引导学生运用数学模型解决实际问题

1、引导学生运用数学模型解决实际问题著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究。” 所谓数学模型，是指对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个特定的目的，在做了一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表述出来的一个数学结构。数学中的各种基本概念，都以各自相应的现实原型作为背景而抽象出来的数学概念。各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型。我们的数学教学说到底实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型和怎样构建模型的思维方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。 由此，我们可以看到，培养学生运用数学模型解决实际问题的能力，关键是把实际问题抽象

2、为数学问题，通过解决数学问题，从而解决实际问题。本人结合实际教学谈谈运用数学模型，解决实际问题的实例。 实例一：二次函数与实际问题 1 中学课本中的实际例题。 在义务教育课程标准实验数学教材苏科版九年级上第34页习题10：某商场购进一批单价为16元的日用品。若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖出210件。假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数。 （1） 试求y与x之间的函数关系式。 （2） 在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为多少时，才能使每月的毛利润W最大？每月的最大毛利润是多少？ 解：（1） y=-30x+960

3、。 （2） 设每月的毛利润为W元，则 W=（x-16）（-30x+960） =-30x2+1440x-96016 =-30（x-24）2+1920。 当x=24时，W有最大值，W最大值=1920。 答：将售价定为24元时，每月的最大毛利润为1920元。 2 在一场战争中，敌方战败，敌方准备乘飞机逃跑。我军战机监测到敌方的飞机位于自己正南30 km外，正以3 km/s的速度向北逃去，而我方战机的速度是4 km/s，由东向西追，如图，请问我方战机在何时方能有把握把敌机击落（最近处）。 分析：设时间x秒，两机相距s千米。 那么s是斜边，两直角边分别为3x km，（30-4x）km，则 S= = 当x

4、=4.8时，s有最小值 所以，经过4.8秒后，去击落敌机最有把握。 二次函数在各领域非常重要，上述二例说明了在经济、军事上的实际应用。当然在其他方面如体育方面、建筑方面等都能用到二次函数，只要认真观察，仔细寻找，我们不难发现数学就在身边，数学不再是简单地运算，而是生活中必不可少的成分。我们的生活与数学密不可分，我们通过学习数学为生活服务。因此，对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如造价用料最少，利润产出最大等，可透过实际背景、建立变量之间的目标函数二次函数，以转化为函数的极值问题。 实例二：不等式（或组）与实际问题 一群学生住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满

5、。 （1） 设有x间宿舍，请写出x应满足的不等式组。 （2） 可能有多少间宿舍和多少名学生？ 分析：（1） 设有x间宿舍，则有（4x+19）名学生， 根据题意，得： （2） 解不等式组，得 9.5x12.5。 因为x是整数，所以x=10，11，12。 因此有三种可能，第一种，有10间宿舍，59名学生；第二种，有11间宿舍，63名学生；第三种，有12间宿舍，67名学生。 不等式在各领域都非常重要，上面的例子在房间分配上就用到了不等式组，其实，在市场经营、生产决策和社会生活中都会用到不等式（或组）。如估计生产数量，核定价格范围，盈亏平衡分析，投资决策等，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系，转化为不等

6、式（组）的求解或目标函数在闭区间的最值问题。只要能建构好适当的数学模型，实际问题就迎刃而解了。 实例三：三角函数与实际问题 1. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120 m。这栋高楼有多高（结果精确到0.1 m）？ 分析：在RtABD中，=30，AD=120。所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC。 解：如图=30，=60，AD=120。 tan=，tan=， BD=ADtan=120=40。 CD=ADtan=120tan60=120=120。 BC=BD+CD=40+120=160

7、227.1。 2. 如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决（如图3）： 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23 m，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求斜坡AB的坡面角，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1 m）。 解：作BEAD，CFAD，垂足分别是E，F 在RtABE和RtCDF中， =，=。 AE=3BE=323=69（m） FD=2.5CF=2.523=57.5（m） AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5（m）。 因为斜坡AB的坡度itan0.3333， =sin， AB=72.7（m）。 1826 答：斜坡AB的坡角约为1

8、826，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米。 三角函数在各领域也非常重要，上面二个例子说明测楼房高度、大坝计算方面用到了三角函数。平常生活中普遍存在着三角函数的应用问题，如对测高、测距、航海，燕尾槽、拦水坝、人字架的计算等应用问题，则可建立三角函数模型，转化为解三角形问题。因此我们学会了数学模型的建立，充分挖掘数学内涵，解决问题的能力会大大提高。 实例四：几何与实际问题 1. 在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲向A点时，乙已跟随冲到B点，此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙让乙射门好？ 分析：在真正的足球比赛中，情况会很复杂，这里仅用

9、数学方法从静止的两点加以考虑，如果两个点到球门距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两个点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截。 如在AMN，BMN中，比较MBN与NAM这两个张角的大小（图4）。 2. 如图5，某货船以20海里每时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货。此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里每时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受影响。 （1） 问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由； （2） 为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物

10、？ 分析：（1） 过B作BDAC于D，在RtABD中，可知BAC=30，BD=AB=2016=160200； （2） 以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于EF，由勾股定理得DE=120， AD=160，AE=AD-DE=16-160，所以3.8（小时）为卸完货物的时间。 解：（1）过B作BDAC于D，在Rt ABD中，可知BAC=30，BD=AB=2016=160（海里）200（海里），所以B处会受台风的影响。 （2） 以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于EF，由勾股定理得DE=120，AD=160，AE=AD-DE=16-160， 所以t=3.8（小时）。 答：为避免受到台风影响

11、，该船应在3.8小时内卸完货物。 几何在各领域也非常重要，上面二个例子说明在足球比赛、货物的装卸用到了几何。几何的图形在我们现实生活中到处可见，诸如工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复破残轮片、跑道的设计与计算等应用问题，涉及一定图形的性质常需建立几何模型，转化为几何问题求解，因此，只要学会转化，学生的应用能力会得到进一步的提高。 综上所述，数学模型是一种符号模型，它的解释就是反映特点的具体实体内在规律性的数学结构。数学建模就是要把现实生活中具体实体内包含的数学知识、数字规律抽象出来，构成数学模型，根据数学规律进行推理求解，得出数学上的结论，返回解释验证，以求解决实际问题。作为一种

12、思想方法，数学建模思想可以与数学基础知识相依相随、互相渗透、逐步升华。 数学建模处理的对象是一些复杂的应用问题，它需要自己去挖掘，采集有用的信息：自己去提出模型的假设，求解的方式多种多样，目标可以不同的层次，结论也常常需要在多次反复中得到修正。好的建模过程常常有艺术品的特点，可以去品味和欣赏。学生由学习的受体变为主体，与老师地位平等，师生互动，因此极大的调动了学生的学习的积极性，使学生变被动学习为主动学习。多让学生观察生活，联系实际，利用课本中的“想一想”“读一读”“试一试”“做一做”等为学生提供大量的学习和实践的机会，使学生具有适应生活和社会的能力，并能运用所学的知识和思想方法去思考和处理问

13、题，使他们在解决实际问题的过程中逐步形成数学应用的意识和应用能力。从而达到综合素质的提高。 当然，一切数学概念、公式、方程式和算式系统都是数学模型。数学建模思想渗透在中小学的教材中，因此，只要我们深入钻研教材，挖掘教材蕴涵的应用数学的教材。并从中总结提练，就能找到数学建模的素材。 例如 （1） 拱桥、炮弹发射、卫星轨道、面积大小、商品的盈利等问题都可以建立二次函数模型。 （2） 平均增长率问题、（包括产量、繁殖、资金、利率）旅游、装饰材料、商品的利润、浓度配比、工程施工及人员调配、行程等问题，则可列出方程转化为方程求解问题 （3） 房间分配、方案设计、市场经营、生产数量、核定价格范围，盈亏平衡分析，投资决策等，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系，转化为不等式（组）的求解或目标函数在闭区间的最值问题。 （4） 对测高、测距、航海，燕尾槽、拦水坝、人字架的计算等应用问题，则可建立三角模型，转化为解三角形问题 （5） 足球比赛、工程定位、边角余料加工、拱桥计算、皮带传动、修复破残轮片、跑道的设计与计算等应用问题，涉及一定图形的性质常需建立几何模型，转化为几何问题求解。 （6） 有些实际问题还可以用概率模型、统计模型及数列模型等来解决实际问题。 在数学教学中，光凭传授知识