工程电磁场原理第2章3-倪光正

1、2.5.1 数学模型边值问题2.5 边值问题 Boundary Value Problem 偏微分方程的定解问题 数学物理方程的定解问题以电位函数 为待求场函数，对应的边值问题 泛定方程基于r的场的规律性的描述； 定解条件由给定工程物理问题所决定的场域边界上的边界条件。1.泛定方程DDE EEE E0EE 2 2( )00r 均匀介质泊松方程拉普拉斯方程2拉普拉斯算子代入共性泛定方程共性泛定方程 泛定方程泊松方程或拉普拉斯方程 2( , )(domain)0()x y zDD域内处处有 =0 泊松方程和拉普拉斯方程都属一元二次线性偏微分方程。这类偏微分方程的定解条件是在方程定义域（场域）的边界

2、上给定的边界条件（边值）。 2.边值问题 满足给定边界条件(边值)的泊松或拉氏方程的定解问题。 定解条件边界条件(边值) 给定的是场域边界 S 上的电位值 1b( )( )Srf r第一类边界条件 给定的是场域边界 S 上电位的法向导数值 2b( )( )Srfrn 例：导体表面 nDnEn( )0Srn齐次第二类边界条件 第二类边界条件 场域V 边界S 上的边界条件，也称为该边界S 上的边值，可给定为以下三种类型： 给定的是场域边界 S 上的电位及其法向导数的线性组合，即 34b( )( )( )( )Srrf rfrn第三类边界条件 泛定方程与相应的定解条件，将边值问题(BVP) 分类为

3、第一类边值问题（1st BVP）也称为狄利克雷(Dirichlet)问题； 第二类边值问题（2nd BVP）也称为诺伊曼(Neumann)问题； 第三类边值问题（3rd BVP）也称为柯西(Cauchy)问题。 讨论： 通常，当边界S =S1+S2+，且逐片分别给定为1st BC 与2nd BC时，则称之为由混合型 BC 构造的边值问题； 当场域D中存在多种均匀介质时，务须分域定义： 2(1, )iiiiirrin iirD12nDDDD且此时，作为定解条件，尚应引入不同媒质分界面上的BC 为“衔接条件”，或称之为辅助的BC ，即 122121nn 0r 当场源分布在离坐标原点的有限距离内，而

4、场域 D 扩展至无限远处时，则应给定无限远处的 BC为有限差分法(FDM)有限元法(FEM)模拟电荷法(CSM)矩量法(MOM)边界元法(BEM)数值求解法分离变量法直接求解法直接积分法边值问题间接求解法镜像法复位函数法保角变换法格林函数法2.5.2 直接积分法 当待求场函数 仅是一个坐标变量的函数时， 边值问题即简约为常微分方程的定解问题，可直接运用积分法求得。例2-11，例2-12 自学 2.5.4 静电场解的唯一性泛定方程（数学物理方程）的解应满足：存在性、 稳定性、 唯一性存在性存在性 静电场客观存在，因此 有解；稳定性稳定性 数学上已经证明的解稳定；唯一性唯一性 ？2.5.4 静电场

5、解的唯一性12,V 若为 空间中两个位函数12-=d 2212,= 20dnenenene,V0S1S2SnS2357=+PA 式5， 令，里边有n个导体2022-3-5132357=+PA 式5， 令，2357+VSPdVdSn式13，2+VVdVdV SdS nSe dS SdSn2.5.4 静电场解的唯一性2022-3-5142357+VSPdVdSn式13，20=dd 由于，若令， 则2dddVSdVdSn如果第一或第二类边界相同，即：12120,1,=0,1,iiiiSSSSininnn给定值或给定值2.5.4 静电场解的唯一性0=0iidSdSn或2022-3-51500,1,=0

6、0,1,iidSdSininn或0d2.5.4 静电场解的唯一性2=0dddVSdVdSn2022-3-5160d00,1,idSin对于第一类边界，有1,2=0,1,iiinSSSDinn对于第二类边界，有已知0=0idddS由场中各点12=故，即唯一0= ,ddC C由为任意常数，但不一定为零12=+C故E 而12EE故，即唯一2.5.4 静电场解的唯一性2.5.4 静电场解的唯一性唯一性的意义在于唯一性的意义在于：求解位场时，不论采用哪一种解法，只要所求的场域内场源分布不变，给定的边界条件不变，就可确信解答是正确的。唯一性是镜像法的理论基础唯一性是镜像法的理论基础。2.6 镜像法 Met

7、hod of Images不清楚自由电荷（束缚电荷）的分布，无法应用叠加方法求取电场+导体，自由电荷介质，束缚电荷点电荷-但当界面开关比较规则（如平面、球面等）时，基于唯一性定理，但当界面开关比较规则（如平面、球面等）时，基于唯一性定理，可以采用镜像法求解。可以采用镜像法求解。镜像法：用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。镜像法应用的理论基础静电场解的惟一性定理 镜像法应用的关键点： a. 镜像电荷的确定（位置、个数、电量大小）； b. 等效求解的“有效区域” 。2.6镜像法 点电荷接地导板系统2.6镜像法 原问题(点电荷接地导板系统)2.6镜像法 被考察问题(一对正、负电荷的电场问题)2.6镜像法 设：两者的电位函数解分别为1、2 (1) 在同样由s1，s2围成的场域D内（上半空间），均满足 21 = 0 和 22 = 0 (2) 关于边界面上边界条件的分析： 111200ss和和