结构力学—位移计算

1、AAAAAxAyPAxAy4-1 4-1 结构位移计算概述结构位移计算概述AAAPAxAyt （principle of superposition)4-2 4-2 结构位移计算的单位载荷法结构位移计算的单位载荷法kiP1P.We =Wi We =P iPWi =NiP +QiP +MiP ds iP =NiP +QiP +MiP ds 适用于各种杆件体系适用于各种杆件体系(线性线性,非线性非线性).单位荷载法单位荷载法一一.单位荷载法单位荷载法kiP1P求求k点竖向位移点竖向位移.变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)iP =NiP +QiP +MiP ds -适用于各种杆件体系适用于各

2、种杆件体系(线性线性,非线性非线性).对于由对于由线弹性线弹性直杆直杆组成的结构，有：组成的结构，有：EIMGAQkEANPPPPPP , ,dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii qPQPM1 PiQiMxl dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii例例 1：已知图示粱的：已知图示粱的E 、G,求求A点的竖向位移。点的竖向位移。解：构造虚设单位力状态解：构造虚设单位力状态.0)(, 0)(xNxNPi)()(, 1)(xlqxQxQPi1Px2/)()(,)(2xlqxMlxxMPilhbqAdxEIxlqGAkxlql2)()(03)(8242EIqlGAqkl)(5 . 2

3、/,10/1/, 5/6,12/,3钢砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24设24GAlEIkMQ1001MQ 对于细长杆对于细长杆,剪切变形剪切变形对位移的贡献与弯曲变对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计形相比可略去不计.例例 2：求曲梁：求曲梁B点的竖向位移点的竖向位移(EI、EA、GA已知已知)ROBAP解：构造虚设的力状态如图示解：构造虚设的力状态如图示RddsNPNQPQRMPRMiPiPiPsin,sincos,cossin,sinP=1RPRPMPNPQdsEIMMGAQkQEANNiPPPipii )(4443EIPRGAkPREAPR)(5 . 2/,10

4、/1/, 5/6,12/,3钢砼GERhkbhIbhAEAPRGAkPREIPRNQM4,4,4:3设12001MN4001MQ荷载作用产生的位移计算荷载作用产生的位移计算一一.单位荷载法单位荷载法1.梁与刚架梁与刚架二二.位移计算公式位移计算公式dsEIMMiPip 2.桁架桁架dsEANNiPip EAlNNiP3.组合结构组合结构 EIlNNdsEIMMiPiPip解：解：例例:求图示桁架求图示桁架(各杆各杆EA相同相同)k点水平位移点水平位移.Paak100PPP2NP11122NiEAlNNiPkx)()21 (2222) 1)() 1)(1EAPaaPaPaPEA练习练习:求图示桁

5、架求图示桁架(各杆各杆EA相同相同)k点竖向位移点竖向位移.aaPk1110200P2PNPNiEAlNNiPkx)()221 (2)2)(2(11EAPaaPaPEA例例: 1)求求A点水平位移点水平位移荷载作用产生的位移计算荷载作用产生的位移计算一一.单位荷载法单位荷载法二二.位移计算公式位移计算公式 所加单位广义力与所求广义位移相对应所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位该单位广义力在所求广义位移上做功广义力在所求广义位移上做功.三三.单位力状态的确定单位力状态的确定PAB2)求求A截面转角截面转角3)求求AB两点相对水平位移两点相对水平位移4)求求AB两截面相对转角两截面相对转角1

6、P1P1P1PBA?AB(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。A?A(a)P=1P=1P=1AB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。4-3 4-3 图乘法及其应用图乘法及其应用 EIsMMPiPd刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：一、图乘法sEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1 xxMEIPdtan ccyEIxEI

7、1tan(对于等对于等截面杆截面杆)(对于直杆对于直杆) xMMEIPd1)tan( xM 图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为: EIycip 图乘法的图乘法的适用条件是适用条件是什么什么?图乘法是图乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他当时年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院的的学生学生。例例. 试求图示梁试求图示梁B端转角端转角.解解:sEIMMPBdEIycABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MPMi)(1612142112EIPlPllEI为什么弯矩图在为什么弯矩图在杆件同侧图乘结杆件同侧图乘结果为正果为正?例例. 试求图示结构试求图示结构B

8、点竖向位移点竖向位移.解解:sEIMMPBydEIycPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIll二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法C2nl2)1(nln1nhl h二次抛物线二次抛物线M图图21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）PM图图281qlBAq1例例:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转角B解解:三、图形分解三、图形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMiABmkN 20ABmkN 4040203/23/1)(3500)

9、3120102132401021(1EIEIB三、图形分解三、图形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMi3/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(3500)322020(110211EIEIB )(16)431212214212243221221(12EIPlPllPlllPllEIB4/PlMPB求求1Mi)(16)21421(12EIPlPllEIB AB2/ lEI2/ lP2/1三、图形分解三、图形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EIMPMi)(100)203260(110211EIEIB)(100)2110203

10、2601021(1EIEIB402060204020)(100)21102032601021(1EIEIB三、图形分解三、图形分解B求求1MPMi)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2ql三、图形分解三、图形分解C求求C截面竖向位移截面竖向位移MPMi)(404819)16332323421163218)4/(432163323234321163218)4/3(4332(142222EIqllqllllqllqllllqlEIB16/3l8/2ql4/3l4/ lABEIqC1P32/32qlq32/32ql4/3

11、lq32/32qlq32/32ql4/ lq32/32ql8/) 4/3 (2lq8/) 4/(2lq三、图乘法小结三、图乘法小结1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3） 应取自直线图中。应取自直线图中。cy2. 若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。cycy3. 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. 例例 1. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。CD 三、应用

12、举例三、应用举例AlqBhq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 例例 2. 已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。C三、应用举例三、应用举例解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql 例例 4. 图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。三、应用举例三、应用举例iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(24