微分法在几何上的应用

1、第六节 微分法在几何上的应用要求：会求空间曲线的切线及法平面方程，会求空间曲面的且平面及法线方程。重点：空间曲线的切线及法平面方程，曲面切平面及法线方程的求法。难点：空间曲线的方程组形式给出的情况，求其切线及法平面方程。作业：习题86（）一空间曲线的切线与法平面1空间曲线由参数方程给出设空间曲线的参数方程为，且三个函数均可导 当时，对应曲线上的点，当时，对应曲线上的点，曲线的割线的方程为 当沿曲线趋于时，割线的极限位置就是曲线在点处的切线，其切线方程如何？ 令(这时)，上式取极限，即得曲线在点处切线方程为 说明（1）不能同时为零，如果个别为零，按空间解析几何中有关直线对称式方程的说明理解；（2

2、）切线的方向向量称曲线切向量切向量的方向余弦为 ， 曲线的法平面通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面，方程为例1求螺旋线，对应于处的切线和法平面方程解 曲线上对应于的点，即 ，切向量，因此切线方程为 ，法平面方程为 切向量的方向余弦为 可见曲线的切线与轴的夹角(母线的夹角)为定值2空间曲线的方程由，给出取为参数，它就可表示为参数方程的形式， 若在处可导，曲线在点处的切向量 ，切线方程 法平面方程 例2求曲线，在点处的切线及法平面方程解 因为 ， ，所以切向量 ，切线方程 ，法平面方程 3空间曲线的方程由给出设是曲线上的一点，又设对各变量的偏导数连续，且，此时方程组在点的某邻域内唯一确

3、定一组函数，求曲线在点处的切线方程及法平面方程只要求出，得切向量，为此方程， 两边对求全导数得 因为所以可解得 ， ，于是切向量 例3求曲线在点处的切线及法平面方程 解 下面我们依照推导公式的方法来解，将所给方程两边对求导，得 解方程组，得 ，于是 ，从而 因此，所求切线方程 ，即法平面方程为 ， 即 练习：求曲线在对应于的点处的切线及法平面方程二曲面的切平面与法线1曲面方程由隐式方程给出设曲面方程为，点为曲面上的一点，又设函数的偏导数在点连续且不同时为零讨论曲面在点处的切平面，那么曲面在点处切平面指什么？为此首先考虑这样一个事实：在曲面上过点的任何曲线在的切线位于同一平面上，下面证明这个事实

4、在曲面上过点任意引一条曲线，其参数方程为，且不全为零，由于曲线位于曲面上，满足，又因为在点处有连续偏导数，且存在，上式的复合函数在的全导数存在，于是即 引入向量.上式表明，曲线在点处的切线向量与一个确定向量垂直因为曲线是曲面上过点的任一条曲线，它们在的切线都与同一个向量垂直，所以曲面上过点的一切曲线在点的切线都在同一个平面上，这个平面称为曲面在点的切平面，切平面方程为，曲面在点的切平面的法向量简称为曲面的法向量过点且垂直于切平面的直线称为曲面在点的法线，其方程为 例4求曲面在点处的切平面方程及法线方程 解 令，则 ，即有，在点处切平面方程为 ， 即 法线方程为 ，即2曲面方程由显式方程给出求曲

5、面在点处切平面及法线方程令，可见，则曲面在点处法向量为，于是切平面方程为 ，法线方程为 说明 （1）函数在点的全微分为，因此切平面方程表示全微分的几何意义，即曲面在点处切平面上点的竖坐标的增量（正象一元函数表切线的纵坐标增量） i ，（2）若曲面的切平面的法向量的方向角为，并假定向量的方向是向上的(即使得它与轴的正向所成的角是锐角)，则法向量的方向余弦如何求？ 若曲面方程为，则 ，若曲面方程为，则 ，增量例5.求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程解 因为，所以 ，即有 ，于是过点的切平面方程为 ， 即法线方程为 例6.求椭球面上平行于平面的切平面方程解 因为切平面的法向量为，而平面法向量为 又因为，所以，将代入方程中，得 从中解出于是， 所求点为 及，切平面方程为 ，或 ，即 .例7.设曲面方程，求曲面上任一点处切平面方程，并证明曲面的所有切平面与坐标面形成的四面体的体积为定值. 解 设，则，所以在点的切平面方程为 即 将其化为截距式 截距