数制编码及逻辑代数二新版资料doc

1、17.3.4 复杂逻辑关系(1) “与非”逻辑与和非的复合逻辑称为与非逻辑,它可以看成与逻辑后面加了一个非逻辑,实现与非逻辑的电路称为与非门 (2)或非逻辑或和非的复合逻辑称为或非逻辑,可以看成或逻辑后面加了一个非逻辑,实现或非逻辑的电路或非门 (3)与或非逻辑是三种基本逻辑的组合,也可看成是与逻辑与或非逻辑的组合 (4) 异或逻辑异或逻辑是指当两个输入逻辑变量取值相同时,输出为0,不同(相异)时输出为1实现异或逻辑的电路称为异或门 (5)同或逻辑同或逻辑又称为异或非逻辑,是指当两个输入逻辑变量取值相同时,输出为1,不同时输出为0实现同或逻辑的电路称为同或门(或称为异或非门) 17.4 逻辑函

2、数表示17.4.1 逻辑代数逻辑代数的基本公式定律和规则 (1)基本公式 逻辑代数的基本公式和定律列下表 逻辑代数的基本公式和定律名称公 式0-1律0·0=0 0+0=0 0·1=0 0+1=1 1·1=1 1+1=1 0·A=0 0+A=A1·A=A 1+A=1重叠律(自等律)A·A=AA+A=A互补律 还原律交换律A·B=B·A A+B=B+A结合律(A·B )·C=A·(B·C) (A+B )+C=A+(B+C)分配律A·(B +C)=AB+AC A+B C=

3、(A+B)(A+C)反演律(德·摩根定理)吸收律A+AB=A A(A+B)=A (A+B)(A+C)=A+BC表中各式,0-1律重叠律互补律还原律,按与或非三种基本逻辑运算的含义不难理解,也无须证明而交换律结合律分配律反演律和吸收律各式可用真值表证明摩根定理适用于任何两变量以上的多变量函数 表 证明两变量的摩根定理的真值表A B0 00 11 01 11000100011101110由表可见 (2)关于等式的若干规则1)代入规则将等式两边出现的同一变量都以一个相同的逻辑函数代之,则等式仍成立,这个规则称为代入规则 利用代入规则可以扩大等式的应用范围,很多基本公式都可以由两变量或三变量

4、推广为多变量的形式例如,摩根定理的两变量形式为 及,利用代入法则,将前式“B”的位置以(B·C)代入,后式 “B”的位置以(B+C)代入就可得到表中三变量形式的摩根定理从而,摩根定理得到了扩展2)反演规则对于一个逻辑式Z,如果把其中所有的“·”换成“+”,“+”换成“·”,0换成1,1换成0,原变量换成反变量反变量换成原变量,那么得到的函数式就是,这个规则叫做反演规则它为求一个函数的反函数提供了方便在使用反演规则时需要注意两点:必须遵守“先括号然后乘最后加”的顺序不属于单个变量上反号应保留不变3) 对偶规则对于任何一个逻辑式Z,如果把其中所有的“·”换成

5、“+”,“+”换成“·”,0换成1,1换成0,则得到一个新的函数式,这就是函数Z的对偶式,记作可以证明,若两个逻辑式相等,则它们的对偶式也相等,这就是对偶规则运用对偶规则可以使人们要证明的公式大大减少假如要求证和是否相等,则只需证明其对偶式是否相等例如,分配律为A(B+C)=AB+AC,求这一个公式两边的对偶式,则有分配律A+BC=(A+B)(B+C)成立如果已证明前式成立,那么后式就不必再证明了,它一定成立17.4.2 逻辑函数的代数法化简化简的意义:将逻辑函数化成最简形式便于在用电路实现时节省器件(1)逻辑函数式最简的标准逻辑函数式有多种形式,如与或式,或与式,与非与非式,或非或

6、非式等等Y=AB+A'C与或式=(AB+A'C)')'=(AB)'(A'C)')'与非与非式两次取反=(AB+A'C)')'=(A'+B')(A+C')'=(AB'+A'C'+B'C')'=(AB'+A'C')'=(A'+B)(A+C)或与式=(A'+B)(A+C)')'=(A'+B)'+(A+C)')'或非或非式两次取反=(AB&#

7、39;+A'C')'与或非式与或式使用最多,因此我们只讨论与或式的最简标准1.包含的与项最少;2.在满足1项的前提下,每个与项包含的变量个数最少(2)化简方法我们通过一些例子说明如何应用这些公式进行化简1)并项法:A+A'=12)吸收法:A+AB=AY=AB+A(C+D)B=AB 3)消因子法:A+A'B=A+BY=AC+A'D+C'D=AC+(AC)'D=AC+D4)消项法:AB+A'C+BC=AB+AC'Y=AC+AD'+(C+D)'=AC+AD'+C'D'=AC+C&#

8、39;D'5)配项法:A=A+A 1=A+A' AB+A'C =AB+AC'+BCY1=A'BC'+A'BC+ABC=A'BC'+A'BC+A'BC+ABC=A'B+BCY2=AB'+A'B+BC'+B'C=AB'+A'B+BC'+B'C+AC'=A'B+B'C +AC'或Y2= AB'+A'B+BC'+B'C=AB'+A'B+BC'+B'C

9、+A'C=AB'+BC'+A'C卡诺图化简法1. 卡诺图的构成形状:二变量卡诺图有22=4个小方格;三变量卡诺图有23=8个小方格;四变量卡诺图有24=16个小方格;一般4个小方格和16个小方格的卡诺图组成正方形;8个小方格的卡诺图组成长方形(当然,也有五变量和六变量的卡诺图,它们有不同的设计方法) 坐标轴:也有横轴和纵轴与普通代数中的平面直角坐标轴的称呼不太相同下面的方法把坐标轴和变量联系起来记忆,可以方便学习二变量(A,B)卡诺图的横轴称为A横轴,纵轴称为B纵轴;三变量(A,B,C)卡诺图的横轴称为AB横轴,纵轴称为C纵轴;四变量(A,B,C,D)卡诺图的横

10、轴称为AB横轴,纵轴称为CD纵轴坐标:横坐标从左到右,纵坐标从上到下都按升序当坐标轴为一个变量时,升序为0,1如A横轴,对应坐标为,A余类推当坐标轴为二个变量时,升序为00,01,11,10(注意:这种升序是二进制数00,01,10,11对应的格雷码), 如AB横轴,对应坐标为,B,AB,A余类推当坐标轴为三个变量时,升序为000,001,011,010,110,111,101,100(注意:这种升序是二进制数000,001,010,011,100,101,110,111对应的格雷码)卡诺图中小方格的内容:每一个小方格代表一个最小项如同平面直角坐标系一样,平面上的每一个点的坐标是先横后列例如四

11、变量的卡诺图中,最小项m5对应的AB横轴坐标为01(即为B),CD纵轴坐标为01(即为D),故m5=BD2. 逻辑函数在卡诺图上的表示若逻辑函数表达式是“最小项之和”的形式,如F(A,B,C)=m(2,3,6,7)= m2+m3+ m6+ m7,则在直接在三变量卡诺图中对应m2m3m6m7的小方格内填1,其余方格填0填1的方格称为1方格,填0的方格称为0方格一般不填0方格,以求图象清淅若逻辑函数是“与-或” 表达式,如F(A,B,C)= C+B +AC +BC在三变量卡诺图中,填C时,因只有一个横坐标,故应先在AB横轴上找出开始为0的坐标 (这个0对应着):00和01的两列,然后在C纵轴上找出坐标为1的一列,这样就在卡诺图中找到了001和011的两个1方格相当于C+BC=C填B时,因只有横坐标,无纵坐标,故在AB横轴上找出坐标01后,在这一列的所有两个小方格内填1(即两个1方格)相当于BC+B=B填BC时,因只有一个横坐标B,故应先在AB横轴上找出第二个坐标为1的坐标 (这个1对应着B)的11和01的两列,然后在C纵轴上找出坐标为1的一列,