平面几何中及几个重要定理

1、平面几何中的几个重要定理一 塞瓦定理塞瓦（G。Ceva 16471743），意大利著名数学家。塞瓦定理 设为三边所在直线外一点，连接分别和的边或三边的延长线交于（如图1），则与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理。塞瓦定理逆定理 设为的边或三边的延长线上的三点（都在三边上或只有其中之一在边上），如果有，则三直线交于一点或互相平行。 E例1 如图3，是内一点，分别与边交于，过三点作圆，与三边交于。求证：交于一点。例2 设分别为三边的中点，为内一点，分别交于（如图4）。求证：三线共点。例3 以各边为底边向外作相似的等腰三角形（如图5）。求证相交于一点。二 梅涅劳斯定理Menelaus（公元98年左右）

2、，希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著作球论里。梅涅劳斯定理 设的三边或它们的延长线与一条不经过其顶点的直线交于三点（如图6），则。梅涅劳斯定理逆定理 设分别是的三边上或它们延长线上三点，若有，则三点在同一直线上。例4设的A的外角平分线与BC的延长线交于P,B的平分线与AC交于Q,C的平分线和AB交于R.求证：三点在同一直线上。例5 图8，过ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线。注： 直线PQR叫做ABC的莱莫恩（Lemoine）线例6（戴沙格定理）设ABC和对应点的连线、交于一点，这时如果对应边和、和

3、、和（或它们的延长线）相交，则它们的交点D、E、F在同一直线上。注：戴沙格定理是射影几何中的重要定理。例7（牛顿定理）设四边形的一组对边和的延长线交于点，另一组对边和的延长线交于点，则的中点、的中点及的中点，三点共线。三斯特瓦尔特定理Stewart （17531828），英国数学家、哲学家。斯特瓦尔特定理 如图，设P是的边上一点，且=，则有 斯特瓦尔特定理另外形式：或 当时，P为BC的中点，有 （巴布斯定理）（中线定理）当AP是ABCA的平分线是，有 。 例8在ABC中设AB=c，AC=b，c>b，AD是A的平分线，E为BC上一点，且BE=CD。求证：。例9设为ABC的重心，M是平面上任

4、意一点，求证：练习1ABC的边BC上任意一点D，设ADB和ADC的角平分线分别交AB、AC于F和E，求证：AD、BE、CF交于一点。2已知AD是ABC的边BC上的高，P为AD上任意一点，直线BP、CP分别交AC、AB于E、F，求证：FDA=ADE。3ABC中，内切圆O与各边BC、CA、AB相切于D、E、F，求证：AD、BE、CF交于一点。4在ABC中，AM为BC边上的中线，AD为A的平分线，顶点B在AD上的射影为E，BE交AM于N，求证：DNAB。5设ABC的三个旁切圆在BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，则AD、BE、CF交于一点。6设平行四边形ABCD内一点E，过E引AB的平行线与A

5、D、BC交于K、G，过E引AD的平行线与AB，CD交于F、H，则FK、BD、GH互相平行或交于一点。7一条直线与三角形三边或其延长线交于L、M、N，若点与L、M、N关于三边的中点对称，求证三点共线。8设四边形ABCD外切于O，切点分别为，则相交于一点（或相交于一点）9设D、E为的边上两点，且，则10设正三角形ABC边长为a，P为平面上任意一点，证明：。三托勒密定理 Ptolemy（约公元85165年），希腊大数学家，他的主要著作天文集被后人称作“伟大的数学书”。托勒密定理 设四边形ABCD内接于圆，则有。例1 如图，设为平行四边形的边上的两点，的外接圆交对角线于。求证：。例2设为圆内接正方形，

6、为弧上一点，求证：例3。如图，已知圆内接正五边形，若为弧上一点，则例4设为同心圆，的半径是的半径的2倍，四边形内接于圆，分别延长交圆于，求证：四边形的周长不小于四边形的周长的2倍。三 西姆松定理RSimson（18671768），英国数学家，曾于1756年校订了欧几里德的几何原本。 西姆松定理 从的外接圆上任意一点向或它们的延长线引垂线，垂足分别为，则三点共线。过点的直线叫做关于点的西姆松线西姆松定理的逆定理也成立，即：从的三边或它们的延长线引垂线，垂足分别为在同一直线上，则点在的外接圆上。西姆松定理还可以推广为：（卡诺定理）过的外接圆上一点，引与三边分别成同向的等角直线，与三边交点分别为，则

7、三点共线。例5设的三条高为，过作的垂线，垂足分别为，则在同一直线上。例6（史坦纳定理）设垂心为，其外接圆上任意一点，则关于点的西姆松线过线段的中点。例7如图，设为外接圆上的两点，若关于的西姆松线和交于，则四 欧拉定理LEuler（17071783），瑞士大数学家，在数学的多个领域都作出过重大贡献。欧拉定理 设的外心、重心、垂心分别为，则三点共线，且。 我们称的连线为欧拉线。例8如图，设为三边的中点，求证：的外心在的欧拉线上。例9三角形三边中点、三垂线足、三顶点、和垂心所连线的中点，此九点在同一圆周上，此圆称为九点圆，或欧拉圆。九点圆的圆心在三角形的欧拉线上，即三角形的外心、重心和九点圆的圆心在同一直线上。例10设为O的内接四边形，依次为、的垂心。求证：四点在同一圆上，并定出该圆圆心的位置。殴拉公式 设三角形的外接圆和内切圆半径分别为和，则两圆的圆心距练习1若圆内接四边形的对角线互相垂直，则两对边乘积的和等于四边形的面积的两倍。2已知为上两点，为弧的中点，为圆上任意一点，求证：或为定值。3设圆内接四边形的四边，两对角线。求证：4设为的一条弦，为弧的中点，过作弦和分别交于，求证：。5利用西姆松定理证明托勒密定理。6为等边的外接圆上的弧上任意一点，点的西姆松线为（在上，在上），与交于。求证：。7圆内接四