中学三角解题系统概括

1、中学三角解题系统概括封开县封川中学黎泽眉摘要：理解三角公式的内在关系，把握解题中的探求思路和转换策略，以及运用一些常用的变换技巧，是解决所有三角问题的根本.笔者系统地概括了三角解题的一般要求、转换策略及一般方法技巧.关键词： 三角解题；转换策略；系统概括中学三角函数的题型一般包括求值化简、求证恒等式及不等式，这些问题变化繁多，各有特点，是历年高考试题中出现频率较高的题类之一.实践表明，解决这类问题仅靠机械套用是不可取的.我们需要的是：理解三角公式的内在关系，把握解题中的探求思路和转换策略，运用一些常用的变换技巧.这是解决所有三角问题的根本所在.下面从三个方面予以概括.1 三角公式的内在关系三角

2、公式变化繁多，这为命题的编制和解题思维提供了广阔的空间，但也使学生在解题变换中，难以把握变化方向，使得三角变换成为高中数学的教学难点之一.我们从公式间的联系、理解和功能方面来研究难点的突破.1.1 把握公式间的内在联系要掌握众多的公式，应该在推导基础上从公式的内在联系上去理解和把握.同角三角函数间关系及诱导公式都是由定义推导出来的，和角的余弦公式是以解析方法导出的，以此为基础，以角的设置为主线，推导出一系列公式，形成一个公式结构体（见图1）. 图1 三角公式结构1.2 准确地理解三角公式准确地理解是灵活运用的基础，含3个方面.（1） 公式中角的范围.作为恒等式，角的取值范围是定义内的所有值.如

3、中角是任意的.公式对，（）都成立.（2） 公式中角的“和、差、倍、半”的相对性.两角的“和、差、倍、半”都是相对而言的.如是与的差.是是的半角.（3） 公式的灵活性.公式不仅可顺用，还可逆用和变用，如的变形以及的变形、，在解题中都经常用到.1.3 熟悉三角公式的功能熟悉每组公式的功能，才能合理地选择变形指向，可按不同的功能将公式分类（见表2）.图2 三角公式功能分类上述分类并不是绝对的，因为一种变换常伴随着其他变换发生变化.如“倍角公式”中角的“升倍”与“减半”伴随着函数的升次与降次，万能公式中角伴随着函数名的变化等.1.4 三角公式的选用三角公式间一般有3种差异，即角的差异、函数名的差异，运

4、算种类的差异.它体现了函数的自变量、函数种类和运算形式的差异，“消除差异、化异为同”是三角变换的一般原则.解题时应当根据题目特点，先明确变换指向，再结合公式的功能做出流动地试探和选择.2 解题的探求思路和转换策略2.1 整体观察在解题时，应首先观察待求结论与已知条件的关系，放眼全局，以宽广的整体思维处理问题，这种方式也能避免繁冗甚至思路受阻.例1 已知，求.分析：观察已知条件和待求结构可知，从而待求结论利用角和正切公式即可得出.若从局部着手必节外生枝，而转求. 解：因为所以从而 2.2 整体代入在代入已知量求值问题中，要把握问题全局，认清相关量之间的联系，舍零取整，代入求解.例2 已知 ， 求

5、. 分析：若从求出，再将代入，将使运算繁难，若将作为整体代入，则灵活简便.解: .2.3 整体换元把待求结论整体换元,利用它和已知条件的关系，求出待求结论.例3 已知，求.解：设，所以，.因为，所以，即.整理得.所以，即.2.4 构造这是一种将研究对象视为局部，依此拓展为一个整体，通过对整体的研究求得局部的转化策略.例4 不查表求的值.分析：将A看作局部构造整体.将问题转化为求B.解： . 所以.2.5 配对整体配对就是将所给命题配上一个它的对偶命题所构成的对偶式.如“正弦配余弦”，“”配“”等.例5 求的值.解：设，令， 则，所以.3 三角解题的常用方法与技巧做三角函数题常用的方法有：1）运

6、用函数的定义；2）减少函数种类；3）异角三角函数与同角三角函数互化；4）异名三角函数与同名三角函数互化；5）三角函数升次或降次；6）三角公式及其灵活变形；7）变元替换；8）构造函数或方程；9）函数或角的等值变换；10）引入辅助函数；11）利用万能公式等等.对这些不再展开讨论，仅提出必须掌握的一些常用技巧.我们常用的技巧有3.1 切割化弦当三角函数式中只含有同角的三角函数时，可从变换函数入手，施行切割化弦，将切割统一化弦减少函数种类，且易于变形. 例6 化简.解: 原式=. 3.2 变角当三角表达式中含有不同函数时，可从化角入手，利用角与角之间的和、差、倍、半、互余（补）等关系，对角进行变形，可

7、使问题迎刃而解.如, , 等. 例7 已知 ，求的值. 解：由题设知为第一象限的角，所以.又由题设知为第三象限的角，所以. 故. 例8 化简.解: 因为,所以. 原式=. 3.3 变常数在三角恒等变形过程中，有时需将常数转化为某个三角函数值或式方可迅速求解.在这里要特别注意“1”各种变通形式在解题中的应用.如 例9 求证: ； .证: (1) 左边=，所以，左边=右边.(2) 左边= =，所以，左边=右边.3.4 变用公式熟悉公式的各种变式（包括公式的逆用），不仅是知识的开拓，也是思路的开拓.如 ，以及等.例10 求的值.解法1：原式= .解法2：原式= .3.5 变幂倍角的余弦公式，正向使用

8、升幂，逆向使用则降次，对于3倍角正余弦公式也有类似性能.例11 求值.解：原式= =.例12 求函数的最小值.解：因为 ,所以 .当时，.3.6 恒等辅助变形其中均不为0,为辅助角，其所在象限由确定，其大小由确定.例13 求函数的极值.解：由，得 ，即（其中），.于是有 ，解得，或.y的极大值为，极小值为.3.7 运用代数方法三角变换实际上也是一种代数变换，只不过多了一些三角公式而已，所以代数的一些变换技巧，如分、拆、凑等，也适用于三角变换.例14 求函数的最大值.解：令，则，.由，得 .当，即，时，.3.8 运用比例性质灵活运用比例的性质，往往能使一些三角恒等式变得形容易、简便.例15 已知 ，求证：.证：由等比定理得 ， ，同理 ，所以 .3.9 两种特殊技巧角度成等差的正弦、余弦之和的化简，一般是给原式的分子分母乘以角度公差的一半的正弦，然后对分子施以积化和差，交叉相消即可.例16 不查表求的值.解：原式= . 角度成等比（公比为2）的余弦之积，一般可给原式的分子、分母乘以这个角度的等比数列的首项的正弦的倍（n是余弦因子的个数），再对分子连续逆用正弦的2倍角公式即可.例17 不查表求的值.解：原式.综上可见：理解三角公式的内在关系，把握解题中的探求思路和转换策略，运用常用的变换技巧，三位一体是解决三角问题的根本机制. 参考文献1 何思谦.数学辞海（第