数列专题错位相减求和

1、数列专题错位相减求和（共18页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-内页可以根据需求调整合适字体及大小-高一数学第七周周考一、解答题1 .已知数列an是等差数列，数列bn是各项均为正数的等比数列，且aih1,a3b27,a5b313.(1)求数列an,bn的通项公式；(2)设Cn曳，求数列Cn的前n项和Sn.bn2 .已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列2nan的前n项和为Tnn123 .已知数列4潴足a2,an12()2an(nN)n(1)求证:数列雪是等比数列，并求其通项公式；na(2)设bn3log2(2)26,求数列bn的

2、刖口项和Tn；n4 .已知等差数列an的公差大于0,且a3,a5是方程x214x450的两根,1.数列bn的前n项的和为Sn,且Sn1万.(12分)(1)求数列an,bn的通项公式；(2)记Cnanbn,求数列cn的前n项和Tn5,已知数列an的前n项和sn满足S=2n2-13n(nCN*).(1)求通项公式an；(2)令Cn=1,求数歹ICn的前n项和Tn.6 .等差数列an的首项a11,其前n项和为Sn,且a3a5a47.(I)求an的通项公式；(H)求满足不等式Sn3an2的n的值.7 .已知数列an的前n项和为Sn,ai=2.当n2时，1+1,an,Sn+1成等差数列.(1)求证：&+

3、1是等比数列；(2)求数列nan的前n项和Tn.1*8 .已知数列an的前n项和为6,且&,&n(2n1)为(nN).3(1)求a2,a3的值；(2)猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明.9 .已知Sn为等差数列an的前n项和，且为5,G9.(I)求an的通项公式；一1一、,一一(H)求数列的刖n项和Tn.anan110 .已知Sn为数列an的前n项和，若现2且Sn12sh.(1)求数列an的通项公式；、11(2)设bnlog2an1,求数列的刖n项之和.bnbn111 .已知等差数列an的前3项和为6,前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；n1(2)设bn4an2,求数列bn的刖n项和

4、Sn12 .已知数列必的各项均是正数，其前小项和为工，满足北二4一%.(I)求数列的通项公式；(II)设一“0小数列尸的前月项和为。，求证：谒.13 .等比数列an中，已知a=2,a4=16.(1)求数列an的通项公式；(2)若a3,a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和S.14 .(本题满分12分)已知公差不为零的等差数列an的前4项和为10,且a2,a3,a7成等比数列.6(I)求通项公式an;(U)设bn2an,求数列bn的前n项和Sn.15 .已知数列an是等差数列，且a12,a1a2求数列a。的通项公式；令bnan3nmN),求数歹Ibn的前n项和.

5、an16 .已知数列%,bn满足a,2,b11,且bn(1)令Cnanbn,求数列g的通项公式；(2)求数列an的通项公式及前n项和公式Sn.17 .(12分)已知数列an的前n项和为Sn,点n函数fx3x22x的图象上.(1)求数列an的通项公式；3(2)设bn求数列4的前n项和工anan118 .已知公差不为零的等差数列an,若a1,且31e2刀5成等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2n,求数列anbn的前0项和&.4*,119 .已知数列an?两足44,an4n2,nN，令bn.an1an2(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式.a33a41-a,4b

6、n14-bn141(n2).1SnnN均在一次a2n1b2n1Sn61.(1)an2nI,bn2.【解析】试题分析：(1)求等差与等比数列通项公式,2n32n1条件列关于公差与公比的方程组:通项公式即得an2n1,bn2n12d4d股方法为待定系数法，即根据7,13,解得q2,d2,再代入(2)因为cnan相减法求和，注意作差时，错项相减，最后一项的符号变化,2n1/-)n12,所以利用错位中间等比项求和时注意项数，最后不要忘记除以1q试题解析:an的公差为bn的公比为q2d由题意得4dq7,2q13,解得q2,或q0(舍去)，.an2nbn2n1cn(2)由题意得anbn2n12n1所以冬c

7、n3215222n12n13225232n32n2n2n22222n12n2n2(21222n3h,lSn所以2n2n1考点：错位相减法求和2.(1)ann；(2)Tn(n1)2n114试题分析：（1）利用等差数列的通项公式，前n项和公式，得到关于a,d的二元一次方程组，解之，即可得到ai,d,则数列an通项公式可求;（2）由（1）可知2nan的通项为n 2n,则利用错位相减法即可求出其前n项和Tn试题解析：（1）等差数列an, a5 5, S5 15.a5 a1 4d 5,S5 5a1 10d 15a11, d 1, an n(2) Tn 2 1 22 2 23 32n n2Tn22 1 2

8、3 22n (n 1) 2n 1 nTn 2 (22 232n) 2n 1n 2 (2n 1 4) n 2n 1Tn (n 1) 2n1 6考点：等差数列的通项公式，前n项和公式，错位相减法2 49n 3n23. (1) an n2 2n (2) Tn2 23n2 49n 4002【解析】n 1(n 1) 26(n 8)(n 9)试题分析：(1)由a2 , an 12(2)2 %(n N*),变形为 an 1 2 2为，n(n 1) n利用等比数列的定义及其通项公式即可得出.2)由bn 3n 26,可得b123.当n08时，bn9时，bn0.对n分类讨论，去掉绝对值符号，利用等差数列的求和公式

9、即可得出1八.试题解析：（1）,&2,an12（1）2an（nN）na，a*a-n-T2%,nN乌为等比数列(n1)2n2n22nana1on1onT-J22an；bn3log2牌n126310g22n263n26,b123当n8时，03n260,当n9时，bn3n260。设数歹1bn的前n项和为Sn，则当n8时,Tn同 |b2bn(b1) ( b2)( bn)(b1 b2bn)Sn所以，Tn(bl bn) n(23 3n 26)49n 3n22bi(D)S8所以，b2(b2)(Sn S8)b8b9(b8)Snb92s8bnbn(bib2b8)bn)Tn(bi bn) n2 (b1)(233n

10、23n249n 4002Tn49n 3n2223n2 49n2(n 8)400(n 9)等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式4. (1) ana5(n 5)d 2n 1.,bn qn123n(2) cnanbn2(2n 1)3n，Tn2(1a3, a5是方程x2 14x 450的两根，且数列an的公差d0,；a3=5,a5=9,公差daa32.53ana5(n5)d2n1.3分1 2又当n=1时，有b1=Si=1-b1,b1一.2 31 b1.当n2时，有bnSnSn1一(如1bn),-(n2).2 bn1321数列bn是等比数列，b12,q13 3.bnbiqn1宗6分()由(I)知

11、Cnanbn型二！所以12(1J1)12分335. 11)ah=4n-15(2)Tn=-7-号)Rm?)【解析】解：(1)当n=1时，a二S=-11,当n2时，an=Sn-Sn1=2n2-13n-2(n1)213(n1)=4n15,n=1时，也适合上式.二an=4n-15.? (4n- 15),2cnlTn= 一 ：11X2 T5) + 得产(&X 3 - 15)+? (4n-，=：3时 M4n-15)-T+4 (i-+(4n-15) ? (1)n+1112(142rL-1+4?-2(4n- 15)（/）n+1=-，*严l(4n-15),.Tn=- 7 d)74n-7).【点评】本题考查数列的

12、通项公式和前 真审题，注意错位相减法的合理运用.n项和的求法，是中档题，解题时要认6. (I)an2n1;(H)2,3,4【解析】试题分析：（I）已知a,要求等差数列的通项公式，可先求得公差d,可把已知条件a3a5a47用d表示出来，然后写出通项公式；（R）由等差数列前n项和公式写出Sn,再解不等式Sn3an2即可.试题解析：（I）设数列an的公差为d.因为a3a5a47,所以2ai6dai3d7因为aiak (2k 1)(2k 1),所以3d6,即d2,所以anai(n1)d2n1(n)因为aiian 2nSn所以ai an n22所以n3(2ni)2,所以n 2n 13n 1Tn=6n50

13、解得n5,所以n的值为2,3,4.考点：等差数列的通项公式与前n项和公式.7. (D见解析2ni3ni2【解析】解：(i)证明：:Sni+i,an,Sn+i成等差数列,.2an=&+&i+2(n2).2(Sn-Sni)=Sn+Sni+2,即Sn=3Sn-1+2, .Sn+i=3(Sni+i)(n2) Sn+1是首项为S+1=3,公比为3的等比数列.(2)由(1)可知Sn+1=3n,.Sn=3n1.当n2时，an=Sn$-1=2乂夕L又ai=2,.an=2Xn1(nCN*).nan=2n3n1 .Tn=2+4X升6X2+2(n-1)xnT2+2nXn1，3Tn=2X升4X2+6X?+2(n-1)

14、xni1+2nXn,由一得，2Tn=2+2X 升 2X2+ + 2Xn 1-2nxn =2 1 3n1 32nxn = 3n1 2nxn,8. (1) a21,a315135(2)通项为an(2n 1)(2 n 1)证明：当n 1时,一-=-.*由条件知等式成立，假设当nk(k)1且kN)等式成立，即:那么当nk1时，Skk(2k1)ak,Sk2k 1(k 1)(2k 1)aki,由Ski0得ak1(2k1)(2k3)【解析】由可知，命题对一切n都成立1试题分析：:Snn(2n1)an,且a1一3当 n 2 时，S2 a1 a2 2(2 2 1心，解得:a2当 n 3 时，S3 a1 a2 a

15、3 3(23 1)a3,解得:a313515 735由可以猜想an的通项为an(2n 1)(2 n 1)用数学归纳法证明如下：当n1时，由条件知等式成立;假设当n k (k)1且k N )等式成立，即:ak(2 k 1)(2k 1)那么当n k 1时，由条件S n(2n 1)an有:Sk k(2k 1也1kk(2k 1)(2k 1)(2 k 1) 2k 1Sk 1 (k 1)(2k 1)ak1 Sk 1Skak 1(k 1)(2k 1)ak 1,即 k(2k 3)ak 12k 1k2k 1, , ak 1(2 k 1)(2k 3)，即：当n k 1时等式也成立.由可知，命题对一切nN都成立.&

16、 n 1SnSn1 n 2考点：数列求通项及数学归纳法证明点评：已知条件是关于,&的关系式，此关系式经常用到an有关于正整数的命题常用数学归纳法证明，其主要步骤：第一步，n取最小的正整数时命题成立，第二步，假设nk时命题成立，借此来证明nk1时命题成立9.(I)an2n1;(H)Tn-.2n1【解析】试题分析：（I）求an的通项公式，关键是求等差数列an的首项及公差即ai2d5ai,d,由已知可知a35,S39,即,解万程组得a11,d2,有3ai3d9等差数列的通项公式即可写出an的通项公式；（H）求数列的前n项anani1和Tn,首先求出数列的通项公式，由（I）可知an2n1,从而可得an

17、ani1 11，分母是等差数列3的连续两项的积，符合利用拆项anan12n12n1相消法求和，故11-,即可求出.2n12n122n12n1试题解析：（I）设等差数列an的公差为d.因为a35,S39,a2d5所以a1解得41,d24分3a13d9所以an2n16分(n) Tn1(2n1)(2n1)111111-(1 - 2335572(12n 1n2n 112n 112分12n考点：等差数列的通项公式，数列求和.10. （1）an21n1;数列前n项之和为匚.2n1,n2bn-n1【解析】试题分析：（1）由Sn12s可得数列Sn是首项为2,公比为2的等比数列，然后根据数列的通项与前n项和之间

18、的关系，即可求数列an的通项公式；（2）根1，据（1）求出010g2an1的通项公式，利用裂项相消法即可求数列的前bA1n项和.试题解析：(1)由题设得：数列Sn是首项为2,公比为2的等比数列.&Sn2n12nan * 1n S Sni,n 22,n 12n1,n 2(2)由(1)知：bnlog2an 1log22n11n,-bnbn1n1、,一、一.111数列刖n项之和为1bnbn122311. (1)an4n(2)Snn12n1【解析】试题分析:(1)由等差数列an的前3项和为6,前8项和为-4,利用等差数列的前n项和公式建立方程组求出a13, d1.由此能求出数列an的通项公式.(2)由

19、小4n,知bnn?2n1,所以数列bn的前n项和Sn12?213?22n?2n1,由此利用错位相减法能求出数列bn的前n项和Sn试题解析：(1)设等差数列an的公差为d.由已知得3a3d6,解得a13.8a128d4%1故an3n1?14n.(2)由(1)得，bnn?2nl.Sn12?213?22n?2n1,两边同乘以2得2Sn22?223?23n?2n,两式相减得Snn12n1点睛：求解由一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的数列的前项和，一般采用错位相消法，用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出S/与q0”的表达式时应特别注意

20、将两式错项对齐”以便下一步准确写出Sn-qs”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.n2112. （I）an.（H）详见解析.2【解析】试题分析：（I）首先令n1求出首项为，团g=2.5=4-%1r_jcf=*国才忌+1二三由It4.4T两式相减，得即.所以J_1丁三数列同是首项为2,公比为3的等比数列.由等比数列的通项公式便可得数列的通项公式.（n）证明有关数列前建项和的不等式，一般有以下两种思路：一种是先求和后放缩，一种是先放缩后求和.在本题中，由（I）可得：,11112。匕）J”2盟弧,2）.这显然用裂项法求和，然后用放缩法

21、即可证明.试题解析：（I）由题设知$=4一J5=2,2分5=4-/由为二4-两式相减，得.口1所以”.4分1可见，数列包1：是首项为2,公比为2的等比数列。心二，4心+2) 21 1推科+2J. 10分Tn 4&+b2b4 + 贴$ + 坤 *二1 1TH；十二3J1考点：1、等比数列；2、裂项法；3、不等式的证明.13. (1)设an的公比为q,由已知得16=2q3,解得q = 2.数列an的通项公式为an=2 2n-1 = 2n.(2)由(1)得 a3=8, a5 = 32,则 b3=8, b5 = 32.b1 +2d = 8设bn的公差为d,则有b1 +4d=32解得b1二 一 16d

22、= 12从而 bn=16+12(n1)=12n 28, 所以数列bn的前n项和nSn= 一 16+ 12n 282= 6n2 22n.【解析】略1c8n 128-(18n)14.(1)an=3n5.(H)8n418【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解以及等比数列求和的综合运用。(1)因为公差不为零的等差数列an的前4项和为10,且a2,a3,a7成等比数列，联立方程组得到首项和公差得到结论。(2)在第一问的基础上可知，bn2an23n518n14,利用等比数列的求和公式得到结论。(1)由题意知4a16d10,。八23分(a12d)2(a1d)(a16d).解得a15分15以an=

23、3n5.(n)bn2an23n518n14_1数列bn是首项为1,公比为8的等比数列，9分41c1(1 8n)所以0 41 815. (1) 2n 3 (n 1)3n122【解析】8n 12812分233al 3d 12,即 d试题分析：解：(1)va1an2(n1)22n.(2)由已知：bn2n3nvSn23432633+2n3n38n232433634+2n3n1-得-28n2323223323n2n3n1=6(13)2n3n113c33n1on13/1”&n3-(n-)3.考点：等差数列，错位相减法点评：主要是考查了等差数列的通项公式以及求和的运用，属于中档题1 1-1n，16. (1)

24、Cn2n1(2)ann-,Sn-n-n12 222【解析】试题分析：(1)两式相加得anbn(an1bn1)2,即cncn12(n2),根据等差数列定义及通项公式得Cn2n1(2)两式相减得11anbn-(an1bn1),(n2),根据等比数列止义及通项公式得anbn亍7,又11anbn2n1,解方程组得angn-2,取后根据分组求和行Sn试题解析：解：(1)由题设得anbn(an1bn1)2,即cncn12(n2),易知g是首项为aibi3,公差为2的等差数列，通项公式为Cn2n11(2)由题设行anbn-(an1bni),(n2),21令dnanbn,则dn2dn1，(n2),一一1一，、,易知dn是首项为a1b11,公比为3的等比数列，通项公式为dn2n1anbn2n11解得ananbn2nr12n求和得Sn4-n22考点：等差数列及等比数列定义及通项公式，分组求和3n17.(1)an6n5(2)Tn6n1【解析】试题分析：(1)由数列前n项和求通项时主要借助于公式anSn1SnSmn2解决(2)将通项bn3anan1整理后根