数列求和方法总结结

1、数列求和方法小结 数列求和基础过关求数列的前n项和，一般有下列几种方法：1等差数列的前n项和公式：Sn 2等比数列的前n项和公式： 当q1时，Sn 当q1时，Sn 3倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和4. 分组求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列5错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和6裂项相消法：将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的典型例题例1. 已知数列：1，求它的前n项的和Sn解： an1 an2则原数列可以表示为：(21)，前n项和Sn(21)2n2

2、n2n22n2变式训练1.数列前n项的和为 （ ）A B C D 答案:B。解析：例2. 求Sn1解： an2() Sn2(1)变式训练2：数列an的通项公式是an，若前n项之和为10，则项数n为（ ） A11 B99C120 D121解：C .an，Sn，由10，11，n11例3. 设等差数列an的前n项和为Sn，且Sn，bnan·2n，求数列bn的前n项和Tn解：取n1，则a1a11又Sn可得：an1(nN*) an2n1Tn1·23·225·23(2n1)·2n 2Tn1·223·235·24(2n1)

3、83;2n1得：Tn22324252n1(2n1)·2n12(2n1)·2n16(1n)·2n2Tn6(n1)·2n2变式训练3.设数列an的前n项和为Sn2n2，bn为等比数列，且a1b1，b2(a2a1)b1. 求数列an和bn通项公式 设Cn，求数列Cn前n项和Tn 解：（1）当n1时a1S12，当n2时，anSnSn14n2，故an通项公式为an4n2，即an是a12，d4的等差数列，设bn的公比为q，则b1qdb1，d4， q，故bnb1qn1（2）CnTnC1C2Cn13×45×42（2n1）4n14Tn1×43

4、×425×43（2n3）4nn（2n1）4n两式相减 3Tn Tn例4. 求Sn1!2·2！3·3！n·n！解： ann·n!(n1)!n! Sn(n1)!1!(n1)!1变式训练4.以数列an的任意相邻两项为坐标的点Pn(an、an1)均在一次函数y2xk的图象上，数列bn满足条件：bnan1an，且b10 求证：数列bn为等比数列 设数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若S6T4，S59，求k的值解：由题意，an12ank bnan1an2ankanankbn1an1k2an2k2bn b10， 2 bn是公比为2的等比数列

5、 由知anbnk bnb1·2n1 Tn Sna1a2an(b1b2bn)nk Tnnkb1(2n1)nk 解得：k8归纳小结1求和的基本思想是“转化”其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和2对通项中含有(1)n的数列，求前n项和时，应注意讨论n的奇偶性3倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法，在复习中应给予重视(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和 等差数列：；等比数列： ； 例 已知数列,为等差数列，且 （1） 求数列的通项公式（2） 证明+=练习：

6、（1）已知等差数列an的首项a11，公差d0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二、三、四项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对任意自然数n均有成立求c1c2c3c2003的值（2）已知数列an满足a1a，an1canc+，其中a1，c0(1)求数列an的通项公式；(2)设ac，bnn(1an)，求数列bn的前n项和Sn(2)裂项法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）常用的裂项，； 例 求和：（2）在数列中，又 求数列的前项的和。练习：

7、 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列前项和为 (3)错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an·bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列。 例求数列1，3a，5a2，7a3，(2n1)an-1的前n项和练习：（1）设a为常数，求数列a，2a2，3a3，nan，的前n项和（2）已知，数列是首项为a，公比也为a的等比数列，令，求数列的前项和。(4)分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例：（1）求1+1,的前n项和（2）已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求练习：（1）求和：=1-3+5-7+9-11+（3） 求和： (5)倒序求和：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个 。 等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。 例 设，求和（6）分段求和法求和例已知数列中，是其前项和，且，（1） 求数列的通项公式；（