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文档简介

1、南京大学2001年数学分析考研试题.一、 求下列极限1） 设求；2） ；3） 设试求4） 设在内可导，且令，试证明存在有限二、 设令1） 讨论2） 求三、 设试证明对一切，成立四、 求下列积分1） 计算反常积分；2） 计算曲面积分，其中为锥面那部分的外侧。五、 求在处的幂级数展开式，并计算之值六、 设，.1) 证明级数绝对收敛；2) 求级数之和.七、 设，其中满足不等式.1） 讨论含参变量积分在区域上的一致收敛性；2） 求在区域上的最小值.南京大学2001年数学分析考研试题的解答一、 1、解 易知，是压缩迭代序列，所以存在，设，则有，所以。2、解 令，则有；由，得 。3、解 在上连续，对任何，

2、 因为，由此，即得， .4、解 由题设条件，得 ，由此即可知是一个基本列，所以存在且有限。二、由于在上有二阶连续导数， 所以，在上连续；有；所以在处连续. 显然在处连续. 故在上连续. 在处, ；（2）当时, , .由于和连续, 故当时, 存在且连续. 而且, 在处连续, 进而在上连续.三、假设在上可导，且，证明 ，.证明 令, , 因，所以 , 令，则,即得, 所以， 则,于是 ， . 四、（1）计算，.解 因为 ，所以，由于及收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，得在上一致收敛，又在上连续，所以积分可交换次序，即 ；故 ，任何实数.特别地 。（2）解 （由于不是封闭曲面，需要补充一部分曲面，构成一个封闭曲面.）区域：，边界，方向朝区域外.，方向朝上；显然，利用高斯公式，得，再由 ，得出 .五、解 ，因为，所以，显然在上一致收敛， 。六、证明 令，则有，在上是严格递减的；当时，；当时，；若，则有显然，；将代入，得，由，得单调递减，单调递增，设，在，中，令取极限，得，从而有，故 .，；，其中位于与之间，于是存在正整数，当时，成立，其中常数，由此而来，可知级数收敛，故级数绝对收敛；若，则有，此时结论显然可得；若，则有，然后就与上面的情况类似了。七、 解 （1）等价于，于是

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