n2n-1典例2(2017全国卷I)记5口为等比数列an的前n项和.已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式；(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.审题定向(一)定知识主要考查等比数列的通项公式及其前n项和公式，等差数列性质及等差数列的判断.(二)定能

14、力1 .考查逻辑推理：欲求通项公式，需求首项及公比，解关于首项及公比的方程组2 .考查数学抽象：由等差中项判断三项成等差数列.(三)定思路3 (1)问应用方程思想、等比数列通项公式求解：设出公比，利用通项公式及已知条件列出方程组求出首项和公比，再求通项公式；4 (2)问应用方程思想，等比数列求和公式求解；应用等差数列性质判断：由(1)及等比数列前n项和公式求Sn；根据等差数列中项公式，判断Sn+1+Sn+2=2Sn.解设an的公比为q.a1(1+q/2,=2,由题设可得12解得£a41+q+q户-6.q=-2.故an的通项公式为an=(2)n.4(-2)X1-(-2f(2)由(1)可

15、得Sn=一2)=-3+(T)n2T.332n+3_2n+2 n 由于Sn+2+Sn+1=不+(1)32n+1=2卜3+(Tn.2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.类题通法判定和证明数列是等差（比）数列的方法定义法对于n>1的任意自然数，验证an+ian或四上1为与正整数n无关的某一常匚an）数中项公式法若2an+i=an+an+2(nCN*),则an为等差数列；右an+1=anan+20(nCN),则an为等比数列对点训练（20i8成都模拟）已知数列an满足ai=2,ani=2an+4.证明：数列an+4是等比数列；（2）求数列|an|的前n项和Sn.解：(1)证明：ai=-2

16、,ai+4=2.an+1=2an+4,'an+i+4=2an+8=2(an+4),an+i+ 4=2,an+4是以2为首项，2为公比的等比数列.an+4(2)由(1)可知an+4=2n,a=2n4.当n=1时，ai=2<0,.Si=|ai|=2;当n>2时，an>0.Sn=ai+a2+an=2+(24)+(24)=2+2+22(1-2).-4(n-1)=4(n-1)=2n1-4n+2.1-2又当n=i时，上式也满足.当nCN*时，Sn=2n1-4n+2.解题通法点拨数列问题重在“归”一一化归循流程思维一一入题快等差数列与等比数列是我们最熟悉的两个基本数列，在高中阶段它

17、们是一切数列问题的出发点与落脚点.首项与公差（比）称为等差（比）数列的基本量，大凡涉及这两个数列的问题，我们总希望把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系，从而达到解决问题的目的.这种化归为基本量处理的方法是解决等差或等比数列问题特有的方法，对于不是等差或等比的数列，可通过转化化归，转化为等差（比）数列问题或相关问题求解.由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目特点，将数列问题化归为函数问题来解决.按流程解题一一快又准典例（2017天津高考）已知an为等差数列，前n项和为Sn（nCN*）,bn是首项为2的等比数列，且公比大于0,bz+b3=12,b3=a4-2anSii=11b%求出和bn

18、的通项公式;（2）求数列a2nb2n-1的前n项和（nCN*）.解题示范（1）设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.i化归：利用等基、等比数列通项、求加公式，化归力W&q的美.率由已知b2+b3=1十得bi(q土q2)壬J,2,而b1=2,所以q2+q6=0.又因为q>0,解得q=2.所以bn=2n.由b3=a42a1,可得3da1=.8.由Sn=11b4,可得a1.+5d=.16.(2)由，解得ai=1,d=3,由此可得an=3n2.所以数列an的通项公式为an=3n2,数列bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn,由a2n=6n2,

19、b2ni=2x4n1,得a2nb2n-i=(3n1)x4”，故Tn=2X4+5X42+8x43+(3n1)X4n,4Tn=2X42+5X43+8X44+(3n-4)X4n+(3n-1)X4n1,上述两式相减，得1化！I，通过错位相减武法.将求和转化为等；比数列求和同题求解-3Tn=2X4+3X42+3X43土二土3><.4n-.(3n-1).X4n二112X(14n)n4-(3n-1)X4n+1-4=-(3n2)X4n18.故Tn=3n7X4n1+8.33所以数列a2nb2n-1的前n项和为"UX4n1+8.33思维升华对于数列的备考应掌握的4个关键点：(1)准确掌握数列

20、中an与Sn之间的关系，这是解决数列问题的基础；(2)重视等差与等比数列的复习，熟悉其基本概念、公式和性质，这是解决数列问题的根本；(3)注意数列与函数、不等式等的综合问题，掌握解决此类问题的通法；(4)在知识的复习和解题过程中体会其中所蕴含的数学思想方法，如分类讨论、数形结合、等价转化、函数与方程思想等.应用体验(2018开封模拟)已知数列an满足a1=1,且2nan12(n+1而=n(n+1).(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=；,求数列bn的前n项和Sn.anan 1 nan+1解：(1)2nan+12(n+1)an=n(n+1),两边同时除以2n(n+1)得n+1.数列)nn是

21、以1为首项，2为公差的等差数列,n(n+1)an=2.1(2) bn=anbn=n n+ 1=2 In11+一一2n+1nn+1=2X课时跟检测A卷一一大题保分练1. (2018陕西模拟)已知在递增等差数列an中，a1=2,a?是a1和a9的等比中项.(1)求数列an的通项公式;1(2)若bn=(n+1即'Sn为数列bn的前n项和，求S100的值.解：(1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n1)”后3是a1和a9的等比中项，.a2=a"即(2+2d)2=2(2+8d),解得d=0(舍)或d=2.an=十十(n1)d=2n.1 (2)bn =(n+ 1 ,n 2n(n

22、 + 1 ) 2nn+1 .1X=_ z2=241-J-101-Sioo=bi+b2+bi00111111-2+2-3+100-101>50101.2. (2018兰州诊断性测试)在公差不为零白等差数列an中，a1=1,a2,a,，a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=2an,Tn=bi+b2+bn,求Tn.ai=1,解：(1)设等差数列an的公差为d,则依题意有12解得d(ai+3d)=(ai+djai+7dj,=1或d=0(舍去)，.an=1+(n1)=n.(2)由得an=n,bn=2,.bn是首项为2,公比为2的等比数列，n.Tn=-=2n+1-2.1-23.

23、(2018北京调研)已知数列an满足a1=1,且an+1=2an,设bn2=3log2an(nCN*).(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列|anbn|的前n项和Sn.解：(1)因为an+1=2an,a1=1,所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列.所以an=2n.又因为bn2=3log2an(nN),所以bn=3log22n+2=3(n1)+2=3n1.(2)因为数列an中的项为1,2,4,8,16,，2n1,数列bn中的项为2,5,8,11,14,，3n-1所以当nW4时，|anbn|=bnan=3n12一,所以Sn =n(3n1+2)1X(12n)21-23n2+n+2-2.当

24、n>4时，周一bn尸anbn=2n,一(3n1),所以Sn=S4+(a5+a6+an)(b5+b6+bn)2n-3n + n 42综合得Sn=3n2+ n+ 2n2 , n<4,2n-3n + n 42,n>4.3an4. (2018厦门质检)已知数列an满足ai=1, %+1 = 20，3，11一(1)求证：数列次/等差数列111111,、 (2)设 T2n=嬴一触+嬴a4a5+ a2n a2,求 T2n.3a12an+ 3 1 2112解：(1"正明：由an+尸='得益=K = an + j所以'r-= 3.又时1,则5 = 1,所以数列尾首项为

25、1,公差为3的等差数列.(2)设 bn= -1 1= 131T 1-， a2n 1a2n a2na2n+1 02n 1 a2n+ f2 n2由(1)得，数列；a；是公差为3的等差数列,L 114111所以一=-；,即 bn= L=a2n 1a2n+132n 1a2n+1 月2n-X 一， 3 a2n所以 bn+ 1 bn=-4443 02n+2 a2n '= _3 3 ;169.又 b1= 一X = 乂a23所以数列bn是首项为一20,公差为一千的等差数列,9920nn-11642所以T2n=b1+b2+,+bn="n+；*一9尸g(2n+3n),5.(2018洛阳模拟)已知

26、各项均不为零的数列an的前n项和为Sn,且对任意的nCN*,4一_1满足Sn=；a1(an-1)3(1)求数列an的通项公式；8(2)设数列bn满足anbn=log2an,数列bn的前n项和为Tn,求证：Tn<".解：(1)当n=1时，a1=S1=%1(a11)=%251,333,右1丰0,1=4.94,Sn=3(an1),.当n>2时，Sni=3(ani1),两式相减得an=4ani(n>2),数列an是首项为4,公比为4的等比数列,2n bn= 4n,-an=4n.(2)证明：.anbn=log2an=2n,4Tn=丁+44+42nn+1，22 2n3222两式

27、相减得Tn=4+不+尸+c111112n=2t+42+?+不+不卜尸41-±4n2n4n+12n3.3X4n4n126n8=3-3X4n+ai=5,故an=2n-7(nCN*).d=2,(2)由an=2n-7<0,得n<7,即n<3,所以当nW3时，an=2n-7<0,当n>4时，an=2n7>0.易知Sn=n26n,S3=9,所以15=(ai+a2+a3)+a4+a5=S3+(S5S3)=S52S3=13.当nw3时，Tn=-Sn=6nn2;当n>4时，Tn=-S3+(SnS3)=Sn2S3=n6n+18.6nn2,n<3,故Tn=2

28、n一6n+18,n>4.2. (2018郑州一模)在等差数列an中,已知a3=5,且即，a2,a5为递增的等比数列.(1)求数列an的通项公式；an-2-1,n=2k-1,(2)若数列bn的通项公式bn=<(kCN*),求数列bn的前n项和2n-1,n=2k解：(1)设等差数列an的公差为d,易知dw0,由题意得，(a?-2d)(a3+2d)=(a?-df，即d2-2d=0,解得d=2或d=0(舍去)，所以数列an的通项公式为an=a3+(n3)d=2n1.(2)当n=2k,kCN*时,Sn=b+b2+bn=bl+b3+b2k-1+b2+b4+b2k=a1+a2+ak+(20+21

29、+2k1)里3.Ek2+2k1=g1;21-242当n=2k1,kCN*时，n+1=2k,则 Sn= Sn+1 bn + 1 =, 2(n + 1)n+ 1 + 2-1-2n+ 1 -1n + 2n一 3n 1+ 2-2-.2nr+2”n = 2k,综上，&=t2+2门3n 1+ 22", n=2k- 1(kCN*).3. (2018武汉调研)已知数列an的前n项和Sn= 2an 2.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=anlog2an,求数列bn的前n项和Tn.解：当n=1时，ai=2ai2,所以ai=2.当n>2时，Sn1=2an12,SnSn1=(2an2)(2an12),即an=2an1.所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数歹U,所以an=2n.(2)由(1)得bn=2nlog22n=n2n,所以Tn=1X21+2X22+3X23+(n-1)X2n-1+nX2n,2Tn=1X22+2X23+3X24+(n-1)X2n+nX2n+1,两式相减，得Tn=21+22+23+2n-nx2n+1Xnx"1-2=(1-n)2n1-2,所以Tn=(n-1)2n1+2.4. (2018唐山*II拟)已知在数列an中，a1=1,anan+1=g.(1)求证：数列a2n与a2n-1都是等比数列;(2