2212二次函数（2）

1、1.1.二次函数的一般形式：二次函数的一般形式：yax2 2bxc( (其中其中a、b、c是常数，是常数，a0).0).2.2.二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式： 当当b0 0时，时，yax2 2c. . 当当c0 0时，时，yax2 2bx. . 当当b0 0，c0 0时，时，yax2 2思思考考? ? 一次函数的图像是一次函数的图像是_，反比例函数的图像是，反比例函数的图像是_，二次函数的图像是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图像？二次函数的图像是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图像？一条直线一条直线双曲线双曲线 在二次函数在二次函数y= =x2 2中，中，y随随x的变化而变化的规律

2、是什么？你想直的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？观地了解它的性质吗？作二次函数作二次函数y= =x2 2的图象的图象. .( (列表、描点、连线列表、描点、连线) )(1)(1)观察观察y= =x2 2的表达式，选择适当的表达式，选择适当x值，并计算相应的值，并计算相应的y值，完成下值，完成下表：表：x-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3y9 90 01 14 49 9(2)(2)在直角坐标系中描点在直角坐标系中描点. .(3)(3)用光滑的曲线连接各点，用光滑的曲线连接各点，便得到函数便得到函数y= =x2 2的图象的图象. .Oyx2 24 46 6-2-2-

3、4-4-6-62 26 68 810104 44 41 1观观 察察对于二次函数对于二次函数y= =x2 2的图象的图象. .(1)(1)你能描述图象的形状吗？你能描述图象的形状吗？(2)(2)图象与图象与x轴有交点吗？轴有交点吗？_如果有，交点坐标是如果有，交点坐标是_(3)(3)当当x0 0时，时，随着随着x值的增大，值的增大，y的值的值_；(4)(4)当当x取取_时，时，y的值最小，最的值最小，最小值是小值是_._.(5)(5)图像是轴对称图形吗？图像是轴对称图形吗？_，如果是，它的对称轴是如果是，它的对称轴是_._.请请你找出几对对称点你找出几对对称点. .Oyx2 24 46 6-2

4、-2-4-4-6-62 26 68 810104 4有有(0,0)(0,0)越来越小越来越小越来越大越来越大0 00 0是是y轴轴从图像可以看出，二次函数从图像可以看出，二次函数y=x2 2的图像是的图像是一条曲线一条曲线，它的形状类似于投篮球或投掷，它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线，只是这条铅球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上曲线开口向上. .这条曲线叫做这条曲线叫做抛物线抛物线y=x2 2. .Oyx2 24 46 6-2-2-4-4-6-62 26 68 810104 4 实际上，二次函数的图象都是实际上，二次函数的图象都是抛抛物线物线，它们的，它们的开口

5、向上开口向上或者或者向下向下. .一般一般地，地，二次函数二次函数y=ax2 2+ +bx+ +c的图象叫做的图象叫做抛物线抛物线y=ax2 2+ +bx+ +c. .归归 纳纳注：注：二次函数的图象，即抛物线是轴二次函数的图象，即抛物线是轴对称图形，对称图形，对称轴对称轴与与抛物线的交点抛物线的交点叫叫做做抛物线的顶点抛物线的顶点.顶点顶点是抛物线的是抛物线的最低最低点点或是或是最高点最高点.例例1 1 在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y= = x2 2，y=2=2x2 2的图像的图像. .21Oyx2 24 46 6-2-2-4-4-6-62 26 68 810104

6、4y= =x2 2观观 察察三个函数的图像它们之间有什么共同点和不同点？三个函数的图像它们之间有什么共同点和不同点？x-4-4-3-3-2-2-1-10 01 12 23 3-4-4yx-2-2-1.5-1.5-1-1-0.5-0.5y=2 2x20 00.50.51 11.51.52 28 84.54.5 2 21 10 01 12 24.54.5 8 88 84.54.52 2 2 20.50.50 00.50.52 24.54.58 8y=2=2x2 2221xy Oyx2 24 46 6-2-2-4-4-6-62 26 68 810104 4y= =x2 2探究画出函数画出函数y=-=

7、-x2 2，y=- =- x2 2，y=-2=-2x2 2的图象，并考虑这些抛物线有什的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点么共同点和不同点. .21Oyx2 24 46 6-2-2-4-4-6-6-8-8-4-4-2-2-10-10-6-62 21 1y=-=- x2 22 2y=-2=-2x2 2y=-=-x2 2 对比抛物线对比抛物线y= =x2 2和和y=-=-x2 2，它们关于它们关于x轴轴对称吗？一对称吗？一般地，抛物般地，抛物线线y= =ax2 2和和y=-=-ax2 2 呢？呢？ 一般地，抛物线一般地，抛物线y=ax2 2的对称轴是的对称轴是_，顶点是，顶点是_. _.

8、当当a00时，抛物线的开口时，抛物线的开口_，顶点是抛物线的，顶点是抛物线的_，a越大，越大，抛物线的开口抛物线的开口_，在，在y轴左侧，轴左侧，y随随x的增大而的增大而_，在，在y轴右侧，轴右侧，y随随x增大而增大而_；当当a00时，抛物线的开口时，抛物线的开口_，顶点是抛物线的，顶点是抛物线的_，a越大，越大，抛物线的开口抛物线的开口_，在，在y轴左侧，轴左侧，y随随x的增大而的增大而_，在，在y轴右侧，轴右侧，y随随x增大而增大而_. _. 在同一坐标系内，抛物线在同一坐标系内，抛物线y=ax2 2与抛物线与抛物线y=-=-ax2 2是关于是关于_对称的对称的. .归归 纳纳y轴轴原点原

9、点向上向上最高点最高点越小越小减小减小增大增大向下向下越大越大增大增大减小减小x轴轴最低点最低点1.1.说出下列抛物线的开口方对称轴和顶点：说出下列抛物线的开口方对称轴和顶点：（1 1）y=3=3x2 2（2 2）y=-3=-3x2 2231) 3(xy 231)4(xy例例2 2 已知二次函数已知二次函数 图象是开口向下的抛物线，则图象是开口向下的抛物线，则m=_=_，当，当x_时，时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。 mmmxy2解：解：由题意得：由题意得：m2 2+ +m=2 =2 m0 0 由由得：得： m1 1=-2,=-2,m2 2=1=1m=-2=-2又由又由得：得：m2 2

10、=1=1舍去舍去抛物线开口向下抛物线开口向下x0 0时，时， y随随x的增大而增大的增大而增大1.1.二次函数二次函数y=y=x2 2的图象是一条的图象是一条_，它的开口，它的开口_，且关于，且关于_对称对称. . 对称轴的左侧，对称轴的左侧，y y随随x的增大而的增大而_；对称轴的右侧，；对称轴的右侧，y y随随x的增大而的增大而_. _. 抛物线与抛物线与x轴的交点是轴的交点是_，与，与y y轴也交于此轴也交于此点，是图象的最点，是图象的最_点，也叫做顶点点，也叫做顶点. .2.2.二次函数二次函数y=-y=-x2 2的图象是一条的图象是一条_，它的开口，它的开口_，且关于，且关于_对称对

11、称. . 对称轴的左侧，对称轴的左侧，y y随随x的增大而的增大而_；对称轴的右侧，；对称轴的右侧，y y随随x的增大而的增大而_. _. 抛物线与抛物线与x轴的交点是轴的交点是_，与，与y y轴也交于此轴也交于此点，是图象的最点，是图象的最_点，也叫做顶点点，也叫做顶点. .3.3.观察观察y=y=x2 2的图象可知，无论的图象可知，无论x x取何值，取何值，y_0.y_0. 观察观察y=-y=-x2 2的图象可知，无论的图象可知，无论x x取何值，取何值，y_0.y_0.4.4.若点若点( (a，4)4)在在y=y=x2 2的图象上，则的图象上，则a的值是的值是_._.5.5.在在y=-y

12、=-x2 2的图象中，点的图象中，点(3(3，-9)-9)关于关于y y轴的对称点为轴的对称点为_，这，这个点也在个点也在_的图象上的图象上. .6.6.若点若点A(4A(4，m) )是抛物线是抛物线y=-y=-x2 2上一点，则上一点，则m=_.=_.7.7.函数函数y=y=x2 2与与y=-y=-x2 2的图象关于的图象关于_对称，也可对称，也可 以认为以认为y=-y=-x2 2是函是函数数y=y=x2 2的图象绕的图象绕_旋转得到旋转得到. .8.8.已知已知a-1-1点点( (a-1-1，y y1 1) )、( (a，y y2 2) )、( (a+1+1，y y3 3) )都在函数都在

13、函数y=y=x2 2的图的图象上，则象上，则( )( ) A.y A.y1 1y y2 2y y3 3 B.y B.y1 1y y3 3y y2 2 C.y C.y3 3y y2 2y y1 1 D.y D.y2 2y y1 1y y3 39.9.二次函数二次函数y=y=ax2 2与一次函数与一次函数y=y=ax+ +a在同一坐标系中的图象大致为在同一坐标系中的图象大致为 ( )( )xyOxyOxyOxyOA AB BC CD D10.10.在同一坐标系中，与在同一坐标系中，与y=2y=2x2 2的图象关于的图象关于x轴对称的图象是轴对称的图象是 ( )( )C.C.y=-2=-2x2 2D

14、.D.y=-=-x2 2A.A.y= = x2 21 12 2B.B.y=- =- x2 21 12 211.11.求出函数求出函数y=y=x2 2与函数与函数y=y=x2 2的图象的交点个数的图象的交点个数. .解法一解法一：由图可看出函数：由图可看出函数y=y=x2 2与函数与函数y=y=x2 2的图象有两个交点的图象有两个交点. .Oyx2 24 46 6-2-2-4-4-6-62 26 68 810104 4解法二解法二：由两个函数组成：由两个函数组成y=y=x2 2y=y=x2 2解得：解得：x1 1=2=2y y1 1=4=4x2 2=-1=-1y y2 2=1=1,函数函数y=y=x2 2与函数与函数y=y=x2 2的图象有的图象有两个交点两个交点. .12.12.二次函数二次函数y= =ax2 2与直线与直线y=2=2x-1-1的图象交于点的图象交于点P P（1 1，m).).（1 1）求）求m的值；的值；（2 2）求二次函数的表达式及该二次函数的顶点坐标和对）求二次函数的表达式及该二次函数的顶点坐标和对称轴；称轴；（3 3）求当）求当x取何值时取何值时y随随x的增大而增大的增大而增大. .13.13.如图