一平面向量基本概念及线性运算

1、第一节 平面向量的基本概念及线性运算【最新考纲】1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示2掌握向量加法、减法的 运算，理解其几何意义3掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两 个向量共线的含义4.了解向量线性运算的性质及其几何意义.禽盖礁 1%实双基I找册归I固杠盘基础梳理1. 向量的有关概念(1) 向量：既有 大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).(2) 零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3) 单位向量：长度等于1个单位的向量.(4) 平行向量：方向 相同或相反的非零向量.平行向量又叫 共线 向量.规定：0与任一向量平行.

2、(5) 相等向量：长度 相等且方向相同的向量.(6) 相反向量：长度 相等且方向相反的向量.2. 向量的线性运算向量 运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算a三角形法则a平行四边形 法则(1) 交换律： a + b=b + a.(2) 结合律：(a + b) +c= a + (b+c )数乘求实数久与向 量G的积的 运算 | & | = | A ；(2)当 A > 0 时，加的方向 与4的方向相 同；当A < 0 时,Ao的方向 与a的方向相 反，当入=0 时 »Ao = 0A(/xi) =A/Xi; (入+ jtz) a Aa+讯;b) = Xa

3、+肋3. 共线向量定理向量a( aJ)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数人使得b=入aI学情自测1. (质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“"”，错误的 打 “X” )(1) 向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()(2) 若 a/b, b/ c,则 a/c()(3) a/b是b(QR)的充要条件.()(£ ABC 中，D 是 BC 的中点，贝S AD = (AC + AB).()答案： X (2)X (3)X (4)V2. D是厶ABC的边AB上的中点，则向量CD等于（）1 1a. - BC+2BAb. BC-2BA1 1C.BC - qBAD.

4、BC + qBA解析：V D是厶ABC的边AB上的中点，CD = cB+?ba = bC + ?ba .答案：A3. （2014课标全国I卷）设D, E, F分别为 ABC的三边BC,CA , AB 的中点，贝S EB + FC =（）a.ADB.qADc.bCD.2BC解析：由于D, E, F分别是BC, CA, AB的中点，所以EB + FC1 1 111 =2（BA + BC） 2（cA + CB） = 2（BA + CA）= 2（AB + AC） = 2x 2AD = AD.答案：A4. 如右图，已知 D, E, F分别是 ABC的边BC, AB, ACa. AE = aFb. eF=

5、CDc. eF = bDd. dB = DC解析：向量eF与向量bD方向相同，且模相等, eF = BD.答案：c5. （2015课标全国II卷）设向量a, b不平行，向量入a4b与a +2b平行，则实数匸,解析：v Xa+ b 与 a+ 2b 平行，入 a+ b= t( a+ 2b),则入a+ b = t a+ 2tb,入=t,11 = 2t.解得X= t =；1答案：；名师微博通法领悟一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量.三个结论1. 若P为线段AB的中点，0为平面内任一点，则OP = 2（oA +oB）.2.0A = ?0B + QC（

6、 , 为实数），若点A, B, C共线，则入+1.3.若A, B, C是平面内不共线的三点，则PA+PB+ PC = 0?PABC的重心.三个防范1.向量共线的充要条件中要注意“az 0”，否则入可能不存在, 也可能有无数个.2. 进行向量减法运算时，一定将向量平移至同一起点.3. 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.一、选择题1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的 终点所构成的图形是（）A .一条线段B. 段圆弧C .两个孤立点D .一个圆解析：由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位

7、向量平移到相同的起点上，贝y所有的终点到这个起点的距离都等于1所有的终点构成的图形是一个圆.答案：D2. 设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使|0"=斋成立的充 分条件是（）A .a= bB .a/bC. a=2bD .a/b 且|cj = |b|解析：i：表示与c同向的单位向量，表示与b同向的单位向量, |a |b|只要c与b同向，就有|aj=备，观察选项易知c满足题意.答案：C3. （2015佛山一中期中考试）如下图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB、AD分别交于E、F两点，且交其对角线AC于K,其中，aE = 7AB, aF = 1AD, aK = A，贝y 入的值

8、为（）22B7A92i解析：aE=5AB, aF = ?aD ,则 AB=5aE , aD = 2AF ,V AC = aB + aD，二 aK = AC =入AB + ad)=入AE + 2金,52由E, F, K三点共线可得，2入+ 2X= 1,解得 入=9答案：A4.设P是厶ABC所在平面内的一点，BC + BA = 2BP,则（）a.pA+ pB= 0b.pB+pC=0c.pC + PA= 0D.PA+PB+ PC=0解析：由向量加法的平行四边形法则易知，BA与BC的和向量过AC边中点，长度是AC边中线长的2倍.结合已知条件可知 P为AC边中点，做PA+ PC = 0.答案：C5.设a

9、是已知的平面向量且aO关于向量a的分解，有如下四个 命题： 给定向量b,总存在向量5使0=3 + c; 给定向量b和c,总存在实数入和卩，a=入bc 给定单位向量b和正数卩，总存在单位向量c和实数 人使0=入+卩c给定正数 入和卩，总存在单位向量b和单位向量c,使a=b+ a c.上述命题中的向量b, c和a在同一平面内且两两不共线，则真 命题的个数是（）A. 1B. 2 C. 3 D. 4解析：显然命题，正确.对于，给定向量b,则入b可以 确定方向，不妨设如图所示，作AB丄入b, B为垂足.当正数a<|AB| =gsina, b时，不存在单位向量c,使a=入t+ a c因此错.对 于，

10、根据向量的三角形法则，必有|入+| ac|入+ a> 14若匸a= 1, ia> 2时，与a=|b + c|< |b|+ |c|= 2矛盾，则不正确.答案：B二、填空题6.在？ABCD 中，AB =a, AD = b, AN = 3NC , M 为 BC 的中 点，则MN =(用a,b表示).1 解析：由AN = 3NC，得 4AN = 3AC = 3( a+ b), AM = a+ 2b 所 31、 1 1以 MN = 4( a+ b) 一?b 戶 一 4 a+ 4b.答案：- 4 ab7. （2015 北京卷），在 ABC 中，点 M , N 满足AM = 2MC , B

11、N =NC 若 mN = xAB+yAC，贝y x=； y=.解析：v AM = 2mC，二 AM = ；ACV BN = NC，二 AN = 1（AB + AC）, mN = aN - aM = 2（ab+AC）-3aC=；AB- ：AC11又MN = xAB + yAC，二 x=y=-26答案:12,8.设a,b是两个不共线向量，AB = 2a+pb, BC=a+b, CD = a-2b,若A, B, D三点共线，则实数p的值为.解析：V BD = BC + CD = 2a b,又 A, B, D 三点共线，2= 2 入存在实数人使AB = ?BD，即 p=- 1.、P=人答案：1三、解答

12、题9.设两个非零向量e1和e2不共线.（1）如果 AB = & e2, BC = 3& + 2e2 , CD = 8e“一 2e2,求证：A , C , D三点共线；（2）如果 AB = eq + 佥,BC = 2q 3e? , CD = 2© ke?,且 A , C ,D三点共线，求k的值.(1)证明：tAB = ei e2, bC = 3ei + 2®,CD = 8ei 2e2,ii-AC = AB + BC = 4ei + e = 2( 8ei 2e?) = ?CD，AC 与CD共线.又:AC与CD有公共点C,A A, C, D三点共线.解：(2)AC = AB + BC = (e + e2)+ (2ei 3e2)= 3e 2e2,t A, C, D三点共线， AC与CD共线，从而存在实数 入使得AC = ?CD ,贝y 3ei 2佥=入(2p- kej) = 2 入 e 入 ke3= 2人34得2= “解得 X= 2, k=3，4 所以k= 3.10 .如右图所示，在 ABC中，D, F分别是BC, AC的中点，2aE = 3AD , AB =a,AC = b.(1) 用a,b 表示向量 AD , AE, AF, BE, BF;(2) 求证：B, E, F三点共线.(i)解：延长AD到G,使AD = 2AG，连接BG ,