高二数学反证法(公开课)（课堂PPT）

1、12.2.2 反证法反证法2将将9 9个球分别染成红色或白色。那么无论怎样个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染，至少有染，至少有5 5个球是同色的。你能证明这个结个球是同色的。你能证明这个结论吗？论吗？引例引例1：引例引例2：证明：设证明：设p为正整数，如果为正整数，如果p2是偶数是偶数, 则则p也是偶数。也是偶数。假设假设p不是偶数，可令不是偶数，可令p=2k+1，k为非负整数。为非负整数。可得可得 p2=4k2+4k+1，此式表明，此式表明，p2是奇数，这与条件是奇数，这与条件矛矛盾，因此假设盾，因此假设p不是偶数不成立，从而证明不是偶数不成立，从而证明p为偶数。为偶数。正难则反正难则反

2、3假设假设命题命题结论结论的的反面成立反面成立，经过正确的推理，经过正确的推理, ,引出引出矛矛盾盾，因此说明，因此说明假设错误假设错误, ,从而从而间接间接证明证明原命题成立原命题成立, ,这这样的的证明方法叫样的的证明方法叫反证法反证法。 反证法反证法4反证法的证明过程：反证法的证明过程： 反设反设归谬归谬存真存真反设反设假设命题的结论不成立，假设命题的结论不成立， 即假设原结论的反面为真即假设原结论的反面为真.归谬归谬从反设和已知条件出发，从反设和已知条件出发， 经过一系列正确的逻辑推理，经过一系列正确的逻辑推理， 得出矛盾结果得出矛盾结果.存真存真由矛盾结果，断定反设不真，由矛盾结果，

3、断定反设不真， 从而肯定原结论成立从而肯定原结论成立.5例例1证明证明 不是有理数。不是有理数。2证明：假定证明：假定 是有理数，则可设是有理数，则可设 ,其中其中p，q为为互质的正整数，互质的正整数，22pq 两边平方得到，两边平方得到，2q2=p2， 式表明式表明p2是偶数，所以是偶数，所以p也是偶数，于是令也是偶数，于是令p=2l，l是正整数，代入式，是正整数，代入式，得得q2=2l2， 式表明式表明q2是偶数，所以是偶数，所以q也是偶数，这样也是偶数，这样p，q都有公因数都有公因数2，这与，这与p，q互质矛盾，互质矛盾，因此因此 是有理数不成立，于是是有理数不成立，于是 是无理数是无理

4、数.226例例2证明证明1， ，2不能为同一等差数列不能为同一等差数列的三项。的三项。3证明：假设证明：假设1， ，2是某一等差数列中的是某一等差数列中的三项，设这一等差数列的公差为三项，设这一等差数列的公差为d，则，则31= md，2= +nd，其中，其中m，n为某为某两个正整数，两个正整数，337由上两式中消去由上两式中消去d，得到，得到n+2m=(n+m) ,因为因为n+2m为有理数，为有理数，(m+n) 为无理数为无理数,33所以所以n+2m(n+m)，因此假设不成立，因此假设不成立，1， ，2不能为同一等差数列中的三项不能为同一等差数列中的三项.38221223., ,2,22.a

5、b caxbxc ybxcxaycxaxbx例3已知是互不相等的实数 求证：由y和确定的三条抛物线至少有一条与 轴有两个不同的交点9212221222222222222,= 240= 240= 2402,2,23,xbaccababcabcabbcacabab bcbc acacabcabbcac假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与 轴有两个不同的交点 则以例 证明：上三式相加得又因为互不相等，由基本不等式得相加得以上两式矛盾因此假设不成立 从而命题得证1011例例5 5. .(2011(2011南通模拟南通模拟) )若若a a、b b、c c均为实数均为实数, ,且且求证：求证：a a、b

6、 b、c c中至少有一个大于中至少有一个大于0.0.22by2z,cz2x.362ax2y,21213例例6.设设0 a, b, c , (1 b)c , (1 c)a ,141414则三式相乘：则三式相乘： (1 a)b(1 b)c(1 c)a 16414又又0 a, b, c 1 所以所以2(1)10(1)24aaa a同理：同理：1(1)4b b1(1)4c c以上三式相乘：以上三式相乘： (1 a)a(1 b)b(1 c)c 与矛盾与矛盾164原式成立。原式成立。15原词语原词语 否定词否定词 原词语原词语 否定词否定词 等于等于任意的任意的是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x x成立成立对任何对任何x x不成立不成立准确地作出反设准确地作出反设( (即否定结论即否定结论) )是非常重要的，是非常重要的，下面是一些常见的下面是一些常见的关键词关键词的否定形式的否定形式. . 不是不是不都是