微积分学中的微元分析法

1、微积分学中的微元分析法王凤鸣1，2 李世纪2（1. 南阳师范学院 数学与统计学院，河南 南阳 473061； 2. 河南财经学院 成功学院，河南 郑州 451200）摘要：微元分析法早在微积分学的严密理论建立之前就已经在几何学、力学、运动学、天文学等领域广泛应用.这些应用在解决实际问题，给出很多精彩结果的同时，引导人们认识了微分与积分的互逆关系，从而导致了微积分基本定理的建立.学会微元分析法对掌握微积分的理论和应用十分重要，本文详细分析讨论微元分析法的应用条件和方法.关键词：微积分、微元分析法、相关性、可加性.中图分类号：O 172.1 文献标识码：A 文章编号：1671 - 6132（200

2、7）09 - 0019 03微积分是人类文明发展史上理性智慧的精华，早在二百多年前，微积分已经成为自然科学和工程技术中不可缺少的工具.历史发展到今天，微积分学的应用帮助社会学、心理学、商学和经济学等许多领域取得巨大的进步，这其中最重要的事情就是微元分析法帮助我们建立了各种纷繁复杂的实际问题的数学模型.微分方程（这里表示时间变量，是某个时间序列量，是比例常数）不是一个非常精彩的例子吗！它如此简明，但大到一定条件下各种生物种群的生衰变化，小到物体冷却、放射性物质的裂变等动态过程都可以用这个模型来刻划.现行的“高等数学”（微积分）课程都是在定积分应用中作为定积分概念的简化介绍微元分析法的.即用定积分

3、求某个总量时，先求出总量的微分（相当于写出），再计算定积分（相当于计算）上面第一步是问题的关键，这时要选定一个和相关的变量（就是积分变量），建立一个对的无限细分方式，在用于刻划这个细分的“”段上以直代曲，以均匀代不均匀，用初等规则计算的微元.当然实施定积分计算，要求总量在积分变量的变化区间上具有可加性.就是说，如果把区间分成若干个部分区间，则相对应地分成若干部分量，而等于所有部分量之和.选择与总量相关的变量，建立对的分划方法是非常灵活的，这一步做得恰当，会把问题解决得很简明，看下面的例子.图一我们考查（图一）曲边梯形（）绕轴旋转一周所得旋转体的体积.选取作积分变量（所求体积显然与变量相关），用

4、同轴（轴）的圆柱面簇划分这个旋转体，在旋转半径为与（）的两个圆柱面之间得到体积微元 由此得到（图一）曲边梯形绕轴旋转一周所得旋转体的体积公式 .例1. 计算由正弦曲线与轴围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.图二解：如图二，利用上面公式，所求体积例2. 计算由摆线，的一拱，直线所围成的图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积 .解：如图三，对上面公式作换元积分有图三再作换元，令，利用奇偶性有 上面分划旋转体体积的方法称为“柱壳法”，这比通常教科书上的切片划分来得简单.例1、例2都是同济大学“高等数学”教材上的例题，读者不妨自己做个比较.关于“可加性”的要求，我们给出下面例子对比“可加”和“不可加”

5、，以加深对“可加性”条件的理解.图 四例3. 设长为的均匀细杆，质量为；另有一质量为的质点位于细杆的中垂线上，与杆的距离为.计算细杆对质点的引力.解：建立如图四坐标系，均匀细杆在上的质量为，由万有引力公式得到引力微元 （为引力常数）这里在对细杆分划的不同段落上的方向是不同的，所以引力微元集不具有可加性，从而不能对它积分求引力.在轴、轴方向上的分量分别为这里微元集分别是轴、轴方向上的同向平行力，它们各自是可加的，从而作换元 有 事实上，微元分析法凝聚了微积分的基本思想，早在柯西给出极限的精确定义，随后数学家们建立了严密的分析理论之前，运用微元分析法贝努里、惠更斯解决了悬链线问题，牛顿、莱布尼茨解

6、决了最速降线问题，并引导人们认识了微分与积分的互逆关系，从而导致了微积分基本定理的建立.图 五前面已经说过，微元分析法能帮助我们建立实际问题的数学模型，作为欣赏，我们给出下面的例子. 把旋轮线如图五放在坐标系中，这时其参数方程为 设质量为的小球在、两点间沿旋轮线作无摩擦摆动，我们计算小球的摆动周期.旋轮线的弧微元 （）设小球的初始位置点对应参数，则点对应参数 .再设小球时刻位于点，其线速度为，由能量守恒定律有于是由此，旋轮线弧微元就是小球在时间内的路程 （）由（）、（）两式就有积分上式即得摆动周期 这个结果告诉我们，小球摆动周期与小球初始位置无关，正是由于这个性质，旋轮线又称摆线.上面过程中涉

7、及三个微元：弧长微元、参数微元、时间微元.与的关系实质上是对曲线弧细分后在局部以直代曲，对弧微分三角形运用勾股定理 ；与的关系（）则是以均速代替非均速.于是通过建立了、间的数量关系.品味上面的分析方法，再对比单摆周期公式（，为摆长），这个例子的过程和结果都是很美的！最后我们再用微元分析法计算一个二重积分.计算，其中是闭区域.（图六）解：用等值线划分积分区域.于是夹在直线与间的面积微元（矩形） 再以定值代替被积函数（变值），于是 归根结底，微积分是一种思想，微元分析是这个思想的灵魂.讲授“微积分”决不能只关注那些微分、积分公式和计算技巧，更重要的是引导学生建立起宏观与微观的辩证思维，学会应用微元分析法描述