2010广州高三二模数学试题及答案（理科）

1、 试卷类型：A2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（理科） 20104本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后

2、再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效. 5考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件、互斥，那么.如果事件、相互独立，那么.如果事件在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率C.两数立方差公式: .一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知i为虚数单位，若复数i为实数，则实数的值为 A B C D不确定2. 已知全集中有m个元素，中有n个

3、元素若非空， 则的元素个数为A B C D 3. 已知向量,向量,则的最大值为 A. B. C. D.4. 若是互不相同的空间直线, 是平面, 则下列命题中正确的是 A. 若,则 B. 若,则 开始输入输出 结束是否 C. 若,则 D. 若,则5. 在如图1所示的算法流程图, 若, 则的值为 (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“” 或“：=”) A. B. C. D. 6. 已知点的坐标满足 为坐标原点, 则的最小值为 A. B. 图1 C. D.7. 已知函数, 若且, 则下列不等式中正确的是 A. B. C. D. 8. 一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车2

4、5米时交通灯由红变绿, 汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻的速度为米/秒, 那么, 此人A. 可在7秒内追上汽车 B. 可在9秒内追上汽车 C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为14米 D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9若函数的最小正周期为,则的值为 .10. 已知椭圆的离心率, 且它的焦点与双曲线的焦点重合, 则椭圆的方 程为 .11甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量、，其分布列分别为： 01230.40.30.20.10120.30.50.2

5、若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 .12.图2是一个有层的六边形点阵.它的中心是一个点, 算作第一层, 第2层每边有2个点,第3层每边有3个点 , 第层每边有个点, 则这个点阵的点数共有 个.13. 已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为563, 则该展开式中的系数为 . 图2（二）选做题（14 15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线的参数方程为(参数R), 圆的参数方程为(参数), 则直线被圆所截得的弦长为 .15.(几何证明选讲选做题)如图3, 半径为5的圆的两条弦 和相交于点, 为的中点, , 则弦的长度为 .三、解答题：本大题共

6、6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16. （本小题满分12分） 已知. (1) 求的值; (2) 求的值.17. （本小题满分12分） 如图4, 在直角梯形中, , 把沿对角线折起后如图5所示(点记为点), 点在平面上的正投影 落在线段上, 连接. (1) 求直线与平面所成的角的大小;(2) 求二面角的大小的余弦值. 图4 图5 18.（本小题满分14分） 一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率与运动员离飞碟的距离 (米)成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离 (米)与飞行时间(秒)满足, 每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行第

7、二次射击).该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击, 命中的概率为, 当第一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射击后 0.5秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不计. (1) 在第一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟 的概率; (2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率; (3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命中两个飞碟的概率.19. （本小题满分14分） 已知抛物线:的焦点为,、是抛物线上异于坐标原点的 不同两点，抛物线在点、处的切线分别为、，且，与相交于点. (1) 求点的纵坐标； (2) 证明：

8、、三点共线； (3) 假设点的坐标为，问是否存在经过、两点且与、都相切的圆， 若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分） 已知函数(R)的一个极值点为.方程的两个 实根为, 函数在区间上是单调的. (1) 求的值和的取值范围; (2) 若, 证明:.21. （本小题满分14分） 已知数列和满足,且对任意N都有, . (1) 求数列和的通项公式; (2) 证明:. 2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可

9、根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分 题号12345678答案ACCCBBDD二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分其中1

10、415题是选做题，考生只能选做一题 91 10. 11. 乙 12. 13. 180 14 15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16（本小题满分12分） (本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)（1）解法1：， . 2分 . 解得. 4分解法2：， 2分 . 4分 （2）解: 6分 8分 10分 . 12分17. （本小题满分12分） (本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)方法一:(1) 解:在图4中

11、, , , . ,为等边三角形. . 2分 在图5中, 点为点在平面上的正投影,平面.平面,., 图4.平面, 平面,平面.为直线与平面所成的角. 4分在Rt中, ,. ,.直线与平面所成的角为. 6分 (2) 解:取的中点, 连接,. , .平面,平面,.平面, 平面,平面.平面,.为二面角的平面角. 8分在Rt中,.在Rt中,. 在Rt中，.二面角的大小的余弦值为. 12分方法二: 解:在图4中, , , . ,为等边三角形. . 2分 在图5中, 点为点在平面上的射影,平面.平面,., 图4.平面, 平面, 平面. 4分连接,在Rt和Rt中,RtRt.在Rt中，.在Rt中，. 6分以点为

12、原点,所在直线为轴,与平行的直线为轴,所在直线为轴,建立空 间直角坐标系,则,.,. (1), . 直线与平面所成的角为. 9分 (2) 设平面的法向量为n, 由 得 令, 得,. n为平面的一个法向量. 为平面的一个法向量, . 二面角的平面角为锐角, 二面角的平面角的余弦值为. 12分 18. （本小题满分14分）(本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1)解:依题意设为常数,由于, . 2分当时, , 则,解得. 4分当时, .该运动员第二次射击命中飞碟的概率为. 6分(2) 解:设“该运动员第一次射击命中飞碟

13、”为事件，“该运动员第二次射击命中飞碟”为事 件，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件：. 7分， . 第一个飞碟被该运动员命中的概率为. 10分(3) 解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为, 则. 至少命中两个飞碟的概率为 12分 C+ C . 14分19. （本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:设点、的坐标分别为、， 、分别是抛物线在点、处的切线， 直线的斜率，直线的斜率. , , 得. 2分、是抛物线上的点, 直线的方程为,直线的方程为.

14、由 解得点的纵坐标为. 4分(2) 证法1： 为抛物线的焦点， . 直线的斜率为， 直线的斜率为. 6分 .、三点共线. 8分证法2： 为抛物线的焦点， . ， . , 6分 .、三点共线. 8分证法3：设线段的中点为, 则的坐标为.抛物线的准线为.作, 垂足分别为. 由(1)知点的坐标为,.是直角梯形的中位线. 6分根据抛物线的定义得:,.,为线段的中点,.,即.、三点共线. 8分(3)解: 不存在. 证明如下： 假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为， 依题意得，且， 由，得. 四边形是正方形. . 10分点的坐标为， ,得. 把点的坐标代入直线, 得 解得或,点的坐标为或.同理可求得点的坐

15、标为或.由于、是抛物线上的不同两点，不妨令,., . 13分, 这与矛盾.经过、两点且与、都相切的圆不存在. 14分20. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:, . 的一个极值点为, . . 2分 , 当时, ;当时, ;当时, ; 函数在上单调递增, 在上单调递减,在上单调递增. 方程的两个实根为, 即的两根为, . ,. 4分 函数在区间上是单调的, 区间只能是区间,之一的子区间. 由于,故. 若,则,与矛盾. .方程的两根都在区间上. 6分令, 的对称轴为,则 解得.实数的取值范围为. 8分说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.且函数在区间上是单调的, .由 即 6分解得. 实数的取值范围为. 8分(2)证明:由(1)可知函数在区间上单调递减, 函数在区间上的最大值为, 最小值为. , . 10分 令, 则,. 设, 则. , . . 函数在上单调递增. 12分 . . 14分21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考