第六章超导微观理论

1、超导电性的微观理论超导电性的微观理论1、基本性质、基本性质超导电性：低温下直流电阻消失的现象称为超导电性超导电性：低温下直流电阻消失的现象称为超导电性*目前发现一半以上的金属和成百上千种合金是超导体。目前发现一半以上的金属和成百上千种合金是超导体。 但它们的转变温度但它们的转变温度Tc一般很低，直到一般很低，直到20世纪世纪80年代中期未超过年代中期未超过30K。* 1986年，年，J. D. Bednorz和和K. A. Mller发现高温超导体以来，人们发现一系发现高温超导体以来，人们发现一系列新的超导体。列新的超导体。加压）K160(133125110924083221032221032

2、2263242KTOCuCaHgBaKTOCuCaBaTlKTOCuCaSrBiKTOCuYBaKTCuOSrLacxcxcxcxcxxKTFeAsKTMcc5039gB2基超导，液氮的温度为液氮的温度为77K。超导体的超导体的基本属性基本属性可由下列可由下列3个特征表示个特征表示1. 超导态是一种新的凝聚态超导态是一种新的凝聚态 TTc时，比热容不再与时，比热容不再与T成线性关系，变为指数式的温度关系。成线性关系，变为指数式的温度关系。 TTc时，超导态的自由能比正常态低，因为必须加磁场时，超导态的自由能比正常态低，因为必须加磁场Hc才能破坏超导性，才能破坏超导性，使金属恢复电阻，回到正常态

3、。使金属恢复电阻，回到正常态。 Hc称为临界磁场。称为临界磁场。)/(1)0()(2cccTTHTH超导态超导态2. 存在能隙存在能隙 根据量子力学，单电子可以穿透势垒，其隧穿电流应与外加电压成正比根据量子力学，单电子可以穿透势垒，其隧穿电流应与外加电压成正比 对于超导体，对于超导体， TTc时，时，V必须大于必须大于 /e才有隧道电流。才有隧道电流。超导体超导体正常金属正常金属氧化物绝缘体氧化物绝缘体V超导体超导体说明超导相中激发出一个准粒子至少要说明超导相中激发出一个准粒子至少要 能量，即存在能隙。能量，即存在能隙。3. 迈斯纳效应迈斯纳效应 在超导态弱磁场不能透入宏观样品内部，超导体对于

4、弱磁场是完全逆磁体。在超导态弱磁场不能透入宏观样品内部，超导体对于弱磁场是完全逆磁体。第一类超导体第一类超导体* 如果在超导态弱磁场可以透入宏观样品内部。如果在超导态弱磁场可以透入宏观样品内部。第二类超导体第二类超导体Bardeen、Cooper和和Schrieffer于于1957成功解释了第一类超导体的超导性。成功解释了第一类超导体的超导性。BCS理论认为，电子间通过交换虚声子产生超导基态，理论认为，电子间通过交换虚声子产生超导基态， 费米面附近相反动费米面附近相反动量和自旋的电子对通过吸引互作用形成束缚电子对状态。称为量和自旋的电子对通过吸引互作用形成束缚电子对状态。称为Cooper对组对

5、组态态超导体超导体2、BCS约化哈密顿量约化哈密顿量* 电子交换虚声子的有效互作用电子交换虚声子的有效互作用222,)()(2|211111122221112121qkqkqqqkkkqkqkqkkkqeffEEDVCCCCVH在费米面附近在费米面附近 能壳内，能壳内， ，有效势为吸引势，有效势为吸引势 DqkqkEE|110,1qkV在在能壳外，能壳外， ，有效势为排斥互作用。，有效势为排斥互作用。 0,1qkVD是德拜频率是德拜频率 3333/12333213634)2()2(*TLDDDDcccckVNkkVN其中DDDg09)(32态密度：态密度：eVD210由于声学模声子的最大密度在

6、由于声学模声子的最大密度在 附近，那么可以将附近，那么可以将 中厚度随中厚度随 变化变化的吸引区近似用费米面附近厚度为的吸引区近似用费米面附近厚度为 的固定能壳区代替。的固定能壳区代替。DqkV,1qD2* 此外，金属中电子还存在直接库仑作用，可以用屏蔽库仑势表示此外，金属中电子还存在直接库仑作用，可以用屏蔽库仑势表示112222112121,222421kkqkqkkkqcoulCCCCqeH两电子间两电子间净的相互作用势净的相互作用势1122221112121,222,)4(21kkqkqkqkkkqCCCCqeVHBardeen等人认为在等人认为在 能壳外排斥相互作用可以略去。能壳外排斥

7、相互作用可以略去。D2 可设为常数可设为常数-V，V为正量为正量112222112121,21kkqkqkkkqCCCCVH. 0|11VEEDkqk区内其中仅在这一假设为这一假设为V与取向无与取向无关，相当于取各向同性关，相当于取各向同性的的s波散射近似。波散射近似。两电子在两电子在散射后总波矢守恒散射后总波矢守恒设设21kkK112121112121,21kkKqkKqkkkqCCCCVH,211kkqkk, , , ,2kkKkKkkkKKKCCCCVHHH代表系统中总波矢为代表系统中总波矢为K的电的电子对间相互作用。子对间相互作用。不同的不同的K，具有吸引作用的电子对数目不一样，具有吸

8、引作用的电子对数目不一样，由阴影区绕由阴影区绕K轴转成的体积决定轴转成的体积决定的项。可略去得多。电子对占有的相体积大比，电子对占有最大相体积显然，000KKK令令只取只取K=0电子对项电子对项的电子间的相互作用的电子间的相互作用, , , ,2kkkkkkCCCCVH代表准动量相反的电子对的吸引互作用。代表准动量相反的电子对的吸引互作用。由于泡利不相容原理将限制自旋平行电子在位置空间靠拢，因此，由于泡利不相容原理将限制自旋平行电子在位置空间靠拢，因此， = 项项的贡献比的贡献比 = - 项小，也可略去。项小，也可略去。, , , ,2kkkkkkCCCCVH总的哈密顿量总的哈密顿量, , ,

9、 ,2kkkkkkkkkkCCCCVCCEH经经整理后得整理后得kkkkkkkkkkkkCCCCVCCCCEH,(这就是这就是BCS理论用于描述理论用于描述超导基态的哈密顿量超导基态的哈密顿量其基本假定是，其基本假定是，在费密面附近在费密面附近准动量和自旋准动量和自旋都相反的电子都相反的电子之间的吸引互之间的吸引互作用是产生超作用是产生超导凝聚的主要导凝聚的主要原因原因），代表（），代表（令kkkk则则BCS的哈密顿量简化为的哈密顿量简化为kkkkkkkkkkkkCCCCVCCCCEH,)(BCS约化哈密顿量约化哈密顿量kkkkkkkkkkkkFCCCCVCCCCNEHH,)(其中其中FkkE

10、E 代表从费米面算起的自由电子能量。代表从费米面算起的自由电子能量。约化哈密顿选用的理由是在超导问题中，粒子数不守恒约化哈密顿选用的理由是在超导问题中，粒子数不守恒NEHHF相当于用热力学势代替自由能讨论粒子数可变系统相当于用热力学势代替自由能讨论粒子数可变系统3、Cooper对对 费密球外一对动量和自旋相反的电子之间只要存在净的吸引互作用，不管费密球外一对动量和自旋相反的电子之间只要存在净的吸引互作用，不管它多弱，都能形成束缚电子对，即它多弱，都能形成束缚电子对，即Cooper对。对。两个束缚电子对的能量为两个束缚电子对的能量为的态密度为费米面上某自旋取向)0(, )0(2exp2gVgED

11、E0和空间非均匀等情况和空间非均匀等情况这里介绍简单的自洽场近似法求这里介绍简单的自洽场近似法求BCS约化哈密顿的本征函数和本征值约化哈密顿的本征函数和本征值 （其实质与（其实质与BCS变分法相同）变分法相同）* 根据根据Cooper对组成超导基态的想法，假定下列对算符的超导基态平均值存在：对组成超导基态的想法，假定下列对算符的超导基态平均值存在：00|000|0kkkkkkkkCCCCCCCC将将对算符对算符写成写成)()(kkkkkkkkkkkkkkkkCCCCCCCCCCCCCCCC将对算符写成将对算符写成为小量为小量)()(,kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

12、kkCCCCCCCCCCCCVCCCCCCCCVCCCCH取一级近似取一级近似自洽场近似（自洽场近似（SCFA）的哈密顿量）的哈密顿量kkCC由于必须求出超导基态后才能最后求得由于必须求出超导基态后才能最后求得 ，所以称自洽场近似。，所以称自洽场近似。* 定义定义kkkkkkCCCCV*, 为复量，为简单起见，仅考虑为复量，为简单起见，仅考虑 为实量：为实量：VCCCCCCCCHkkkkkkkkkkk/)()(2由于由于 相当于相当于“对算子对算子”的外势场，所以又称为对的外势场，所以又称为对势。势。“对算子对算子”利用玻戈留玻夫正则变换可将以上哈密顿对角化利用玻戈留玻夫正则变换可将以上哈密顿

13、对角化kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkvuCvuCvuCvuC,)()0(22kkkkkksEH变换后变换后：其中基态能量：其中基态能量：VvuvEkkkkkks2222)0()()1 (21)1 (212222FkkkkkkkkkkEEvu其中：其中：代表超导的元激发能量代表超导的元激发能量 玻戈留玻夫正则变换玻戈留玻夫正则变换（算符满足反对易关系）（算符满足反对易关系）说明从费米面激发一个准粒子至少说明从费米面激发一个准粒子至少需要需要 能量，能量，它代表它代表元激发的能隙元激发的能隙。1. 能隙能隙 的计算的计算 T=0K时的时的 ，可通过元激发算子对基态的自洽平均来决定，由于此

14、，可通过元激发算子对基态的自洽平均来决定，由于此时无准粒子激发：时无准粒子激发：kkkkkkkkkkkkkkkkkVvuVvuvuVCCV210| )(|0）（能隙方程能隙方程向的态密度。为费米面上一种自旋取其中，)0()0(121102222gdVgVDkkk最后求得最后求得)0(1exp2DVg量级。约为那么，对于金属，eVeVVgD421010, 3 . 02 . 0)0(2. 凝聚能凝聚能 E（0）k22222222)0(kkkkkkkkksVvuvE基态能基态能正常态费米正常态费米分布能量分布能量FkkknE2)0(凝聚能凝聚能)()0(2111)(0(22)0(2(2222222)

15、0()0(22202222222222 DDDFkkkkkkkkkkkkkkkkknsggdgEEEEDFFF因为）空穴对称性因为电子说明凝聚能说明凝聚能量为负，超量为负，超导基态能量导基态能量低于正常态低于正常态能量，因此，能量，因此，必然发生超必然发生超导相变导相变3. BSC基态基态超导超导基态应当是准粒子消灭算符基态应当是准粒子消灭算符 k和和 -k的的真空态。的的真空态。00|0|kk不难验证，态不难验证，态Vackkk|满足基态条件式满足基态条件式00,kkkk因为反对易关系因为反对易关系因此因此0|)(|)(|VacVacVackkkkkkkkkkkkkkkkkk类似的类似的0|

16、)(|)(|VacVacVackkkkkkkkkkkkkkkkkk由于由于kkkkkkkkkkCvCuCvCu,超导基态超导基态VacCCvvuVacCCvCCvuVacCvCuCvCuVackkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk| )(| )(| )( )(|22由于由于kkkvu对于正常态对于正常态 =0，上式变为正常相的费米球分布态：，上式变为正常相的费米球分布态：VacCCFFkkkk|* 再将超导基态归一化再将超导基态归一化=1，得到归一化的超导基态，得到归一化的超导基态VacCCvuFkkkkkk| )(0|BCS超导基态假定的证明超导基态假定的证明若对电子的占据数算

17、符求基态平均：若对电子的占据数算符求基态平均：20| )( |00|0kkkkkkkkkkkvvuvuCC代表被占据概率代表被占据概率与有限温度的费米分布类似与有限温度的费米分布类似费米面的费米面的“模糊化模糊化”是由于形成了是由于形成了Cooper对对Cooper对的零温分布对的零温分布22)(/210|0FkkkkkEEvuCC显然，显然，Cooper对的对的凝聚主要发生在费凝聚主要发生在费米能米能EF附近附近4. 超导体的元激发超导体的元激发)(kkkkkksEH从从BCS超导体的对角化哈密顿量超导体的对角化哈密顿量可知，对于可知，对于单准粒子激发态单准粒子激发态0|1 |kk其元激发能

18、量为：其元激发能量为：220|01 |1kkkkkkHH在费米面上在费米面上 ，这时，这时0FkFk 是单个准粒子激发所需的最小能量是单个准粒子激发所需的最小能量由于准粒子算符：由于准粒子算符： 代表电子与空穴的混合代表电子与空穴的混合kkkkkCvCu当元激发使系统粒子数从当元激发使系统粒子数从NN+1时，超导体产生时，超导体产生“电子电子”型元激型元激发。发。当元激发使系统粒子数从当元激发使系统粒子数从NN-1时，超导体产生时，超导体产生“空穴空穴”型元激型元激发。发。 实验上可以通过超导体（实验上可以通过超导体（S）与正常金属（）与正常金属（N）的隧道效应，注）的隧道效应，注入电子或空穴

19、，形成入电子或空穴，形成“电子电子”型或型或“空穴空穴”型元激发。型元激发。EE电子电子-空穴对激发空穴对激发激发一个粒子到费米面以上，激发一个粒子到费米面以上，保持系统总粒子数不变。相保持系统总粒子数不变。相当产生两个准粒子激发，一当产生两个准粒子激发，一个是个是“空穴空穴”型的，一个是型的，一个是“电子电子”型的。型的。称为电子称为电子-空穴对型激发空穴对型激发它相当于拆开一个它相当于拆开一个Cooper对对对型激发：对型激发：对|0|kk元激发能量：元激发能量：kHH20|0|对对最小激发能量为最小激发能量为 2 4. 超电流超电流不载流超导态，每个不载流超导态，每个Cooper对为（对

20、为（k ,-k ), 其总动量为：其总动量为：0)(kkK由于外场作用相应的由于外场作用相应的Cooper对变为（对变为（k+ k ,-k+ k ),其总动量为：其总动量为：质心速度为质心速度为 ，称为载流超导态。，称为载流超导态。)2(kKmk* Cooper对运动的电流密度为：对运动的电流密度为：mknemkenjs)2(2由于互作用只使（由于互作用只使（k+ k ,-k+ k )的的Cooper对散射为（对散射为（k+ k ,-k+ k )的的Cooper对，总动量不变。即使外场撤去，超导体中的组态保持不变，对，总动量不变。即使外场撤去，超导体中的组态保持不变，因此，超导电流因此，超导电流js将不衰减，说明将不衰减，说明Cooper对所载电流是无阻电流。对所载电流是无阻电流。 超导电流超导电流 js存在一个上限：存在一