基本不等式之1的代换

1、专题：均值不等式应用中“1的代换”不等式是高中数学的重要内容之一，利用均值不等式求最值以及证明不等式是重中之重.纵观近几年全国各省的高考题与竞赛题，可以发现均值不等式中与“1”有关的试题频频出现，好学教育老师对此总结如下，以供大家参考.【题引】【安徽省皖江名校2016届高三12月联考数学（理）试题】已知实数满足，若目标函数的最小值为2，则的最小值为（ ） 【答案】【解析】 首先作出可行域，如下图所示，把目标函数，变形可得，斜率为负数，当取得最小值时，联立求出交点A的坐标，当目标函数过点A时取最小值，代入得，即所以，当且仅当时，取最小值，故选【考点】线性规划；基本不等式之1的代换.【点评】这道题

2、目除了考查线性规划外，还考查了常数的代换，或称为“1的代换”，更具体的说，其与一般代换还是不同的，它更像是在所求的式子后面乘以一个1，或者是一个常数，因此，我们把此类解题技巧定义为“1的代换”.【使用情景】使用“1的代换”解题的结构特征：都可转化为条件求最值问题，且已知是“和式”，所求也是“和式”，同时要求两和式是一整式，一分式（或化为分式）；已知“和式”可变为常数“1”；两个“和式”都是齐次式或可变为齐次式。符合上述特征的题目，通过“1”的代换轻松解决问题。【题型归纳】题型1 直接使用“1的代换”题目1：已知1，(x0，y0)，则xy的最小值为()A1 B2 C4 D8【答案】D【解析】x0

3、，y0，xy(xy)·42448.当且仅当，即xy4时取等号故选D题目2：设a0，b0.若ab1，则的最小值是()A2 B. C4 D8【答案】D【解析】由题意2224，当且仅当，即ab时，取等号，所以最小值为4.故选D变式1：若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是（ ）() A. B. C5 D6审题：由于已知x3y5xy可变成1，符合“1”的代换法解题指针。解：变式2：在4×（ ）+9×（ ）60的2个（ ）中，分别填入2个自然数，使它们的倒数和最小，应分别填 和 。审题：设所填2数分别为x、y，则已知条件可变为1，符合“1”的代换法解题指针。解：

4、题型2 构造的“1的代换”此类题目没有直接给出和式条件，所以需要从条件中找出和式条件，继而使用“1的代换”进行求值.题目3：设若的最小值为 （ ）A B1 C4 D8【答案】C【解析】试题分析：由等比中项得，当且仅当时等号成立，所以最小值为4，故选C考点：均值不等式求最值题目4：已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为(    )A. B. C. D. 不存在【答案】A【解析】因为，所以，即，解得。若存在两项，有，即，即，所以，即。所以，当且仅当即取等号，此时，所以时取最小值，所以最小值为，选A.【点评】上面两道题目是关于求最值的题目，且是二元式子的最

5、值，此类题目我们要做的是首先找两变量之间的关系.变式3：设为坐标原点，第一象限内的点的坐标满足约束条件，若的最大值为40，则的最小值为（ ）（A） （B） （C）1 （D）4【答案】B审 题：找出和式条件解：变式4：函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为 【答案】8解：变式5：已知，且，则的最小值为 【答案】解：题型3 隐藏“1”此类题目条件中没有给出含“1”的等式，无法直接使用“1的代换”法求解，但观察题目，发现其分母之和为常数，故可构造出“1”的等式，即可使用“1的代换”法求解.题目5：已知，求的最小值.【答案】【解析】试题分析： 当且仅当，即时等号成立故【点评】本题条件中没

6、有给出含有1的等式，无法直接使用“1的代换”法求解，但观察待求函数易知其分母和为1，故可将代入所求函数解析式，即可用“1的代换”求解.题目6：已知，求函数的最小值【答案】.【解析】试题分析： 当且仅当，即时取等号所以函数的最小值为.变式6：已知，求的最小值解：变式7：求的最小值解：题型4 部分使用“1的代换” 若形如“已知，求的最小值”，只需部分使用“1的代换”，即题目7：设正实数 满足的最小值为 【答案】1【解析】试题分析：， 当且仅当即时取得等号题目8：【2013天津理】设a + b = 2, b>0, 则当a = 时, 取得最小值.【答案】【解析】试题分析：因为，所以所以当且仅当，

7、即时取等号，当时，；当时，；所以的最小值为，此时又，所以，即变式8：设 满足，则的最小值为 解：题型5 非齐次使用“1的代换”在使用“1的代换”时，注意保持两和式是同次的.题目9：已知且，则的最小值是 .【答案】32【解析】试题分析： ，当且仅当，即时取等号；，当且仅当，即时取等号；所以，当且仅当时取等号；所以的最小值为32【点评】在使用“1的代换”时，注意保持两和式是同次的.；在使用两次基本不等式时，注意两次等号成立的条件是否一致.变式9：已知且，则的最小值是 .解：好学教育名师榜张莉莉：原某辅导机构的教学部主任，主讲高中化学，多年从事高中化学及高考辅导教学，张老师教学经验丰富，强调化学的整

8、体和细节，擅于将不同的题目归类，使得题型的讲解易懂化和形象化。课风严肃和有趣并存，张老师的化学课，最能激起学生学习的兴趣，能最大限度地体现学生的主体性。刘 恒：原某辅导机构的数学部主管，主讲高中数学，多年从事高中数学及高考辅导教学，对高考考点和题型有着深刻的认识。授课沉稳又不失幽默，有着较强的亲和力，教学思路清晰，注重复杂知识的简单化，善于对试题进行总结，帮助学生举一反三，提高学习效率. 孙明明：原某辅导机构的理综部主管，主讲高中物理，多年从事高中物理及高考辅导教学，孙老师课堂最大特色就是：互动教学，趣味教学；最大限度的让学生参与到课堂中，摒弃了填鸭式教学，引导学生主动思考；轻松、简练，会让复杂的物理变得简单有趣.张海涛:外国语大学高材生，英语专八高分得主，3年英语培训资历，主讲英语构词法、句法、语法，阅读之谜，强势攻破，从此高分高能不是梦！ 教学中重点突出，条理清晰，幽默风趣；注重引导学生充满激情，注重学生兴趣的培养；注重知识与实际生活的联系，注重能力的培养和思维的训练.好学教育开设课程1.个性化： 一对一教学 一对二教学2.精品班：