数学分析试题及答案

1、叙述题：(每小题5分，共15分)1开集和闭集2函数项级数的逐项求导定理3Riemann可积的充分必要条件计算题：(每小题7分，共35分)91、1xv1-xdx2、求x2+(yb)2=b2(0<aWb)绕x轴旋转而成的几何体的体积1n23、求帚级数£(1+_)nxn的收敛半径和收敛域n4n22xy1225f(x,y,z)=x+xy+yz,l为从点P0(2,-1,2)到点(-1,1,2)的万向，求fi(P0)三讨论与验证题：(每小题10分，共30分)(x2y2)sin-r-1-1、已知f(x,y)x2y20点不连续，但它在该点可微，人,s二n212、讨论级数工lnn1的敛散性。n1

2、n-1:0,验证函数的偏导数在原x=0,y=0nn1xx3、讨论函数项级数()ndnn1xW1,1的一致收敛性。四证明题：(每小题10分，共20分)01若ff(x)dx收敛，且f(x)在a,a+8)上一致连续函数，则有Umf(x)=02设二元函数f(x,y)在开集DuR2内对于变量x是连续的，对于变量y满足Lipsch1tz条件：f(x,y)-f(x,y)WLy-y其中(x,y),(x,y尸D,L为常数证明f(x,y)在D内连续。一、1、若集合S中的每个点都是它的内点，则称集合S为开集；若集合S中包含了它的所有的聚点，则称集合S为闭集。qQ设函数项级数工un(x)满足(1)un(x)(n=1,

3、2,)在a,b连续可导n1a)Q0ZUn(x)在a,b点态收敛于n4S(x)b)cOZun(x)在a,b一致收敛于n4二(x)QO则S(x)=£un(x)在a,b可导，且nz4ddUn(x)=Un(x)dxn1n-1dx3、有界函数f(x)在a,b上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当九=max(Ax,)t0时Darboux大和与Darboux小和的极限相等14i：n二、1、令t-31-x93N33468(2分)x31xdx=30(1-t3)t3dt(5分)2、V1)ba2-x2,y2=bJa2-x2,(2分)所求的体积为:22x y = 0JT3、解:由于lim(n /二(1(1

4、 - 1)n(111二收敛半径为-(4分)，当x时,1 (11)n(1)n(-1)ne 11t 1#0(nT 0°),所以收敛域为(，)(3分) e e22x y4、limx 0 ,22y 0 1 x y -1分)= limx 0y 0(x2 y2)( 1 x2y2 1)(1x2y2 -1)(. 1 x2y21)-ljm( 1 x2 y2 1尸2 (7y 0a2222a(y1y2)dx=2nab(5分)5、解:设极坐标方程为fx(2,1,2)=2,fy(2,1,2)=0.fz(2,1,2)=T(4分)fi(2,-1,2)=-6=(3分)13三、1、解、fxc,.111、2x(sin-

5、7-rcos-；)222222，xyxyxy0x2y2=0(4分)由于1rcos1当趋于（0,0）无极限。所以不连续，同理可的fy也不连续,xy(2分)2、解:2,n1Inlimn1二1n立2n2-1（5分）22一一收敛，所以原级数收敛（5分）nn-13、解：部分和Sn（X）=x(3分)，Vs>0,取N=Pln>n1Sn(x)-x1八<-<£,所以级数一致收敛（7分）n四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：用反证法若结论不成立，则3&0>0,VX.a,Bx0>X,使得f(x0之%,（3分）又因为在(x)在a,°°

6、）上一致连续函数，.'"泡(0,1),Vx,xaa,f(x)f(x)<只要x-x<60VA0之a,令X=Ag+1,取上述使f(x0)的点叙述题：（每小题5分，共15分）x0>X,不妨设f（x。）。任意满足xx0<60的x.；0；0什缶f(x)>f(x0)->>0取A和A22分别等于x'.00一二和2X02，一一E0K.ff(x)dx>一国有，由Cauchy收敛te理,八22、证明：V(x0,y0)D,由Lipschitz40ff（x）dx不收敛，矛盾（a4分)条件f(x,y)f(x°,yo)<|f(x,y

7、)f(x,y0)+|f(x,y°)f(x0,yo)f(x,yO)f(x0,y0)(1),(6分)又由二元函数f(x,y)在开集D=R2内对于变量x是连续的，（1）式的极限为0,f（x,y）在（x0,y0）连续，因此f（x,y）在D内连续（4分）（二十二）数学分析期末考试题1Darboux和2无穷限反常积分的Cauchy收敛原理3Euclid空间计算题：(每小题7分，共35分)1、limn.n!2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积22_y=2x2y=x23、In=f*euxndxf是非负整数)n0_24、设u=f(x2+y2+z2,xyz),f具有二阶连续偏导数，求£卫r

8、z.xx5、求f(x)=e的哥级数展开式三讨论与验证题：(每小题10分，共20分)1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例oO2、讨论级数'、n 1cosnx一cosnx(0Mx)的绝对和条件收敛性。np四证明题：(每小题10分，共30分)x0tf(t)dt1 f(x)在0 ,+OO)上连续且恒有f(x)>0,证明g(x)="x在0,+oo)上0f(t)dt单调增加cOlim nxn = 0设正项级数工xn收敛，xn单调减少，证明y,3f(x,y)=2上，证明:lim.f(x,y)不存在xyx0y-0参考答案P一、

9、1、有界函数f(x)定义在a,b上，给一种分法，a=x0<x1<xn=b和记Mi=supf(x),xi,xiTmi=inf0(x),xii,x,则_nnPS(P)=ZMQxi,S(P)=£mQxi分别称为相应于分法的Darboux大和和i1i1Darboux 小和。n2、v s > 0三N > a使得 vm > n > N ,成立f (x)dx < zJm3、Rn向量空间上定义内积运算 任,y =x1y1+xnyn构成Euclid空间,n.n! 1 nn i 11二、1、由于 lim ln= lim 一(工 ln i) n ln n) = l

10、im £ ln =ln xdx = 1 (7n n n '5 i4n 吟n n 0分)2、解：两曲线的交点为(2, 2), (0, 0), (2分)所求的面积为:2 x2。(2x -万)dx4/ 1_ 八、=(5 分)33、解：1n =.eqxndx一1二二= xne/|+n( e dx=nI n(e"xndx+j e/xndx(6 分)In =n!(1 分)2uu4、： 一 =2 f1x + yzf2 (3 分)_i'L. r-.xzx= 2x(2zf11 +xyf12) + yf2 + yz(2zf21 +xyf22) (4分）5、解:由于余项rn（x）

11、x:二 e(n 1)!n*T 0(nT i) , ( 3 分)所以2nxx+x十一+一十(4分)2!n!所以函数单调增加（2分）三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本133页（4分），可偏导不一定连续和可微例子可看课本135页（6分）2、解：当p>1时，级数绝对收敛，（4分）当0<p<1,由Dirichlet定理知级数收敛,cosnx2/-cosnx1cos2nx二二京三丁，所以n2n2n8ZnT|cosnx|np发散，即级数条件收敛（4分），当pW0时,级数的一般项不趋于0,所以级数不收敛(2分)四、证明题（每小题10分，共30分）1证明：g(x)=xf(x)0f(t

12、)dt-f(x)0tf(t)dtxf(x)0(xf(t)-tf(t)dtx2(0f(t)dt)x2(0f(t)dt)>0(8分)2证明：vm,n>m,有(nm)<xm卅+xn<xm由此得nxn<Xm,（4分）由n级数收敛，故名>0可取thm0使得x<z,又lim=1,故讣0使得n>n0时,nn-m0有一n<2,(4分)于是当n>n0时，有0<nxn<2S,得证(2分)n-m2xx3、证明：limf(x,y)=lim=1limf(x,y)=lim2jox)0x+xx0x>0xxy=xy-x2limf(x,y)不存在(1

13、0分)yQ（二十三）数学分析期末考试题叙述题：（每小题5分，共15分）1微积分基本公式2无穷项反常积分3紧几合计算题：（每小题7分，共35分）.2._.dxdt2dx1、-dt%dx0,1t411x2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积y+x=22y=x3、求£n（n+2）xn的收敛半径和收敛域n14、设u=xeyz+e=+y,求偏导数和全微分5、limx)0y01xy-1xy讨论与验证题：（每小题10分，共30分）22xy1讨论f(x,y)=22一y2的二重极限和二次极限xy(x-y)、i1dx讨论edx的敛散性0xplnx3、讨论函数项fn(x)=xn-xn(0<x<

14、;1)的一致收敛性。四证明题：(每小题10分，共20分)xxu1 设f(x)连续，证明ff(u)(xu)du='Xf(x)dxdu2 证明u=y中(x2_y2)满足丫里+x£u='u江；:yy设f(x)在a,b连续,F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数，则成立bf(x)dx=F(b)-F(a)oa2、设函数f(x)在a,收)有定义，且在任意有限区间a,A上可积。若极限Alim.af(x)dx存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散3、如果S的任意一个开覆盖中总存在一个有限子覆盖,即存在UcJ中的有限个开集I/，'满足0%=,则称S为紧集二、1、dx2dx

15、0_dt_1,t422工=gx11x4dx02x(7分)2、解：两曲线的交点为(-2,4),(1,1),(2分)12、,9八所求的面积为:口(2-x-x)dx=a(5分)limV'n(n+2)=1,收敛半径为1(4分)，由于x=±1时，级数不收敛,n:，所以级数的收敛域为(-1,1)(3分)Uyz：UyzUyz-z八4：=e=xze+1=xye+e(4分).:x：:y;zdu=eyzdx+(xzeyz+1)dy+(xyeyz+e")dz(3分)5、解:1xy一1lim二limx0xyx。y0y0(.1xy-1)(1xy1)xy(,1xy1)(7分).,一、ew,x2

16、y20k#1、1、解、由于沿y=kx趋于(0,0)时，lim7,所以(x,kx)T0,0)x2y2+(x-y)21k=1重极限不存在（5分）2222limlim2J'2=0,limlim22xy=0,(5分)x)0y0x2y2(x-y)2y0x0x2y2(x-y)21p1.1dx2：0<p<1,由于x-00(xt旬)故fe-收敛(4分)；pA1,由xplnx0xplnx1 -p.十-21,于 x - 二(x一.xp In x，,-1dx 人,+b)(4分)故e收敛, 0xplnx发散（2分）。3、limfn(x)=0=f(x)(3分),n?lim supfn(x) - f (x) n_,=lim supxn - x