控制系统的稳定性分析课程设计

1、 一 稳定性是系统的能在实际中应用的首要条件。因此，如何分析系统的稳定性并找出保证系统稳定的措施，便成为自动控制理论的一个重要的任务。在常见的线性系统的稳定性，都是取决于控制系统本身的机构和参数，而与其输入无关。自动控制理论经过不断地发展，判断其稳定性已经有了很多方法，较常用的有求其闭环传递函数的特征根，根轨迹法，Nyquist曲线，伯德图等方法。线性系统稳定性的条件是其特征根具有负实部，在实际的工程系统中，为避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，即看其特征根是否全部分布在负实部，并以此来判断系统的稳定性，由此而形成一系列的稳定性判据，而且这些方法都已经经过了数学的证明，是完全有相

2、关的理论根据来支持的，因此大大提高了系统稳定性判断的灵活性。 随着计算机技术的发展，将计算机技术引入到自动控制理论中，在提高判断速度，减少人为的计算等的同时，也将自动控制理论的发展推到一定的高度。在MATLAB未产生之前，由于自动控制系统的复杂性，判断稳定性的计算量非常的大，而采用MATLAB之后，系统的稳定性分析就变得很简单，同时采用MATLAB还可以对复杂的控制系统进一步进行分析和设计。二 控制系统的稳定性分析1、控制系统稳定性定义控制系统稳定性的定义有很多种，比较典型的说法有两种：1) 由俄罗斯学者李雅普诺夫首先提出的平衡状态稳定性。2) 系统的运动稳定性 对于线性控制系统而言，这两种说

3、法是等价的。根据李雅普诺夫稳定性理论，线性控制系统的稳定性可以定义如下： 若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移而逐渐衰减并趋于零则称该系统为渐进稳定，简称为稳定；若反之，在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称为系统不稳定。有上述稳定性的定义可知，线性系统稳定性的充要条件是：闭环系统的特征方程的根都具有负实部，或者说闭环传递函数的极点均位于左半S开平面。2、系统稳定性分析方法 在经典控制理论中，常用时域分析法、复域分析法或者频域分析法来分析控制系统的稳定性。不过不同的方法使用的范围不同，在不同的条件下，选取合适的方法能够取到事半功倍的功效。通过控制原理的学

4、习，加上查阅的相关资料，先将分析系统稳定性的方法梳理一下，然后选取适当的方法，来判定给予的单位负反馈系统在K取值时系统的稳定性。这道题选用根轨迹方法来求。在经典控制系统的设计与分析中，我们常以稳定性、快速性性和准确性来衡量系统的性能，而系统的稳定性是系统运行的先决条件，是系统时域分析、稳态误差分析、根轨迹分析与频率分析的前提。在经典控制理论中，线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的所有根均具有负实部；或者说，闭环传递函数的极点均严格位于左半S平面。对于低阶系统而言，可以简单地对其特征方程进行因式分解而求出其特征根。但对三阶或三阶以上的高阶系统，直接求方程的根比较困难。并且在很多情况下

5、，常常只需了解系统是否稳定，而对特征根的确切数值不感兴趣。因此，在控制工程中，需要一种间接判定系统特征根分布的方法。在经典控制理论中，常用代数判据、时域分析法、根轨迹法和频域分析法来判定控制系统的稳定性。在对经典控制系统进行稳定性判定时，MATLAB提供了大量的数学计算以及图形绘制的函数，从而使经典控制系统稳定性的判定变得简单。(1)、时域分析法时域分析法是一种直接分析法，也是一种比较准确的方法。对于那些较易得到系统闭环传递函数的场合，此方法是比较适合的。时域分析法是以拉普拉斯变换为工具，从传递函数出发，直接在时间域上研究自动控制系统性能的一种方法。这种方法的优点是对系统分析的结果直接而全面，

6、缺点是分析过程的计算量较大，尤其是对高阶系统。一般情况下，系统分析结果所提供的信息对下一步如何改造、综合系统是不够的。计算机仿真技术的发展，尤其是MATLABSimulink的广泛应用，正好弥补了这一不足。时域分析，尤其是高阶系统的时域分析，其困难主要在系统极点、留数的获取上，以及在已知响应表达式的基础上，如何绘制响应波形和求取性能指标等一系列问题。这些均涉及大量的数值计算，MATLABSimulink的仿真平台为此提供了强有力的工具。时域响应分析的是系统对输入和扰动在时域内的瞬态行为。系统特征、如上升时间、调节时间、超调量和稳态误差，均能从时间响应上反映出来。MATLAB提供了对系统阶跃响应

7、(step()函数)、冲激响应(impulse()函数)等进行仿真的函数及大量对控制系统进行时域分析的函数(covar、initial、Isim) (2)、频域分析法控制系统的频率特性反应的是系统对正弦输入信号的响应性能。频域分析法是一种图解分析法，它依据系统频率特性对系统的性能(如稳定性、快速性和准确性)进行分析。频率特性是控制系统和的一种数学模型，可用三种图形对频率特性进行描述，即幅相频率特性曲线(又称极坐标或Nyquist曲线)，对数频率特性同线(又称Bode图)、对数幅相频率特性曲线(2Z称Nichols曲线)。对数幅相图也称Nichols图，它是将对数幅频特性和相频特性两张图在角频率

8、为参变量的情况下合成为一张图，Bode图由对应对数幅频特性和对应对数相频特性的两张图组成，为了使系统满足一定的稳态和动态要求，对开环对数幅频特性和形状有如下要求：低频段要有一定的高度和斜率；中频段的斜率最好为一20dBdee，且具有足够的宽度；高频段采用迅速衰减的特性，以抵制不必要的高频干扰，Nichols图通常与等M 圆(等幅值圆)和等N圆(等相角圆)一起使用，从开环频率特性获得闭环频率特性。最小相位系统的幅频相频特性之间存在惟一的对应关系，利用Nyquist稳定判据，可由开环频率特性判别闭环系统的稳定性，用相角裕度和幅值裕度来反映系统的相对稳定性。利用等M 圆和N圆，可由开环频率特性判别闭

9、环频率特性，进而定性或定量地对系统时域响应进行分析。MATLAB提供了绘制系统Bode图的函数bode()、绘制系统的Nichols图的函数nichlos()、绘制系统的极坐标图的函数nyquist()。MATLAB还提供了用于计算系统稳定裕度的函数margin以及绘制等M 圆和等N圆的函数ngrid()。ngrid()对于用nichlos函数绘制的Nichols曲线，绘制的相应的等M 圆和等N圆，均为虚线圆，并提供有关的对数幅值和相位值。频域分析法是应用频率特性研究自动控制系统的一种经典方法。当系统的开环传递函数表达式不知道时，就无法应用代数判据或根轨迹法判断闭环系统的稳定性，此时应用频率稳

10、定判据就非常方便。(3)根轨迹分析法由开环传递函数来直接寻求闭环特征根的轨迹的总体规律，而无需求解高阶系统的特征根。这在工程实践中获得了广泛的应用，这就是根轨迹法。根轨迹法用图解的方法来表示特征方程的根与系统的某个参数(通常是回路增益)之间的全部数值关系，该参数的某个特定值所对应的根显然位于上述关系图上。当改变增益或增加开环零极点时，可以利用根轨迹法预测其对闭环极点位置的影响。因此，掌握根轨迹的画法将非常有用，包括手工和计算机辅助画法，他们是分析和设计系统的基础。当今，在计算机上绘制根轨迹已经是很容易的事，尤其使用MATLAB来绘制根轨迹。计算机绘制根轨迹大多采用直接求解特征方程的方法，也就是

11、没改变一次增益K就求解一次特征方程。让K从零开始等间隔增加，只要K的取值足够多、足够密，相应解特征方程的根就在S平面上绘制根轨迹。MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数，因此可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性进行判断。在MATLAB中，采用函数pzmap()绘制系统零极点，通过输入“rlocus(GH)”可得根轨迹图，它描述了开环增益K从0到正无穷变化时，闭环极点在复s平面内的变化情况，即系统GH的180。根轨迹。MATLAB会计算出根轨迹的n条分支，并以其选定的实轴和虚轴绘制图形。在计算结果和零极点分布图中，我们可以利用线性系统稳定的充分必要条件直观地判定一个系统是否稳定。值

12、得注意的是，绘制根轨迹时，应令s平面实轴和虚轴的比例尺相同，只有这样才能正确反映S平面上坐标位置和想叫的关系，在MATLAB中，通过“axis equal”命令使实轴和虚轴的比例尺保持相同。在画出根轨迹后，可交互的利用rlocfind命令来确定用户鼠标所点之根轨迹上任意点对应的K值，K值所对应的所有闭环极点值也可以利用形如EK，poles一rlocfind(GH)的命令来显示。 三用根轨迹法对下面系统稳定性进行MATLAB计算表现一个单位负反馈系统开环传递函数 （1） 试在系统闭环的根轨迹图上选择一点，求出该点的增益k及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性（2） 试计算当k=33

13、37范围内时系统的闭环极点位置，并判断系统闭环的稳定性开环传递函数：是在闭环系统中中： 假设系统单输入R（s);单输出C(s),前向通道传递函数G（s),反馈为负反馈H(s)：那么“人为”地断开系统的主反馈通路，将前向通道传递函数与反馈通路传递函数相乘，即得系统的开环传递函数。（1） 开环有四个极点：p1=-5，p2=-6,p3=-1+j,p4=-1-j所以用matlab计算如下：numden 获取最小公分母和相应的分子表达式 ,用以表达本题的分子分母，conv 多项式乘、卷积, tf 创建传递函数对象, title为图的名称，xlabel和ylabel分别是x轴和y轴的名，函数rlocfin

14、d( )的一种调用格式为：k,poles=rlocfind(sys)这是一条带鼠标操作的函数命令，输入参数为sys。当选择根轨迹上某一点时，其相应的增益由变量K记录，与此增益相关的所有极点记录在ploes中，从显示所有极点的数值，就可判断系统的稳定性。所以由MATLAB软件计算得到根轨迹图形。这个2.81400.0621i就是在根轨迹上选择的点，该点的增益K=152.5349，该程序程序的操作方法是：在MATLAB命令窗口里输入文件名回车后，在根轨迹窗口上有纵横两条坐标线，其交点随鼠标而移动。将交点指在根轨迹负实轴上某一点时，其相应的增益有变量K记录，与增益相关的所有极点记录在变量POLES中

15、。由计算数据可知，系统全部闭环极点的实部都为负值，所以在该点k=152.5349闭环系统是稳定的。需要说明，只要交点指在根轨迹负实轴上的任一位置，系统全部闭环极点的实部都为负值，也就是闭环系统是稳定的。(2) 试计算当k=3337范围内时系统的闭环极点位置，并判断系统闭环的稳定性该程序执行后可得单位负反馈系统在k=33至37范围内闭环极点位置上的数据：有闭环极点位置的数据可以看出：k=33至37内系统处于稳定状态。 K=33时极点为-7.4245,-3.7359,-0.9198+2.2105i,以及-0.9198-2.2105i，当k=34时，极点为-7.4497，-3.7206，-0.9148+2.2378i，-0.