研究生数值分析 二元插值

1、朱立永朱立永北京航空航天大学 数学与系统科学学院Email: numerical_Password:buaa2015答疑时间：星期一下午15:0017:00答疑地点：双周：西配楼519室， 单周：主南307第十四讲分段插值和二元函数插值第五章插值与逼近插值有多种方法：插值有多种方法：Lagrange 插值、插值、Newton插值、插值、Hermite插值等多种方式。插值等多种方式。插值是数值逼近的一种手段，而数值逼近是为得插值是数值逼近的一种手段，而数值逼近是为得到一个数学问题的精确解或足够精确的解。到一个数学问题的精确解或足够精确的解。那么，那么，是否插值多项式的次数越高，越能够达到是否插值

2、多项式的次数越高，越能够达到这个目的呢？这个目的呢？插值多项式的收敛性lim( )( )nnP xf x 是否有，即要讨论收敛性问题。是否有，即要讨论收敛性问题。 我们已经知道：我们已经知道：f(x)在在n+1个节点个节点xi(i=0，1，2，n) 上的上的n次插值多项式次插值多项式Pn (x) 的余项的余项 设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项设想当节点数增多时会出现什么情况。由插值余项可知，当可知，当f(x)充分光滑时，若余项随充分光滑时，若余项随n增大而趋于增大而趋于0时，时，这说明可用增加节点的方法达到这个目的。那么实际是这说明可用增加节点的方法达到这个目的。那么实际是这样吗？

3、这样吗？ niinnxxnfxPxfxR011)()!()()()()()(lim( )( )nnP xf x 是是否否有有，即即要要讨讨论论收收敛敛性性问问题题。 插值节点的增多插值节点的增多, 尽管使插值多项式在更多的插尽管使插值多项式在更多的插值节点上与函数值节点上与函数 f(x) 的值相等的值相等,但在两个节点之间但在两个节点之间Pn(x)不一定能很好地逼近不一定能很好地逼近 f(x) , 有时误差会大得惊人有时误差会大得惊人,著名的龙格著名的龙格(Runge)现象证实了这个观点现象证实了这个观点.例例:1901年龙格年龙格(Runge) 给出一个例子给出一个例子:201( )( 11

4、),1251( 1,1),( )( )knjnjjf xxxkxnnxxPyl 对对于于函函数数取取等等距距节节点点即即将将区区间间进进行行 等等分分 得得到到龙格龙格(Runge)现象现象两等分三节点两等分三节点四等分四等分5节点节点10等分等分11节点节点Runge 现象现象事实上，可以证明，对1/(1+25x2)这个函数在-1,1区间内用n+1个等距节点作插值多项式，当n趋于无穷大时，插值多项式只能在|x|0.36内收敛，而在这个区间之外是发散的，类似这样的现象称为Runge现象.龙格龙格(Runge)现象表明插值多项式序列不收敛，实现象表明插值多项式序列不收敛，实际上，严格的理论分析可

5、知插值多项式序列确是际上，严格的理论分析可知插值多项式序列确是不收敛的，而且高阶插值还是不稳定的。不收敛的，而且高阶插值还是不稳定的。因此实际应用中常采用分段低次插值。因此实际应用中常采用分段低次插值。（1）分段线性插值）分段线性插值（2）分段二次插值与分段三次插值）分段二次插值与分段三次插值（3）分段）分段Hermite插值插值(4) 分段三次样条插值分段三次样条插值 因此，实践上作插值时一般只用一次、二次因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。最多用三次插值多项式。 那么如何提高插值精度呢？那么如何提高插值精度呢？定义定义 设设f(xf(x) )是定义在是定义在 a,b

6、a,b 上的函数，在节点上的函数，在节点 a= xa= x0 0 x x1 1xx2 2xxn-1n-1 x xn n=b,=b,的函数值为的函数值为 y y0 0 , y, y1 1 ,y,y2 2 ,y,yn-1 n-1 , ,y yn n , ,若函数若函数 (x)(x)满足满足条件条件(1) (1) ( (x x) )在每个子区间在每个子区间 x xi i , x, xi+1i+1(i=0,1,2,i=0,1,2,n-1,n-1) )上是线上是线 性插值多项式性插值多项式; ;(2) (2) ( (x xi i ) )= = y yi i,i,i=0,1,2,n=0,1,2,n(3)

7、(3) ( (x x) )在区间在区间 a , ba , b 上连续上连续; ;则称则称 ( (x x) )是是f f( (x x) )在在 a ,ba ,b 上的上的分段线性插值多项式。分段线性插值多项式。1. 1.问题的提法问题的提法 分段线性插值问题的解存在唯一分段线性插值问题的解存在唯一. .一、分段线性插值多项式一、分段线性插值多项式2.2.分段线性插值函数的表达式分段线性插值函数的表达式 由定义，由定义， (x)在每个子区间在每个子区间xi ,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插值多项式上是一次插值多项式;111111( )( )iiiiiiiiiixxxxxL xyyxx

8、xxxxx 分段线性插值曲线图分段线性插值曲线图：y=f(x)x0 x1x2xnXY0101.()inintx xxxy yyyf x已已知知数数据据表表用用线线性性插插值值求求例例: :的的近近似似值值。34012345012345:.tnntxxxxxxx xxxyyyyyyyx解解 设设34(1)(1)133441( )( )( ),()()ttxxL xlx ylx yf xL x 、, ,构构造造插插值值多多式式取取项项两两点点0( )( )njnjjL xx yl n n次次L La ag gr ra an ng ge e插插值值多多项项式式为为1110( ),( )( )( )(

9、 )hhnhhiiihiL xL xL xlx ylx 将将分分段段线线性性插插值值函函数数记记为为将将表表为为其其中中为为分分段段线线性性插插值值基基函函数数. . ( )1( )12()0hihiijijhllxijlxjxi （）为为分分分分段段线线性性插插值值基基函函数数应应满满足足段段线线性性 函函数数，（ ）101001(),)(hihlxxxxx xlxxx 分分段段线线性性0 0 插插值值基基函函数数的的具具 其其余余体体形形式式为为 x0 x1 xi xi+1 xn0( )hlx111111,( ),1,2,.,10iiiiihiiiiiixxxxxxxxxlxxx xinx

10、x 其余其余x0 xi-1 xi xi+1 xn( )hilx1110( ),hnnnnnnxxlxxxxxx 其其余余x0 x1 xi xn-1 xn( )hnlx11110,( )( )( )( )0,1,2,.,1iinhhhhiiiiiiixx xL xlxlx ylx yyin 分段线性插值函数可分段表示为:分段线性插值函数可分段表示为:对，对， .8| )()(|max , | )( |max2| )()(|max | )(|max ,)(22122211hMxIxfxxxxMxIxfxfMbaCxfhbxakkxxxhxxxbxakkkk 或，得到误差估计时，记当0.)()()(

11、)()( |)(| )(|)(| )( |)()()()()(| )()(| ,)( 111111hhhxlxlfxfxlfxfxlxlfxlfxlxlxfxIxfbaCxfkkkkkkkkkkkkkkh时，另一方面，当).(| )()(| |,)()(hxfxfhxxxxbaxfh ，就有只要上的连续模，即对任意在是其中收敛性收敛性 用分段线性插值逼近上述例子的效果，取用分段线性插值逼近上述例子的效果，取 n =10。21( ), 1,1125f xxx 3.3.分段线性插值函数的分段线性插值函数的余项余项注意注意: h随分段增多而减少，因此用分段插值提高精随分段增多而减少，因此用分段插值提

12、高精 度是很好的途径度是很好的途径.定理：定理：设设f(x)在在a,b上有二阶连续导数上有二阶连续导数f(x) ， 且且| f(x)| m2, 记：记： h = max |xi+1-xi|,就有估计：就有估计： |R(x)| = |f(x)- (x) | m2h2/ 8 , xa, b。0.02.h最最大大步步长长 应应取取4( )cos1102f xx 考考虑虑构构造造一一个个函函数数的的等等距距节节点点函函数数表表，要要使使分分例例：段段线线性性插插值值的的误误差差不不大大于于，最最大大步步长长h h应应取取多多大大？2max( )8a x bhRfx 解解：( )cos ,|( )| 1

13、fxxfx 2421|102 1082hRh0101.()inintx xxxy yyyf x已知等距节点数据表已知等距节点数据表用分段三次插值求用分段三次插值求例:例:的近似值。的近似值。34012345012345:.tnntxxxxxxx xxxyyyyyyyx解解 设设23453,( )xxxxLx，构构造造取取四四点点4439|()| |()()|16 4!tttMR xf xLxh误误差差3()()ttf xL x 分段二次插值与分段三次插值分段二次插值与分段三次插值0101.()inintx xxxy yyyf x已已知知等等距距节节点点数数据据表表用用分分段段二二次次插插值值求

14、求例例: :的的近近似似值值。34012345012345:.tnntxxxxxxx xxxyyyyyyyx解解 设设4332342433345,2( ),2ttxxxxxxxLxxxxxxxx ，当当时时，取取当当时时，取取取取三三点点2()()ttf xL x 3233|()| |()()|27tttR xf xL xM h误误差差分段低次插值优点：分段低次插值优点：计算简便，收敛性有保证，数值稳定计算简便，收敛性有保证，数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点性又好且易在计算机上实现等优点不足：不足：不能保证整条曲线的光滑性，从而不能满足某些工不能保证整条曲线的光滑性，从而不能满足某些工程

15、技术上的要求。程技术上的要求。样条插值：样条插值：从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程从六十年代开始，首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的样条插值（设计的需要而发展起来的样条插值（spline)方法，既保留方法，既保留了分段低次插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，了分段低次插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑性，在许多领域有越来越广泛的应用。在许多领域有越来越广泛的应用。 二元函数插值二元函数插值矩形区域上函数矩形区域上函数f(x, y)的双线性插值的双线性插值 x1 x2y2y1插值条件插值条件: P(x1, y1) = z1, P(x2, y1) = z2, P(x2

16、, y2) = z3, P(x1, y2) = z4P(x, y) = ax + by + cxy + d l1(u，v)= (1 u)(1 v)l2(u，v)= u(1 v)l3(u，v)= u vl4(u，v)= (1 u) v 121xxxxu 121yyyyv 其中其中P(x, y) = z1(1 u)(1 v)+ z2 u(1 v) + z3 u v + z4 (1 u)v 三角形区域三角形区域线性插值线性插值 插值条件插值条件: z1= P(x1, y1) z2 = P(x2, y2) z3 = P(x3, y3 )(x1, y1)(x3, y3)(x2, y2) 333222111zcbyaxzcbyaxzcbyax拉格朗日方法拉格朗日方法 P(x, y)=l1(x, y)z1+l2(x, y)z2+l3(x,