四边形专题讲解

1、学习过程 一、复习预习二、知识讲解考点1 （一）、平行四边形的定义、性质及判定    1：两组对边平行的四边形是平行四边形  2性质：   (1)平行四边形的对边相等且平行；   (2)平行四边形的对角相等，邻角互补；   (3)平行四边形的对角线互相平分 3判定：  (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：   (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；  &

2、#160;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；   (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：   (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形考点2 矩形的定义、性质及判定   1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2.性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等  3.判定：   (1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；   (2)有三个角是直角的四边形是矩形；  (3)两条

3、对角线相等的平行四边形是矩形 4.对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形考点3 菱形的定义、性质及判定  1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形   (1)菱形的四条边都相等；。   (2)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角   (3)菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形   (4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半： 2.菱形的面积。3判定： (1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 

4、  (2)四条边都相等的四边形是菱形；   (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形  4对称性：菱形是轴对称图形也是中心对称图形考点4正方形定义、性质及判定' 1定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 2性质： (1)正方形四个角都是直角，四条边都相等；  (2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；   (3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；  

5、; (4)正方形的对角线与边的夹角是45度；   (5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形3判定：   (1)先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等；   (2)先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角 4对称性：正方形是轴对称图形也是中心对称图形考点5三角形的中位线平行于三角形的第三边并等于第三边的一半；梯形的中位线平行于梯形的两底并等于两底和的一半 线段的重心是线段的中点；平行四边形的重心是两对角线的交点；三角形的重心是三条中线的交点

6、.依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形. 三、例题精析【例题1】 【题干】正十边形的每个外角等于（ ）ABCD【答案】B【例题2】【题干】如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是_【答案】14或16或26 【解析】根据外角和等于3600的性质，得正十边形的每个外角等于3600÷10=360。故选B。【例题3】 【题干】如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】利用勾股定理求出

7、CM的长，即ME的长，有DM=DE，所以可以求出DE，从而得到DG的长：四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，DM=DC=1。ME=MC= 。ED=EMDM=。四边形EDGF是正方形，DG=DE= 。故选D。【例题4】 【题干】如图，在平行四边形ABCD中，A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则AMF等于（ ）A70° B40° C30° D20°【答案】B 【解析】四边形ABCD是平行四边形，ABCD。根据折叠的性质可得：MNAE，FMN=DMN，ABCDMN。A=70&

8、#176;，FMN=DMN=A=70°。AMF=180°DMNFMN=180°70°70°=40°。故选B。【例题5】 【题干】如图，过口ABCD的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF与GH ，那么图中的口AEMG的面积S1 与口HCFG的面积S2的大小关系是（ ）A .S1 > S2 B.S1 < S2 C .S1 = S2 D.2S1 = S2 【答案】C 【解析】易知，四边形BHME和MFDG都是平行四边形。 平行四边形的对角线把平行四边形分成了两个面积相等的三角形，。，即S1 = S2。故选C。【

9、例题6】 【题干】已知：在等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是【 】A25 B50 C D【答案】A 【解析】过点D作DEAC交BC的延长线于点E，作DFBC于F。ADBC，DEAC，四边形ACED是平行四边形。AD=CE=3，AC=DE。在等腰梯形ABCD中，AC=DB，DB=DE。ACBD，ACDE，DBDE。BDE是等腰直角三角形。DF=BE=5。S梯形ABCD=（AD+BC）DF=（3+7）×5=25。故选A。【例题7】 【题干】如图，已知菱形ABCD的对角线ACBD的长分别为6cm、8cm，AEBC于点E，则AE的长是【 】A B C

10、D【答案】D 【解析】四边形ABCD是菱形，CO=AC=3，BO=BD=，AOBO，。又，BC·AE=24，即。故选D。【例题8】 【题干】已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B和折痕OP设BP=t（）如图，当BOP=300时，求点P的坐标；（）如图，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB上，得点C和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（）在（）的条件下，当点C恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）【答案】解：（）根据题意，OBP

11、=90°，OB=6。在RtOBP中，由BOP=30°，BP=t，得OP=2t。OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=，t2=（舍去）点P的坐标为（ ，6）。（）OBP、QCP分别是由OBP、QCP折叠得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180°，OPB+QPC=90°。BOP+OPB=90°，BOP=CPQ。又OBP=C=90°，OBPPCQ。由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11t，CQ=6m。（0t11）。（）点P的坐标

12、为（，6）或（，6）。 【解析】（）根据题意得，OBP=90°，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。 （）由OBP、QCP分别是由OBP、QCP折叠得到的，可知OBPOBP，QCPQCP，易证得OBPPCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。（）首先过点P作PEOA于E，易证得PCECQA，由勾股定理可求得CQ的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与，即可求得t的值： 过点P作PEOA于E，PEA=QAC=90°。PCE+EPC=90°。PCE+QCA=90&

13、#176;，EPC=QCA。PCECQA。PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，。，即，即。将代入，并化简，得。解得：。点P的坐标为（，6）或（，6）。【例题9】 【题干】如图，A（5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，CBO=45°，CDABCDA=90°点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒（1）求点C的坐标；（2）当BCP=15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的P随点P的运动而变化，当P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值【答案】解：（1）BCO=C

14、BO=45°，OC=OB=3。又点C在y轴的正半轴上，点C的坐标为（0，3）。（2）分两种情况考虑：当点P在点B右侧时，如图2，若BCP=15°，得PCO=30°，故PO=COtan30°=。此时t=4+当点P在点B左侧时，如图3，由BCP=15°，得PCO=60°，故OP=COtan60°=3。此时，t=4+3t的值为4+或4+3（3）由题意知，若P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：当P与BC相切于点C时，有BCP=90°，从而OCP=45°，得到OP=3，此时t=1。当P与CD相切于点C时，

15、有PCCD，即点P与点O重合，此时t=4。当P与AD相切时，由题意，得DAO=90°，点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9t）2，PO2=（t4）2。于是（9t）2= PO2=（t4）2，即8118tt2=t28t169，解得，t=5.6。综上所述，t的值为1或4或5.6。【例题10】 【题干】如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分AOC交AC于点D，OF平分COB，CFOF于点F（1）求证：四边形CDOF是矩形；（2）当AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由【答案】（1）证明：OD平分AOC，OF平分COB（已知），AOC=2COD，COB=2COF。A

16、OC+BOC=180°，2COD+2COF=180°。COD+COF=90°。DOF=90°。OA=OC，OD平分AOC（已知）。ODAC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性质）。CDO=90°。CFOF，CFO=90°。四边形CDOF是矩形。（2）解：当AOC=90°时，四边形CDOF是正方形。理由如下：AOC=90°，AD=DC，OD=DC。又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形。因此，当AOC=90°时，四边形CDOF是正方形。 【例题11】 【题干】如图，在菱形ABCD中，

17、A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC=( )A.35° B.45° C.50° D.55°【答案】 D 【解析】本题综合考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的内角和等知识点，是一道综合性很强的题目。ABCDEPFG解答本题应首先延长PF交AB的延长线于点G，根据题意，利用角角边可证明，于是得到，PF=FG，所以在中，EF是斜边上的中线，于是得到FE=FG，所以，又因为E、F分别为中点，所以EB=FB，所以，FE=FG=BF，所以，又因为A=110°，所以

18、,因此，,解得。【例题12】【题干】如图，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任意作一条直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是 ABCDEFO【答案】或0.25【例题13】【题干】如图1，在正方形中，分别为边上的点，连接交点为（1）如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；（2）将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形若正方形的边长为3cm，则图3中阴影部分的面积为_图1DCBAOHGFEEBADCGFH图2图3【答案】（1）四边形是正方形证明： 四边形是正方形，.，四边形是菱形由知，四边形是正方形【例题14】【题干】如图，在平行四边形ABCD中，于E，于F，BD与AE、AF分别相交于G、H（1）求证：ABEADF；（2）若，求证：四边形ABCD是菱形ADCBGEHF【答案】【解析】（1）AEBC，AFCD，AEBAFD90° 四边形ABCD是平行四边形，ABEADF ABEADF （2）ABEADF，BAGDAHAGAH，AGHAHG，从而AGBAHDABGADH 四边形ABCD是