学年论文 (1)new

1、方程非振动性解的条件赖玉莲 翻译（广东石油化工学院理学院数学与应用数学系，数学08-？，学号：？）原作者：J.H.shen数学系，湖南长沙师范学院，中国湖南410081email：jhshI.P.SAVROULAKIS数学系，尼纳大学，451 10尼纳，希腊Email：ipstav.qcc.uoi.gr(2000年9月25日收到, 2001年7月20日接受)摘要考虑二线性函数方程 .(*)其中，单调递增，t或者0且是固定值。在上述文件正在审议的方程被称为连续变量（或连续变量或持续时间）差分方程的很可能是固定的时间在这些方程出现的延误。在1994年，Golda 和Werbowski研究了二阶线性

2、方程：， (1.10)其中是给出是实值函数，当时，表示函数g的第m个迭代 并建立了一些振动条件。特别地，他们证明了方程(1.10)的所有振动性解当： . (1.11)应该强调的是条件(1.11)（或(1.7)）在某种程度上说是一个“尖”的条件，当（或者），它变为 （1.12）这是下列方程所有解振动的充分条件：因为如果我们考虑到最后2个方程，则（1.4）减少2个条件到(1.12)注意，上述提到的所有振动性条件唯一除了(22),其中非振动性条件（1.8）和(1.9)是为方程（1.5）建立的从上述的讨论中，问题作为是否自然长生的条件当t取最大时， .(1.13)且当t取最大的时候 .(1.14)暗示

3、方程（1.10）和（1.5）分别有一个非振动的解。 这篇论文的主要目的是回答上述的问题。我们会证明它，在附加条件下，条件（1.13）暗含了方程(1.10)有一个非振动解。我们会证明(1.4)是保证方程（1.5）有一个非振动解存在的条件。值得注意的是条件（1.9）在我们的结果中不再需要而条件（1.14）弱于条件（1.8）。最后结果通过考虑了更多的一般方程将被给出 .(1.15)其中，从（1.10）的一个解（或者（1.15）我们了解一个连续实值函数这样对于任意上极限且x在满足（1.10）(或者（1.15）)。这样如果一个解拥有任意大的零则称为振动解，否则称为非振动解。所以，一个非振动解要么是最终正

4、解要么是最终负解。主要结果2.1方程（1.10）的非振动标准我们会为（1.10）用下列的假设：（）;（），且是严格递增的。（）是严格递增的。 定理2.1让（）成立。假设（）或者（）满足，如果 当t取最大时 .(1.13)则方程（1.10）有一个非振动解。要证明定理（2.1）我们要用到以下几个引理：引理（2.1）考虑一阶非线性函数方程 （2.1）其中是给出的函数，假设 当t取最大时 .(2.2)则方程（2.1）有一个最终正的连续函数解证明：不失一般性，我们假设 (2.3) 设 (2.4)则满足关系式: .(2.5)我们要求 (2.6)事实上，设 则设则所以在绝对递增。因为，则0在，所以，注意到且

5、 我们有，从这里跟（2.4）我们可以推出（2.6）下面，我们给函数做以下定义： .（2.7）从（2.5）我们不难得到： .(2.8)（2.7）和(2.8)说明了在是连续的，我们证明得到： .(2.9)事实上，从(2.5)、(2.6)和（2.7），我们有： .(2.10)因为，从(2.2)，（2.7）和(2.9)，我们有：一般我们有所以，(2.9)成立从（2.7）我们得到这就表示是（2.1）的一个连续的正解，证明完成。我们现在在函数上注释。如果满足条件（），则表示函数的相反数，而定义；如果满足条件（），则表示的逆函数，而定义引理2考虑一阶非线性函数方程 .(2.11)其中，满足条件（）。则存在一

6、个连续变化的变量方程把方程（2,11）变成（2.1），这样的变量变化由，其中由下式定义： (2.12)其中是任意连续递增函数且满足下列条件 .(2.13)此外，我们可得当且仅当振动时振动。证明：在(2.11)里用代替t，得： .(2.14)在条件左侧的只有u(t),为了完成这个转化我们令，从(2.12)我们有从(2.13)我们可以看出h是连续的。因为在递增，所以h也是递增的。最后，要证明当且仅当振动时振动，当可以去证明。事实上，如果振动，然后有数列，这样当。设，这样因为。所以，。这就表示是振动的。反过来，如果是振动的，这样存在一个数列，。设（这里的是h反函数），则当。所以，振动。现在为了证明，

7、我们只需要去证明当时，其中n取正整数。否则，序列有一个限制L，则因为对所有t,，所以上述是不可能的.证明完成。讨论2.1：把（2.11）转化为（2.1）的一种方法是假设函数，其中是待定的。我们首先令，其中。另外，条件(2.13)需要。从（），它说明了b=0,。引理2.3假设（）和（）成立。则方程（1.10）有最终的正解当且仅当一阶非线性函数方程： .(2.15)有一个最终的连续正解。证明：假设是方程（1.10）的最终正解。方程（1.10）两边都除以得： (2.16)设 .(2.17)其中， 是最终连续的正解满足： .(2.18)这表示是方程(2.15)的一个最终连续正解。下一步，我们假设是方程

8、(2.15)的一个最终连续正解，不失一般性，我们可以假设当，作同样的讨论，跟引理2.2的证明一样，我们可以看到它存在连续改变的方程： .（2.19）代入方程： .(2.20)其中，是一个引理2.2，当且仅当方程(2.20)有一个最终连续的正解时，方程（2.19）有一个最终连续正解。因为当，我们容易看到方程（2.19）有一个最终连续的正解。设就是这样的一个解，把：代入(2.15)，我们得到，即： 这就表明了是方程（1.10）的一个正解。证明完毕。定理2.1的证明我们首先考虑满足（）这种情况。从引理2.3，它可以证明方程（2.15）有一个最终连续正解。设是引理2.2的一个变化的变量。定义，从条件（

9、1.13），我们有：所以，从引理2.1方程（2.1）有一个最终连续正解，从引理2.2，我们看到方程（2.15）有一个最终连续正解。下一步，我们考虑满足（）这种情况，因为满足（），这说明满足（），。用=t代入方程（1,10），我们有： .(2.21)条件（1.13）暗含t满足最大：因为在满足（）这种情况，我们得到（2.21）有一个最终连续正解。证明完毕。例2.1：考虑下列方程 (2.22)我们容易得到所以，从定理2.1方程（2.22）有一个非振动解。事实上，就是这样的一个非振动解。2.2 方程（1.15）非振动标准我们会为方程（1.15）建立下列非振动定理。定理2.2设，假设： t取最大 (2.

10、23)则方程（1.15）有一个非振动解。备注2.2：当p=1是，条件（2.23）简化为条件（1.14）且方程（1.15）简化为（1.5）。所以，条件（1.14）满足方程（1.5）有一个非振动解。另一方面，当条件（2.23）在某种意义上是“尖”，同样条件（2.23）方程（1.15）有一个非振动解的充分条件。为了证明这个定理，我们需要2个中间结果。第一个是的不动点定理。引理2.4设是aBnach空间（B，|.|）有界闭凸子集，设S：是这样的一个连续映射。则，。第二个是下列的定理。引理2.5设是这样的一个函数序列：（i） 存在一个常数M，使得当；（ii） 对所有上是连续的；（iii） 存在一个常数其

11、中，T是常数。则存在一个连续函数和一个使得在当。备注2.3，作者不知道引理2.5的一个精确参考，但是它在是一个结果序列。证明定理2.2：设（2.23）的右边为c,则由的结果（同样看到条件（1.4），方程： .(2.24)从方程有一个非振动解，其中是特征方程的一个根。显然，下列等式成立：对每个实数r,我们定义作为所有真正的有界连续函数空间，与通常提供范数；设。显然是是aBnach空间有界闭凸子集。设T0使得对（2.23）成立。定义到S的映射如下：其中 则当 (2.25)然而当，我们同样有所以当时（2.25）成立。对所有，我们说S(y)是连续的。因为，这就说明了对所有则存在使得对所有。选择一个正整数N使得，然后对所有我们有：对所有,其中暗含系列在一致收敛。所以，S（y）是连续的。从这里跟（2.25）我们有注意到。这跟引理2.5暗含是紧密的。因此，由引理2.4，对所有，S(y)=y，即： (2.26)其中 (2.27)我们说对所有从（2.26）我们有假设存在，则我们可以设所有另一方面，从（2.26）,我们有一对矛盾。所以对所有。最后，我们定义，