2019年中考数学压轴题汇编(代数1)-解析版

1、精选优质文档-倾情为你奉上（2019年安徽22题）22（12分）一次函数ykx+4与二次函数yax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0m4）且垂直于y轴的直线与二次函数yax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记WOA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值【分析】（1）由交点为（1，2），代入ykx+4，可求得k，由yax2+c可知，二次函数的顶点在y轴上，即x0，则可求得顶点的坐标，从而可求c值，最后可求a的值（2）由（1）得二次函数解析式为y2x2+4，令ym，得2x2+m40，可求

2、x的值，再利用根与系数的关系式，即可求解【解答】解：（1）由题意得，k+42，解得k2，又二次函数顶点为（0，4），c4把（1，2）带入二次函数表达式得a+c2，解得a2（2）由（1）得二次函数解析式为y2x2+4，令ym，得2x2+m40，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，WOA2+BC2当m1时，W取得最小值7【点评】此题主要考查二次函数的性质及一次函数与二次函数图象的交点问题，此类问题，通常转化为一元二次方程，再利用根的判别式，根与系数的关系进行解答即可（2019年北京26题）26（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx与y轴交于点A，将点A向右平移2个

3、单位长度，得到点B，点B在抛物线上（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，），Q（2，2）若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围【分析】（1）A（0，）向右平移2个单位长度，得到点B（2，）；（2）A与B关于对称轴x1对称；（3）a0时，当x2时，y2，当y时，x0或x2，所以函数与AB无交点；a0时，当y2时，ax22ax2，x或x当2时，a；【解答】解：（1）A（0，）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，）；（2）A与B关于对称轴x1对称，抛物线对称轴x1；（3）对称轴x1，b2a，yax22ax，a0时，当x2时，y2

4、，当y时，x0或x2，函数与AB无交点；a0时，当y2时，ax22ax2，x或x当2时，a；当a时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键（2019年福建25题）25（14分）已知抛物yax2+bx+c（b0）与x轴只有一个公共点（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：ykx+1k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y1，垂足为点D当k0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且ABC为等腰直角三角形求点A的坐标和抛物线的解析式；证明：

5、对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线【分析】（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，即可求解；（2）ykx+1kk（x1）+1过定点（1，1），且当k0时，直线l变为y1平行x轴，与轴的交点为（0，1），即可求解；计算直线AD表达式中的k值、直线AC表达式中的k值，两个k值相等即可求解【解答】解：（1）抛物线与x轴的公共点坐标即为函数顶点坐标，故：ya（x2）2ax24ax+4a，则c4a；（2）ykx+1kk（x1）+1过定点（1，1），且当k0时，直线l变为y1平行x轴，与轴的交点为（0，1），又ABC为等腰直角三角形，点A为抛物线的顶点；c1，顶点A（1，0），抛物线的解

6、析式：yx22x+1，x2（2+k）x+k0，x（2+k±），xDxB（2+k），yD1；则D，yC（2+k2+k，C，A（1，0），直线AD表达式中的k值为：kAD，直线AC表达式中的k值为：kAC，kADkAC，点A、C、D三点共线【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等知识点，本题关键是复杂数据的计算问题，难度不大（2019年甘肃兰州28题）28（12分）通过对下面数学模型的研究学习，解决问题【模型呈现】如图，在RtABC，ACB90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DEAC于点E，可以推理得到ABCDAE，

7、进而得到ACDE，BCAE我们把这个数学模型成为“K型”推理过程如下：【模型迁移】二次函数yax2+bx+2的图象交x轴于点（1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNx轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒（1）求二次函数yax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t时，求DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t时，在直线MN上存在一点Q，使得AQC+OAC90°，求点Q的坐标【分析】（1）将点（1，0），B（4

8、，0）代入yax2+bx+2即可；（2）由已知分别求出M（2，0），N（2，1），D（2，3），根据DNB的面积DMB的面积MNB的面积即可求解；（3）由已知可得M（2t1，0），设P（2t1，m），根据勾股定理可得PC2（2t1）2+（m2）2，PB2（2t5）2+m2，再由PBPC，得到m与t的关系式：m4t5，因为PCPB，则有1求出t1或t2，即可求D点坐标；（4）当t时，M（，0），可知点Q在抛物线对称性x上；过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x的交点分别为Q1与Q2，由AB5，可得圆半径AM，即可求Q点坐标分别为（，），（，）【解答】解：（1）将点（1，0），B（

9、4，0）代入yax2+bx+2，a，b，yx2+x+2；（2）C（0，2），BC的直线解析式为yx+2，当t时，AM3，AB5，MB2，M（2，0），N（2，1），D（2，3），DNB的面积DMB的面积MNB的面积MB×DMMB×MN×2×22；（3）BM52t，M（2t1，0），设P（2t1，m），PC2（2t1）2+（m2）2，PB2（2t5）2+m2，PBPC，（2t1）2+（m2）2（2t5）2+m2，m4t5，P（2t1，4t5），PCPB，1t1或t2，M（1，0）或M（3，0），D（1，3）或D（3，2）；（4）当t时，M（，0），点Q在抛

10、物线对称性x上，如图：过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x的交点分别为Q1与Q2，AB5，AM，AQ1C+OAC90°，OAC+MAG90°，AQ1CMAG，又AQ1CCGAMAG，Q1（，），Q1与Q2关于x轴对称，Q2（，），Q点坐标分别为（，），（，）；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质，应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标之间的联系，借助圆周角的性质，等腰三角形的性质，互余角的性质将角进行转换是解题的关键（2019年甘肃陇南28题）28.如图，抛物线y=ax2+bx+4

11、交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PNBC，垂足为点N请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y=a（x+3）（x-4）=a（x2-x-12），即：-12a=4，解得：a=-13，则抛物线的表达式

12、为y=-13x2+13x+4；（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4），则AC=5，AB=7，BC=42，OAB=OBA=45°，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：y=-x+4，同理可得直线AC的表达式为：y=43x+4，设直线AC的中点为M（-32，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为-34，同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y=-34x+78，当AC=AQ时，如图1，则AC=AQ=5，设：QM=MB=n，则AM=7-n，由勾股定理得：（7-n）2+n2=25，解得：n=3或4（舍去4），故点Q（1，3）

13、；当AC=CQ时，如图1，CQ=5，则BQ=BC-CQ=42-5，则QM=MB=8522，故点Q（522，8522）；当CQ=AQ时，联立并解得：x=252（舍去）；故点Q的坐标为：Q（1，3）或（522，8522）；（3）设点P（m，-13m2+13m+4），则点Q（m，-m+4），OB=OC，ABC=OCB=45°=PQN，PN=PQsinPQN=22（-13m2+13m+4+m-4）=-26m2+726m，-260，PN有最大值，当m=72时，PN的最大值为：49224【解析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；（2）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三种情况，分别求解即

14、可；（3）由PN=PQsinPQN=（-m2+m+4+m-4）即可求解主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系（2019年甘肃天水26题）26（13分）如图，已知抛物线yax2+bx+c经过点A（3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若RtAOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点

15、F重合，得到RtA1O1F，求此时RtA1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若RtAOC沿x轴向右平移t个单位长度（0t6）得到RtA2O2C2，RtA2O2C2与RtOED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围【分析】（1）将点A（3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入yax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y4，求出x的值，即可写出点D坐标；（2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证FGHFA1O1，求出GH的长，因为RtA1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重

16、叠部分SFGH，即可求出结果；（3）当0t3时，设O2C2交OD于点M，证OO2MOED，求出O2Mt，可直接求出SOO2×O2Mt2；当3t6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证DC2NDCO，求出C2N（6t），由S可求出S与t的函数表达式【解答】解：（1）抛抛线yax2+bx+c经过点A（3，0）、B（9，0）和C（0，4），抛物线的解析式为ya（x+3）（x9），点C（0，4）在抛物线上，427a，a，抛物线的解析式为：y（x+3）（x9）x2+x+4，CD垂直于y轴，C（0，4），令x2+x+44

17、，解得，x0或x6，点D的坐标为（6，4）；（2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，点F是抛物线yx2+x+4的顶点，F（3，），FH4，GHA1O1，FGHFA1O1，解得，GH1，RtA1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，S重叠部分SFGHA1O1O1FGHFH；（3）当0t3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M，C2O2DE，OO2MOED，O2Mt，SOO2×O2Mt×tt2；当3t6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，将点D（6，4）代入ykx，得，k，yODx，将点（t3，0），（t，4）代入y

18、kx+b，得，解得，k，bt+4，直线A2C2的解析式为：yxt+4，联立yODx与yxt+4，得，xxt+4，解得，x6+2t，两直线交点M坐标为（6+2t，4+t），故点M到O2C2的距离为6t，C2NOC，DC2NDCO，C2N（6t），SOAOCC2N（6t）×3×4×（6t）（6t）t2+4t6；S与t的函数关系式为：S【点评】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出（2019年甘肃28题）28（10分）如图，已知二次函数yx2+bx+

19、c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBDAB（yDyE），即可求解【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：y（x1）（x3）x24x+3；故二次函数表达式为：yx24x+3；（2）

20、当AB为平行四边形一条边时，如图1，则ABPE2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：2，解得：m2，故点P（2，1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，1）；（3）直线BC的表达式为：yx+3，设点E坐标为（x，x24x+3），则点D（x，x+3），S四边形AEBDAB（yDyE）x+3x2+4x3x2+3x，10，故四边形AEBD面积有最大值，当x，其最大值为，此时点E（，

21、）【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系（2019年广东深圳22题）22（9分）如图抛物线经yax2+bx+c过点A（1，0），点C（0，3），且OBOC（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x1上的两个动点，且DE1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标【分析】（1）OBOC，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3

22、）a（x22x3）ax22ax3a，即可求解；（2）CD+AEAD+DC，则当A、D、C三点共线时，CD+AEAD+DC最小，周长也最小，即可求解；（3）SPCB：SPCAEB×（yCyP）：AE×（yCyP）BE：AE，即可求解【解答】解：（1）OBOC，点B（3，0），则抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3）a（x22x3）ax22ax3a，故3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+2x+3；（2）ACDE的周长AC+DE+CD+AE，其中AC、DE1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CDCD，取点A（1，1），则ADA

23、E，故：CD+AEAD+DC，则当A、D、C三点共线时，CD+AEAD+DC最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值AC+DE+CD+AE+AD+DC+AC+；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又SPCB：SPCAEB×（yCyP）：AE×（yCyP）BE：AE，则BE：AE，3：5或5：3，则AE或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：ykx+3，解得：k6或2，故直线CP的表达式为：y2x+3或y6x+3联立并解得：x4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，5）或（8，4

24、5）【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，其中（1），通过确定点A点来求最小值，是本题的难点（2019年广东25题）25（9分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，CAD绕点C顺时针旋转得到CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过项点D作DD1x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PMx轴，点M为垂足，使得PAM与DD1A相似（不含全等）求出一个满足以上条件的点

25、P的横坐标；直接回答这样的点P共有几个？【分析】（1）利用抛物线解析式求得点A、B、D的坐标；（2）欲证明四边形BFCE是平行四边形，只需推知ECBF且ECBF即可；（3）利用相似三角形的对应边成比例求得点P的横坐标，没有指明相似三角形的对应边（角），需要分类讨论；根据的结果即可得到结论【解答】解：（1）令x2+x0，解得x11，x27A（1，0），B（7，0）由yx2+x（x+3）22得，D（3，2）；（2）证明：DD1x轴于点D1，COFDD1F90°，D1FDCFO，DD1FCOF，D（3，2），D1D2，OD3，D1F2，OC，CACFFA2，ACF是等边三角形，AFCACF

26、，CAD绕点C顺时针旋转得到CFE，ECFAFC60°，ECBF，ECDC6，BF6，ECBF，四边形BFCE是平行四边形；（3）点P是抛物线上一动点，设P点（x，x2+x），当点P在B点的左侧时，PAM与DD1A相似，或，或，解得：x11（不合题意舍去），x211或x11（不合题意舍去）x2；当点P在A点的右侧时，PAM与DD1A相似，或，或，解得：x11（不合题意舍去），x23（不合题意舍去）或x11（不合题意舍去），x2（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，PAM与DD1A相似，或，或，解得：x11（不合题意舍去），x23（不合题意舍去）或x11（不合题意舍去），x2；综上所述

27、，点P的横坐标为11或或；由得，这样的点P共有3个【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键（2019年广东广州25题）25（14分）已知抛物线G：ymx22mx3有最低点（1）求二次函数ymx22mx3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的

28、纵坐标的取值范围【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，m3），即xm+1，ym3，x+y2即消去m，得到y与x的函数关系式再由m0，即求得x的取值范围（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，4），函数H图象恒过点A（2，3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围【解答】解：（1）y

29、mx22mx3m（x1）2m3，抛物线有最低点二次函数ymx22mx3的最小值为m3（2）抛物线G：ym（x1）2m3平移后的抛物线G1：ym（x1m）2m3抛物线G1顶点坐标为（m+1，m3）xm+1，ym3x+ym+1m32即x+y2，变形得yx2m0，mx1x10x1y与x的函数关系式为yx2（x1）（3）法一：如图，函数H：yx2（x1）图象为射线x1时，y123；x2时，y224函数H的图象恒过点B（2，4）抛物线G：ym（x1）2m3x1时，ym3；x2时，ymm33抛物线G恒过点A（2，3）由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yByPyA点P纵坐标的取值范围为4yP3法

30、二：整理的：m（x22x）1xx1，且x2时，方程为01不成立x2，即x22xx（x2）0m0x11x0x（x2）0x20x2即1x2yPx24yP3【点评】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用（2019年广西池州26题）26（12分）在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A（0，0），B（6，0），C（6，8），D（0，8），AC，BD交于点E（1）如图（1），双曲线y过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的解析式；（2）如图（2），双曲线y与BC，CD分别交于点M，N，点

31、C关于MN的对称点C在y轴上求证CMNCBD，并求点C的坐标；（3）如图（3），将矩形ABCD向右平移m（m0）个单位长度，使过点E的双曲线y与AD交于点P当AEP为等腰三角形时，求m的值【分析】（1）利用中点坐标公式求出点E坐标即可（2）由点M，N在反比例函数的图象上，推出DNADBMAB，因为BCAD，ABCD，推出DNBCBMCD，推出，可得MNBD，由此即可解决问题（3）分两种情形：当APAE时当EPAE时，分别构建方程求解即可【解答】解：（1）如图1中，四边形ABCD是矩形，DEEB，B（6，0），D（0，8），E（3，4），双曲线y过点E，k112反比例函数的解析式为y（2）如图2

32、中，点M，N在反比例函数的图象上，DNADBMAB，BCAD，ABCD，DNBCBMCD，MNBD，CMNCBDB（6，0），D（0，8），直线BD的解析式为yx+8，C，C关于BD对称，CCBD，C（6，8），直线CC的解析式为yx+，C（0，）（3）如图3中，当APAE5时，P（m，5），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，5m4（m+3），m12当EPAE时，点P与点D重合，P（m，8），E（m+3，4），P，E在反比例函数图象上，8m4（m+3），m3综上所述，满足条件的m的值为3或12【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了中点坐标公式，待定系数法等知识，解题的关键是学会用分

33、类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题（2019年广西贺州26题）26（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（1，0），且OAOC4OB，抛物线yax2+bx+c（a0）图象经过A，B，C三点（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PDAC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值【分析】（1）OAOC4OB4，即可求解；（2）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x4）a（x23x4），即可求解；（3）PDHPsinPFD（x4x2+3x+4，即可求解【解答】解：（1）OAOC4O

34、B4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，4）；（2）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x4）a（x23x4），即4a4，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx23x4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：ykx4，将点A坐标代入上式并解得：k1，故直线CA的表达式为：yx4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，OAOC4，OACOCA45°，PHy轴，PHDOCA45°，设点P（x，x23x4），则点H（x，x4），PDHPsinPFD（x4x2+3x+4）x2+2x，0，PD有最大值，当x2时，其最大值为2，此时点P（2，6）【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉

35、及到一次函数、解直角三角形、图象的面积计算等，其中（3），用函数关系表示PD，是本题解题的关键（2019年广西柳州26题）26（10分）如图，直线yx3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线yax2+bx+c（a0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线yx3上的一个动点（1）求抛物线的解析式；（2）求BDP周长的最小值；（3）若动点P与点C不重合，点Q为F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形A

36、BMN的面积【解答】解：（1）直线yx3，令x0，则y3，令y0，则x3，故点A、C的坐标为（3，0）、（0，3），则抛物线的表达式为：ya（x3）（x1）a（x24x+3），则3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+4x3；（2）过点B作直线yx3的对称点B，连接BD交直线yx3于点P，直线BB交函数对称轴与点G，连接AB，则此时BDP周长BD+PB+PDBD+BB为最小值，D（2，1），则点G（2，1），即：BGEG，即点G是BB的中点，过点B（3，2），BDP周长最小值BD+BB；（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，点A、B、C、E、F的坐标为（3，0）

37、、（1，0）、（0，3）、（2，0）、（2，0），则CE，FQCE，则PFCECE，设点P（m，m3），点F（2，0），PF213（m2）2+（m3）2，解得：m1，故点P（1，2），将点P、F坐标代入一次函数表达式并解得：直线PF的表达式为：yx，联立并解得：x，故点M、N的坐标分别为：（，）、（，），过点M、N分别作x轴的垂线交于点S、R，则S四边形ABMNS梯形NRSMSARNSSBM（2019年广西北部湾等26题）26（10分）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线如图1，已知抛物线C1：y1x2+x与C2

38、：y2ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，1）（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点F（6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S10），ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S20），令SS1+S2，观察图象，当y1y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值【分析】（1）由抛物线C1：y1x2

39、+x可得A（2，1），将A（2，1），D（6，1）代入y2ax2+x+c，求得y2+x+2，B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：yx+1，若B为直角顶点，BEAB，E（6，1）；若A为直角顶点，AEAB，E（10，13）；若E为直角顶点，设E（m，m2+m+2）不符合题意；（3）由y1y2，得2x2，设M（t，），N（t，），且2t2，易求直线AF的解析式：yx3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q，S1，设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S22，所以SS1+S24t+8，当t2时，S的最大值为16【解答】解：由抛物线C1：y1x2+x可得A（2，1），将A（2，1），D（6，1）

40、代入y2ax2+x+c得 ，解得，y2+x+2，B（2，3）；（2）易得直线AB的解析式：yx+1，若B为直角顶点，BEAB，kBEkAB1，kBE1，直线BE解析式为yx+5联立，解得x2，y3或x6，y1，E（6，1）；若A为直角顶点，AEAB，同理得AE解析式：yx3，联立，解得x2，y1或x10，y13，E（10，13）；若E为直角顶点，设E（m，m2+m+2）由AEBE得kBEkAE1，即，解得m2或2（不符合题意舍去），点E的坐标E（6，1）或E（10，13）；（3）y1y2，2x2，设M（t，），N（t，），且2t2，易求直线AF的解析式：yx3，过M作x轴的平行线MQ交AF于Q

41、，则Q（），S1QM|yFyA|设AB交MN于点P，易知P（t，t+1），S2PN|xAxB|2SS1+S24t+8，当t2时，S的最大值为16【点评】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质、直角三角形的性质以及一次函数的性质是解题的关键（2019年广西梧州26题）26（12分）如图，已知A的圆心为点（3，0），抛物线yax2x+c过点A，与A交于B、C两点，连接AB、AC，且ABAC，B、C两点的纵坐标分别是2、1（1）请直接写出点B的坐标，并求a、c的值；（2）直线ykx+1经过点B，与x轴交于点D点E（与点D不重合）在该直线上，且ADAE，请判断点E是否在此抛物线上，并说明理由；（3

42、）如果直线yk1x1与A相切，请直接写出满足此条件的直线解析式【分析】（1）证明RtBRARtASC（AAS），即可求解；（2）点E在直线BD上，则设E的坐标为（x，x+1），由ADAE，即可求解；（3）分当切点在x轴下方、切点在x轴上方两种情况，分别求解即可【解答】解：（1）过点B、C分别作x轴的垂线交于点R、S，BAR+RAB90°，RAB+CAS90°，RABCAR，又ABAC，RtBRARtASC（AAS），ASBR2，ARCS1，故点B、C的坐标分别为（2，2）、（5，1），将点B、C坐标代入抛物线yax2x+c并解得：a，c11，故抛物线的表达式为：yx2x+1

43、1；（2）将点B坐标代入ykx+1并解得：yx+1，则点D（2，0），点A、B、C、D的坐标分别为（3，0）、（2，2）、（5，1）、（2，0），则AB，AD5，点E在直线BD上，则设E的坐标为（x，x+1），ADAE，则52（3x）2+（x+1）2，解得：x2或6（舍去2），故点E（6，4），把x6代入yx2x+114，故点E在抛物线上；（3）当切点在x轴下方时，设直线yk1x1与A相切于点H，直线与x轴、y轴分别交于点K、G（0，1），连接GA，AHAB，GA，AHKKOG90°，HKAHKA，KOGKHA，即：，解得：KO2或（舍去），故点K（2，0），把点K、G坐标代入yk1

44、x1并解得：直线的表达式为：yx1；当切点在x轴上方时，直线的表达式为：y2x1；故满足条件的直线解析式为：yx1或y2x1【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的切线性质、三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏（2019年广西玉林26题）26（12分）已知二次函数：yax2+（2a+1）x+2（a0）（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数

45、的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使PCA75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由【分析】（1）将解析式右边因式分解得抛物线与x轴的交点为（2，0）、（，0），结合a0即可得证；（2）结合（1）中一个交点坐标（，0）及横坐标均为整数，且a为负整数可得a的值，从而得出抛物线解析式，继而求出点C、D坐标，从而画出函数图象；（3）分点P在AC上方和下方两种情况，结合ACO45°得出直线PC与x轴所夹锐角度数，从而求出直线PC解析式，继而联立方程组，解之可得答案【解答】解：（1）yax2+（2a+1）x

46、+2（x+2）（ax+1），且a0，抛物线与x轴的交点为（2，0）、（，0），则二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，a1，则抛物线与x轴的交点A的坐标为（2，0）、B的坐标为（1，0），抛物线解析式为y（x+2）（x+1）x2x+2（x+）2+，当x0时，y2，即C（0，2），函数图象如图1所示：（3）存在这样的点P，OAOC2，ACO45°，如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，PCA75°，PCO120°，OCB60°，则OEC30°，OE2，则E（2，0），求得直线CE解析式

47、为yx+2，联立，解得或，P（，）；如图3，当点P在直线AC下方时，记直线PC与x轴的交点为F，ACP75°，ACO45°，OCF30°，则OFOCtanOCF2×，F（，0），求得直线PC解析式为yx+2，联立，解得：或，P（1，1），综上，点P的坐标为（，）或（1，1）【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、直线与抛物线相交的问题等（2019年广西百色26题）26（12分）已知抛物线ymx2和直线yx+b都经过点M（2，4），点O为坐标原点，点P为抛物线上的动点，直线yx+b与x轴、y轴分别交于

48、A、B两点（1）求m、b的值；（2）当PAM是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）满足（2）的条件时，求sinBOP的值【解答】解：（1）将M（2，4）代入ymx2，得：44m，m1；将M（2，4）代入yx+b，得：42+b，b2（2）由（1）得：抛物线的解析式为yx2，直线AB的解析式为yx+2当y0时，x+20，解得：x2，点A的坐标为（2，0），OA2设点P的坐标为（x，x2），则PA2（2x）2+（0x2）2x4+x24x+4，PM2（2x）2+（4x2）2x47x2+4x+20PAM是以AM为底边的等腰三角形，PA2PM2，即x4+x24x+4x47x2+4x+20，整理

49、，得：x2x20，解得：x11，x22，点P的坐标为（1，1）或（2，4）（3）过点P作PNy轴，垂足为点N，如图所示当点P的坐标为（1，1）时，PN1，PO，sinBOP；当点P的坐标为（2，4）时，PN2，PO2，sinBOP满足（2）的条件时，sinBOP的值的值为或（2019年广西贵港25题）25（11分）如图，已知抛物线yax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，

50、Q两点的坐标【分析】（1）函数表达式为：ya（x4）2+3，将点B坐标代入上式，即可求解；（2）A（4，3）、B（0，5），则点M（2，1），设直线AB的表达式为：ykx5，将点A坐标代入上式，即可求解；（3）分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可【解答】解：（1）函数表达式为：ya（x4）2+3，将点B坐标代入上式并解得：a，故抛物线的表达式为：yx2+4x5；（2）A（4，3）、B（0，5），则点M（2，1），设直线AB的表达式为：ykx5，将点A坐标代入上式得：34k5，解得：k2，故直线AB的表达式为：y2x5；（3）设点Q（4，s）、点P（m，m2+4m5），当AM是平行四边形的一条边时，点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，同样点P（m，m2+4m5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s），即：m24，m2+4m54s，解得：m6，s3，故点P、Q的坐标分别为（6，1）、（4，3）；当AM是平行四边形的对角线时，由中点定理得：4+2m+4，31m2+4m5+s，解得：m2，s1，故点P、Q的坐标分别为（2，1）、（4，