向量及向量的加减法

1、51 向量及向量的加减法要点透视： 1由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件 2向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 3数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 4向量的几何加法有两种法则：平行四边形法则和三角形法则当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”活题解析： 例1

2、给出下列命题： 若|，则=； 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件： 若=，=，则=，=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/，其中正确的序号是 。 要点精析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确 ， 且，又 A，B，C，D是不共线的四点， 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此， 正确 =， ，的长度相等且方向相同；又， ，的长度相等且方向相同， ，的长度相等且方向相同，故 不正确当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是必要不充分条件 不正确考虑=这种特殊情况

3、 综上所述，正确命题的序号是 思维延伸：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多，因而容易遗忘为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想例2如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量， 表示出来要点精析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量，来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以，所以=，所以= =+，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以=+=+=2+，同样在

4、平行四边形 BCDO中，()2，.思维延伸：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ，表示，且可用规定其中任两个向量为，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示例3求证：起点相同的三个非零向量，32的终点在同一条直线上要点精析：证明：设起点为O，=b，32，则=2()，=， 共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量，32的终点在同一直线上思维延伸：利用向量平行证明三点共线，需分两步完成： 证明向量平行； 说明两个向量有公共点，用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：证明向量平行；说明两向量无公共点练 习 题一、选择题1在下列各命题中，为真命题的有（ ）（1

5、）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（2）温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量（3）方向为南偏西60的向量与北偏东60的向量是共线向量（4）坐标平面上的x铀和y轴都是向量A1个 B2个 C3个 D42已知命题P：非零向量，满足+=命题Q：表示，的有向线段可构成三角形，则P是Q的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件3下列命题中，正确的是（ ） A|=|= B| C=/ D|=04在平行四边形 ABCD中，则必有（ ） A B或 CABCD是矩形 DABCD是正方形5下列命题： (1) 如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一方

6、向相同； (2) 三角形ABC中，必有； (3) 若=，则A，B，C为三角形的三个顶点； (4) 若，均为非零向量，则|+|与|+|一定相等， 其中假命题的个数为（ ） A0个 B1个 C2个 D3个6化简以下各式： （1）； （2） （3） （4）结果为零向量的个数是（ ） A1个 B2个 C3个 D4个二、填空题：7若，|=|=，与垂直，则|= ；与的夹角为 8若点P为三角形ABC的外心，且，则三角形的内角C= .9两个非零向量的模相等是两个向量相等的 条件10已知点M是ABC的重心，则= .三、解答题：11如图所示，三角形ABC的外接圆的圆心为O，三条高的交点为H，连接BO并延长交外接圆于D 求证：（1）；（2）.12如图所示，OA DB是以向量=，=为边的平行四边形，又=，试用，表示13如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上，取点E，F，使BE=DF，用向量的方法证明，四边形 AECF也是平行四边形14如图，在ABC中，D，F分别是 BC，AC的中点， ， （1）用，表示向量；（2）求证B，E，F三点共线