数学建模比赛论文2010121013

1、2010年湖南大学冬季数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了2010年湖南大学冬季数学建模竞赛。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。参赛队员 (签名) ：队员1：姓名 学院 专业年级队员2：姓名 学院 专业年级 湖南大学数模指导组湖

2、南大学数学建模协会2010年湖南大学冬季数学建模竞赛题目： 沿“海上丝绸之路”飞行 摘 要 该题目通过计算使用现代的交通工具单程航行所需要的时间与古代著名的航船路线所需要的时间相比较，强烈突出了现代科学技术的飞速发展以及对人类生活的重大影响。同时假设（1）与假设（2）分别是两种情况下的的不同运算，体现了数学题目类型的多样化，可以在相同的条件下演变出来多种数学模型，正是体现了数学建模的意义所在。同时，由于本题目是在假设前提条件下进行的模型建立，所以忽略了很多实际情况下的因素，如风速等天气情况对飞行速度的影响，比较符合物理方面的实验特点，在一些实际上并不成立的前提条件下进行问题的解决、假设（1）主

3、要是假设地球是一个平均半径为定值的球体，这样相对于假设（2）地球是一个旋转椭球体而言，在分析问题及寻求解决问题的过程中简化了一些不必要的因素，运算的过程也相对简单一些。因此，对于假设（1）我们首先建立一个球体的模型，将思考问题的方向放在了一个三维的立体空间，正因为三维立体的球体是较为熟悉的模型，所以在解决问题的过程中，思维也相对而言明朗化一些，所以可以利用相关的信息和工具计算出在飞行高度固定的前提下所需要的飞行时间。假设（2）的解决方法是在假设（1）的前提下，建立椭球体的模型，将较为复杂化的空间问题简化，找到有效地解决方法，从而使用与假设（1）类似的计算方法得出飞行时间。最后，将得出两种假设情

4、况下的飞行时间进行比较分析，并通过改变飞机飞行的高度，建立简单直观的线性图表现出飞行时间与飞行高度的关系，达到建立数学模型并解决问题的目的。关键字：假设 空间模型 球体 时间 对比 经度纬度一、 问题的提出瑞典是北欧一个神秘的国度，它位于斯堪的纳维亚半岛，西邻挪威，东北与芬兰接壤, 濒临波罗的海和卡特加特海峡。瑞典人口稀少，国土大部分为森林和山地。中国和瑞典的贸易往来有着悠久的历史。例如当时瑞典著名的一艘远洋商船 “哥德堡号” 在1739年1月至1745年9月短短的几年间就曾三次远航中国广州，购回了大批中国的茶叶、瓷器、丝绸和藤器等，促进了两国经济的发展、文化的接触和交流。“哥德堡号” 当年的

5、航线为：瑞典哥德堡西班牙加迪斯巴西累西腓南非开普敦澳大利亚弗里曼特尔印度尼西亚雅加达中国广州，被人们称为 “海上丝绸之路”。由于当时没有开通苏伊士运河，这条从北欧到中国的海上航线，必须绕道非洲南部，加上当时的远洋商船只能选择顺风航行的路线，因此从瑞典到中国的一次单程就要花费2年多的时间。假如我们现在乘飞机重走 “海上丝绸之路”，沿“哥德堡号” 当年航线经过的各城市直飞。已知目前的飞机飞行高度约为10千米，飞行速度约为850千米/小时。试就下列两种情形建立数学模型，计算一次单程飞行需要的时间， (1) 假设地球是平均半径为6371千米的一个球体；(2) 假设地球是赤道半径为6378千米、极地半径

6、为6357千米、扁率约为1/298的一个旋转椭球体。若飞行高度发生变化，试就上面两种情形讨论飞行时间和飞行高度的关系。二、问题的分析由根据题意得出，飞机是在“哥德堡号”当年经过的各城市间匀速飞行，对于速度、高度均是已知，同时同过选择使用物理学中的公式，可计算并得出路程与时间及速度的关系，因此若通过建立模型得到飞机飞行的全部路程，问题即可解决。在假设（1）中建立的模型是一个球体，该球体是分布在以地心为原点，地轴为Z轴，赤道面为XY平面，0度经线的轴为X轴，0度纬线轴为轴的三维立体空间直角坐标系中，并且建立的这个三维立体空间直角坐标系符合右手螺旋定则。假设（2）中建立的模型是一个旋转椭球体，其三维

7、立体空间直角坐标系的建立与假设（1）中的是相同的，该旋转椭球体是分布在以地心为原点，地轴为Z轴，赤道面为XY平面，0度经线的轴为X轴，0度纬线轴为轴的空间直角坐标系中，同样也是符合右手螺旋定则。二、 模型的假设1、有地球半径的定义可得是指从地球中心到其表面（平均海平面）的距离，所以假设平均海平面的位置没有受到潮汐等自然或地质变化的影响，海平面位置不发生变化。2、 假设飞机飞行过程中没有受到途中经过建筑物或海平面位置变化的影响，飞行高度始终为题目中所提供的定值。3、 忽略飞机飞行过程中天气变化所引起的飞行速度的改变，假设飞行速度始终为题目中所题目的数据。4、 因为在“哥德堡号”航线中，船航行所经

8、过的每一个地点都是需要奸细间歇的，所以飞机在各个间歇点起飞、降落的时间忽略不计。5、 “哥德堡号”航线中各个城市都看做一个点，忽略其地区占地面积对路线计算带来的影响，仅用经纬度值表示其位置。6、 假设（1）中地球是一个规则球体，不受运动过程中所发生变化的影响。7、 假设(2)中地球是一个规则旋转椭球体，同样不受运动过程中发生变化的影响。8、 假设（2）中相关数据与事实相符，忽略其他物质所引起的变化。四、模型的建立所有数学符号代表的含义：S(A,B):城市A,B之间的飞行距离；T(A,B):飞机在城市A,B间飞行的时间；V:飞机飞行速度；R（1）:地球的平均半径；R（2）:地球的赤道半径；R（1

9、）:地球的极地半径；h:飞机飞行的高度；X(A):城市A的X坐标；Y(A):城市A的Y坐标；Z(A):城市A的Z坐标；TT:飞行总所需要的总时间；A(i):第i个城市(i=1,2,3,6,7),依次代表瑞典歌德堡，西班牙加迪斯，巴西累西腓，南非开普敦，澳大利亚福里曼特尔，印度尼西亚雅加达，中国广州；OA*OB:向量OA与向量OB外积；|OA|:向量OA的模；(i,i+1)：第i个城市与地心的连线和第i+1个城市与地心的连线的夹角(单位是弧度)；JD(A):城市A的经度；WD(A):城市A的纬度；H(A):城市A的高度；F(A,B):城市A,B间飞行路线的函数关系；两种假设都适合使用的计算公式：

10、 S=V·T；两种假设的解题思路过程：（1） 通过各城市的经纬度以及高度得出各城市的三维坐标；（2） 通过三维坐标计算出F(A(i),A(i+1)；（3） 通过F(A(i),A(i+1)求出S (A(i),A(i+1)；注：各城市经纬度数据如下：附录：各地点的经纬度瑞典哥德堡：西班牙加迪斯：巴西累西腓：南非开普敦：澳大利亚弗里曼特尔：印度已西亚雅加达：中国广州：五、模型的解法与结果1、在假设（1）中建立的模型是一个球体，该球体是分布在以地心为原点，地轴为Z轴，赤道面为XY平面，0度经线的轴为X轴，0度纬线轴为轴的三维立体空间直角坐标系中，并且建立的这个三维立体空间直角坐标系符合右手螺

11、旋定则。城市经度、纬度和高度与城市的三维坐标的对应关系：X(i)=(R+h)*cos(WD(i)*cos(JD(i); *(*1)Y(i)=(R+h)* cos(WD(i)*sin(JD(i); *(*2)Z(i)=(R+h)*sin(JD(i); *(*3)三维坐标的计算结果及计算机算法如下：计算的代码部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float a,b,c,x,y,z; cin>>a>>b>>c; x=a*cos(b)*cos(c); y

12、=a*cos(b)*sin(c); z=a*sin(b); cout<<" x= "<<x<< " y= "<<y<<" z= "<<z<<endl; system("pause"); return 0; 计算的三维坐标的具体数据：瑞典哥德堡： 西班牙加迪斯： 巴西累西腓：南非开普敦： 澳大利亚弗里奥特尔： 印度尼西亚雅加达：中国广州：路程、速度和时间之间的递推关系：OA*OB=ijkX(i)Y(i)Z(i)X(i+1)Y(i+1)

13、Z(i+1) *（1）sin(i,i+1)=2|OAOB|OA|OB| *(2)S(i,i+1)=(R+h)* (i,i+1) *(3)T(i,i+1)= S(i,i+1)V *(4)计算过程的详细步骤： OA*OB=ijkX(i)Y(i)Z(i)X(i+1)Y(i+1)Z(i+1) =( Y(i)Z(i+1)-Y(i+1)Z(i),Z(i)X(i+1)-Z(i+1)X(i),X(i)Y(i+1)-X(i+1)Y(i)*(5)ð |OA*OB| 2YiZi+1Yi+1Zi2+Z(i)X(i+1)Z(i+1)X(i)2+X(i)Y(i+1)X(i+1)Y(i)2 *(6)ð

14、i,i+1=sin12|OAOB|OA|OB| *(7)计算过程的代码部分：瑞典歌德堡到西班牙加迪斯：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(

15、cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"瑞典哥德堡和西班牙加迪斯之间的线段距离是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"瑞典哥德堡与地心的连线和西班牙加迪斯与地心的连线

16、的夹角是= "<<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"瑞典哥德堡和西班牙加迪斯之间时间是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause"); return 0; 西班牙加迪斯到巴西累西腓部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; fl

17、oat a1,b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"西班牙加迪斯和巴西累西腓之间的线段距离是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(

18、b1*c2-b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"巴西累西腓与地心的连线和西班牙加迪斯与地心的连线的夹角是= "<<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"西班牙加迪斯和巴西累西腓之间时间是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause&qu

19、ot;); return 0; 巴西累西腓到南非开普敦部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1)

20、; a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"巴西累西腓和南非开普敦之间的线段距离是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"巴西累西腓与地心的连线和南非开普敦与地心的连线的夹角是= "<<asi

21、n(hh) <<"°"<<endl; cout<<"巴西累西腓和南非开普敦之间时间是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause"); return 0; 南非开普敦到澳大利亚里弗奥特尔部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,b1,c1,a2,b2,c2

22、; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"南非开普敦到澳大利亚里弗奥特尔之间的线段距离是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-b2*c1)+(a2*c

23、1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"南非开普敦与地心的连线和澳大利亚弗里曼特尔与地心的连线的夹角是= "<<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"南非开普敦到澳大利亚里弗奥特尔之间时间是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause"); return

24、 0; 澳大利亚弗里曼特尔到印度尼西亚雅加达部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=

25、aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"澳大利亚弗里曼特尔到印度尼西亚雅加达之间的线段距离是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"澳大利亚弗里曼特尔与地心的连线和印度尼西亚雅加达与地心的连线的夹角是= "&l

26、t;<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"澳大利亚弗里曼特尔到印度尼西亚雅加达之间时间是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause"); return 0; 印度尼西亚雅加达到中国广州部分：#include<iostream> #include<cmath>using namespace std;main() float aa1,bb1,cc1,aa2,bb2,cc2,hh; float a1,

27、b1,c1,a2,b2,c2; cin>>aa1>>bb1>>cc1>>aa2>>bb2>>cc2; a1=aa1*cos(bb1)*cos(cc1); b1=aa1*cos(bb1)*sin(cc1); c1=aa1*sin(bb1); a2=aa2*cos(bb2)*cos(cc2); b2=aa2*cos(bb2)*sin(cc2); c2=aa2*sin(bb2); cout<<"印度尼西亚雅加达和中国广州之间的线段距离是= "hh=sqrt(b1*c2-b2*c1)*(b1*c2-

28、b2*c1)+(a2*c1-a1*c2)*(a2*c1-a1*c2)+(a1*b2-a2*b1)*(a1*b2-a2*b1)/(6381*6381); cout<<hh; cout<<"印度尼西亚雅加达与地心的连线和中国广州与地心的连线的夹角是= "<<asin(hh) <<"°"<<endl; cout<<"印度尼西亚雅加达和中国广州之间时间是= "<<6381*asin(hh)/850; system("pause")

29、; return 0; ð TT= 16T(i,i+1)；2、假设（2）中建立的模型是一个旋转椭球体，其三维立体空间直角坐标系的建立与假设（1）中的是相同的，该旋转椭球体是分布在以地心为原点，地轴为Z轴，赤道面为XY平面，0度经线的轴为X轴，0度纬线轴为轴的空间直角坐标系中，同样也是符合右手螺旋定则。六、结果的检验与分析 将通过建立数学模型计算得出的两种假设情况下的数据对比，得出飞行时间与飞行高度之间的关系误相似性较大，在允许误差范围内，可以近似认为是符合两者之间的关系，所以可以检验出建立的数学模型的正确性，同时也证明了在分析问题和解决问题的过程中所使用的方法是正确的，在相似的数学模型中可以采用相同的解题思