复数中的方程问题

1、复数中的方程问题（教师版）【知识梳理】1.一元二次方程(1)方程有两个不相等的实数根;(2) 方程有两个不相等的实数根;(3) 方程有两个共轭虚根.注:实系数一元二次方程的跟只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根;解实系数一元二次方程,首先要判断的符号,以确定跟的情况.2.实系数一元二次方程跟与系数的关系: 方程的两根为,则()注:时()式成立,为虚数时()式也成立;若为虚数,则,且【基础练习】1.在复数集内,方程的解集为_.2.若是方程的一个根,则等于_26_. 2.方程的一个虚根的模为,则=_9_. 3.方程的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数的值为_. 4.若实系数一元二次方程的

2、根为,则这个方程为( B ) A. B. C. D.5.方程在复数集内的根的个数为( C ) A.2 B.3 C. 4 D.56.在复数集内分解因式:_ _.【例题解析】例1. 在复数集中解方程：分析 解实系数一元二次方程要首先计算判别式，以确定根的情况解 (1)，所以该方程有一对共轭虚根，所以方程的根为：(2)，当时，即或时，；当时，即，若；若；当时，即时，例2. 已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求分析 实系数一元二次方程的两个虚根共轭，又解 是实系数一元二次方程的两个虚根，又因为所以是的立方根，又例3. 已知方程（）的两根为，若，求实数的值.解：（1）当，即时，则，由（2）当，即时

3、，则，由综上。例4.已知且关于的方程的两个根分别为，求分析 在求的表达式时，方程的根是实数还是虚数，在变形时方法完全不同所以很有必要区分是实根还是虚根，即对分类讨论解 当即时， ，当即时， 为一对共轭虚根，则综上可知： 例5. 已知关于的方程有实根，求纯虚数的值分析 关于虚系数一元二次方程求实根，我们所掌握的工具只有方程根的概念。即方程的根满足该方程，所以可将实数根代入方程，用复数相等来解题解 设实数根为，又设，代入原方程整理，得：，由复数相等的定义，得 解方程组，得，。【变式】有关于的一元二次方程（1） 若此方程有一实数根，求锐角的值；（2） 求证：对任意的实数，原方程不可能有纯虚数根.解：

4、（1）设原方程的实数根为，则，即，解得；（2）假设（）时，原方程有纯虚数根（），代入原方程，得，从而有，该方程组无解，得证。【巩固练习】1.,方程一定有实数根的充要条件是(D ) A. B.或 C. D.2.对关于的方程,下列说法正确的是(C ) A.若方程有实根,则为非负实数; B.若虚数为方程的一个根,则为方程的另一个根; C.若方程有两个实数根,则都不是虚数; D.若为虚数,则方程两根均为虚数;3.方程的实数解为_2_. 4.已知为方程的解,则_-1_. 5解关于的方程。 解：当或时；当时6.设关于的方程的两根的模的和为2,求实数的值. 解：当时，即或时，方程有二实根，；即或（舍去）；当时，即时，方程有两共轭虚根，或（舍去）；综上所述，或。7.已知复数为虚数单位且,求的取值范围. 解：，。8.已知,设方程有虚数根;不等式对一切恒成立.如果两个命题中有且只有一个是正确的,求的范围. 9. 设，在复数集中解方程。解一：设，（）或，解得或。所以方程解为或解二：，为实数或纯虚数。（1） 若，则原方程化为，（2） 若为纯