数列的极限教学设计

1、第三节 数列的极限 西北师范大学数学与统计学院 汪媛媛引言：极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法-割圆术, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在庄子.天下篇一书中对“截丈问题”，有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想. 极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义.分布图示 极限概念的

2、引入 数列的定义 数列的极限 数列极限的严格定义 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 收敛数列的有界性 极限的唯一性 例9 子数列的收敛性 内容小结 课堂练习 习题 1-3 返回教学目的：1理解极限的概念，了解极限的定义；2会用极限的严格定义证明极限.；3了解极限的性质； 教学重难点：理解掌握数列极限的概念内容要点一、数列的定义极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为；再作内接正十二边形，其面积记为；再作内接正二十四边形

3、，其面积记为；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正边形的面积记为。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：它们构成一列有次序的数。当越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以作为圆面积的近似值也越精确。但是无论取得如何大，只要取定了，终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为，读作趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）当时的极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题

4、中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。先说明数列的概念。如果按照某一法则，有第一个数，第二个数，这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数有一个确定的数，那么，这列有次序的数就叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，第项叫做数列的一般项。例如：都是数列的例子，它们的一般项依次为。以后，数列也简记为数列。注：打印错误：L等为省略号。二、数列的极限如果数列，当无限增大时，数列的取值能无限接近常数，我们就称是当时的极限，记作它的解析1定义：如果数列与常数有下列关系：对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得对于时的一切，不等式都成立，则称常数

5、是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或 。如果数列没有极限，就说数列是发散的。显然论证法，其论证步骤为：（1）对于任意给定的正数, 令 ；（2）由上式开始分析倒推, 推出 ；（3）取 ，再用语言顺述结论.下面我们将学习数列极限的性质：三、极限的唯一性性质1（极限的唯一性） 数列不能收敛于两个不同的极限。四、收敛数列的有界性性质2（收敛数列的有界性） 如果数列收敛，那么数列一定有界。五、子数列的收敛性性质3（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列收敛于，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是。例题选讲例1 (E01)下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出其收敛于何值.(1); (2); (3);

6、(4).解 (1)数列即为易见,当无限增大时, 也无限增大, 故该数列是发散的;(2)数列即为易见,当无限增大时,无限接近于0, 故该数列是收敛于0;(3)数列即为易见,当无限增大时, 无休止地反复取1、-1两个数,而不会接近于任何一个确定的常数,故该数列是发散的;(4)数列即为易见,当无限增大时, 无限接近于1, 故该数列是收敛于1.例2 (E02) 证明证 由，故对任给要使只要即所以，若取则当时，就有 即 例3 设(为常数)，证明证 因对任给对于一切自然数恒有所以， 即：常数列的极限等于同一常数.注：用定义证数列极限存在时，关键是：对任意给定的寻找但不必要求最小的例4 证明其中证 任给若则若欲使必须即故对任给若取则当时，就有从而证得例5 设且求证证 任给由 要使即要对当时，从而当时，恒有故例6 用数列极限定义证明 证 由于只要解得因此，对任给的取则时， 成立，即 例7 (E03) 用数列极限定义证明 证 由于，要使只要即因此，对任给的取当时，有即 例8 (E04) 证明：若则存在正整数当时，不等式成立. 证 因由数列极限的定义知，对任给的存在当时，恒有由于故时，恒有从而有由此可见，只要取则当时，恒有 . 证毕.例9 (E05) 证明数列是发散的证 设