第5课时幂函数函数与方程

1、第五课时：幂函数、函数图像、函数的周期性一高考要求：幂函数主要是以基础知识为主，考查幂函数的定义、图像和性质，有时与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式相结合，多以填空题的形式出现。函数图象在高考中主要是从作图、识图、用图三个方面展开，题型范围广，他是数形结合思想的具体体现，达到以形助数、增强直观性、简化运算的目的，尤其导数引入，对函数图象的要求也就越来越高。周期性的考查主要是以抽象函数的形式出现，常考求值、解析式以及和其他函数性质相结合的综合题。二具体知识点：1、冪函数的概念及注意点：2、冪函数的性质：当时：图像都通过点；在第一象限内，函数值随x的增大而增大；在第一象限内，时，图像是向下凸

2、的；时，图像是向上凸的；在第一象限内，过点后，图像向右上方无限延伸。当时：图像都过点；在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图像是向下凸的；在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；在第一象限内，过点后，越大，图像下落的速度越快。若为互质的分数，则当分子为偶数时，函数为偶函数；当分子为奇数时函数为奇函数。注意：冪函数的图像一定不能出现在第四象限。3、函数图像的定义：点集叫做函数的图像。4、描点法作函数的图像：尤其是三角函数的作图（五点法）5、函数图像的变换：（1）平移变换a、水平平移；b、竖直平移（2）对称变换：a、函数和的图像关于x轴对称；b、函数 和 的图像关于y轴对称

3、；c、函数 和 的图像关于原点对称；d、函数 和 的图像关于直线对称。若函数满足 则其图像关于直线对称（要详细说明）。（3）翻折变换：a、函数与的图像关系： b、函数与的图像关系： （4）伸缩变换：a、函数与的图像关系： 。b、函数与的图像关系： 。6、函数周期性；A：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1） 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2） 函数y=f(x)满足f(x+a)=，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（3） 函数y=f(x)满足f(x+a)+f(

4、x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.B:若a、b()是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一

5、个周期.C:若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1） 若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2） 若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.三解题方法及技巧1、紧扣幂函数定义，判断函数是否为幂函数2、若指数部分含有参数，要立足于幂函数的性质进行讨论3、要熟练掌握几种基本函数的图象及相关性质4、若从正面不要理解，则可以用定量的计算来分析问题5、研究方程或不等式时要注意使用函数图象来帮助解题。6、抽象函数的变

6、换的理解不能死记硬背，要抓住本质不放松。7、利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题四例题分析例1、比较大小：。例2、已知，求实数a的取值范围。例3、已知冪函数的图像与x,y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图像。例4、已知函数的图像，通过怎样的变化可得到函数的图像？例5、将下列变换的结果填在横线上：（1）将函数的图像向右平移2个单位，得到函数 的图像；（2）将函数的图像向右平移两个单位，得到函数 的图像；（3）将函数的图像作变换，得到函数 的图像；（4）将函数的图像向左平移个单位，得到函数

7、的图像；（5）将函数的图像各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数 的图像。例6、（1）由函数的图像，求函数的单调区间，并指出其单调性。（2）由函数的图像求单调区间。例7、已知，并且当且仅当点的图像上时，点的图像上。（1）求的解析式；（2）当x在什么范围时，。例8已知函数满足（1）求的值并求出相应的的解析式；（2）对于（1）中得到的函数，试判断是否存在，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由例9：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 例10：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4

8、-x)，且当时，f(x)=2x+1，则当时求f(x)的解析式例11：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.五知识运用1在函数中，幂函数的个数为 2 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为 3、函数是冪函数，且在上为减函数，则实数m的值为4、函数的定义域是_，奇偶性为_，单调递增区间是_。5、给出下列四个命题：函数的定义域相同；函数的值域相同；函数都是奇函数；函数在区间上都是增函数。其中正确命题的序号是_。6、已知函数的图像有公共点A，且点A的横坐标为2，则k等于 7、在这四个函数图像中，当恒成立的函数个

9、数是 8、已知在区间内存在，则实数a的取值范围是9、已知函数的实根个数是 10、若直线的图像有两个公共点，则a的取值范围是_。11.f(x) 是R上的奇函数f(x)= f(x+4) ，x0，2时f(x)=x，则f(2007)= 12、已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数13、f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a5，9且f(x)在5，9上单调.求a的值. 14、已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4x)，f(7+x)= f(7x),f(0)=0，求在区间1000，1000上f(x)=0至少有几个根？六去年高考题1（2009北京文）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度2、(2009山东卷理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为 3.