[第五讲] Berry相位之争

1、 第五讲 Berry相位之争前 言一，关于“什么是Berry相位”的争论 1，“量II”书中的推导 2，一个反例：一维矢量平移总是拓扑平庸的 3，正确的说法：一盆有小孩的洗澡水二，关于“Berry相位本质”的争论 1，非得从含时Schrodinger方程才可以导出Berry相位吗？ 2，二维流形上矢量平移及协变导数计算3，二维流形的和乐相因子计算 4，Berry相位的本质是几何的参考文献一，关于“什么是Berry相位”的争论1，文献1、2及3、4中的推导 在Berry原始文献1中所叙述的正确做法是：一个含时过程，其Hamilton量通过含时参量依赖于时间，即为， （1）假设这个含时过程是个绝热

2、演化过程，即时刻都有如下准定态方程成立， （2）注意,这里的Hamilton量虽然变化极其缓慢(标准下面再讨论)，但经长时间演化后，Hamilton量的变化可以很大。由于存在准定态方程，可以合理地假设抽出一个如下相因子称之为动力学相因子。于是，总体而言，可以假设满足此时初条件的含时解为 （3）至此，1中紧接着就研究：此时关键问题是，当相位为不可积相因子、不能写成的函数，特别是，在连续循环一周C之后，是非单值的。并指出，根据必须满足含时Schrodinger方程，可以直接得到的表达式。由于此种计算很直接，原文予以省略。现将其补述如下，于是得到即当然也就有（注意，Berry认为下面公式（4）无意义

3、，因此他在1中原文里并未写出这个公式。） （4）于是1中最后得到，连续循环一周后，动力学方程解和为 （5）根据Berry这一开创性工作，后来人们将戏统循环一周返回后，由于参数空间的拓扑不平庸性，所出现的不为零相因子称为Berry相位。这在数学家Simon当时所写的文章中，对此相因子的数学背景有更深的剖析2。3第222-224页和4也补充了这段计算。3、4在作了含时展开继以绝热近似后，3中第224页和4公式（13）也给出了（4）式但是，3、4错误的将公式（4）当作了Berry相位。在3中第224页紧接着就强调指出：“从上述推导可明显看出，Berry绝热相的出现，是由于要求量子态随时间的演化必须满

4、足Schrodinger动力学方程。因此，从根本上讲，无论，或者，其根源都来自动力学的要求。”（着重号是原有的）。这里，曾先生用着重号强调两点：其一，Berry相因子来源于含时Schrodinger方程；其二，认为Berry相因子既然来源于动力学方程，所以它本质上是动力学的。 3中这段强调议论恰恰是错误的。因为这段叙述忘记了Berry原文1在此处推导之前，上面还有一段关于不可积相因子的叙述。3、4的叙述引起了强烈的质疑5。现在来看看是怎么回事。 2，一个反例：一维矢量平移总是拓扑平庸的 在详细论证i) 什么是Berry相因子，ii) 它的本质是动力学的还是几何的这两个问题之前，先举一个一维例子

5、来说明3、4中强调的说法是错误的。由于一维准定态的时空演化过程，其拓扑性质总是平庸的。因此可以指望，这时（4）式相因子在循环一周之后将恒为零。证明：利用含时态已归一的性质，有 再利用一维定态波函数总可以取成实函数这一事实，进一步有于是有这导致的被积函数恒为零，即。 由这个一维定态例子启发我们：一般地说，这个的表达式含有平庸的情况，即等于零的情况。所以不能将这个表达式笼统地称作为Berry相因子。只当循环一周后不为零的情况下，才是Berry相因子。这时系统的内禀空间必定是拓扑不平庸的，而且相因子本身也必定是不可积的。至于4中所得结果以及例算都是含时叠加态在特定（两个能级数值相等，符号相反）情况下

6、，按上面公式（4）在形式上算得的相因子。它们与Berry相因子毫无关系。就是说，即便算出此相因子不为零，也不意味着系统拓扑性质是不平庸的（见下）。举例，一维活塞问题。即一维活动墙的准定态无限深方阱问题。这时，无论怎样绝热地移动两面墙即保持阱内粒子状态的无量纲量子数不变的任意含时准稳态演化过程中，不仅在两面墙移动一周还原时，而且在过程中时时刻刻都有。3，正确的说法：一盆有小孩的洗澡水应当说，人们早就知道这个关于的表达式（4）。只是由于以下两点，因而对其“视而不见” ：其一，在得到这个表达式之前已经作了绝热近似，因而这个表达式就已经无关紧要了。这是因为，由于时时刻刻都存在准定态方程，于是，在时刻的

7、定态解前面可以添加任意相因子，而不影响定态解的成立。显然，不同时刻，这个相因子可以相同或不同。这样一来事情就成为，整个含时过程可以有一个任意时间函数的相因子，而不影响每个时刻定态解的成立。就是说，在绝热近似即时时刻刻都有准定态方程成立的假设下，从所作假设和逻辑自洽角度来看，已不必计较任意时间函数的相因子了。这就是Berry之前，人们为什么对这个含时因子表达式“视而不见”的缘故；其二，再加之，Berry之前，人们也不知道这里面还有一个不可积相因子的问题。总而言之，由于上述两点，Berry之前的人们对这个含时因子表达式并非不知道，而是“视而不见”。在Berry之后的现在来看，应当说，这个公式既含有

8、小孩，也含有洗澡水。不可以笼统地称作为小孩！然而，3、4将水盆里所有的东西都当作了小孩。并且进一步还对小孩作了新的定义，探讨了小孩的来源小孩来自动力学，而不是来自几何学（拓扑不平庸性）。用叠加态作个说明。取文献4中第一个例子。看看问题是怎么回事。一维谐振子，或是任何两能级系统。这是一个与时间无关的问题。取初态于是有取演化的一个循环周期（）之后，。所以总相位是。按公式（4）计算得当时；当时。就这样，4将这个相位称作了Berry相因子。这个例子实在没有任何数学背景。因为这个量子系统根本没有参数空间，更谈不上拓扑非平庸问题。其实，它正是在Berry之前当人们作了绝热近似后将其弃置不顾的洗澡水。二，关

9、于“Berry相位本质”的争论1，非得从含时Schrodinger方程才可以导出Berry相位吗？ 答案是否定的。可以从定态Schrodinger方程出发推导AB相因子。可参见14。 2，流形上矢量平移、协变导数计算 先研究单位球面。取球坐标（）作为活动标架。容易得到它们在固定的直角坐标中的表示： （6）可以证明6：一般说来，活动标架的导数构成一组封闭关系。比如，由（6）式就能得到，对球坐标活动标架的微分表示式为： （7） 平面上两根不相交的直线称为平行线。但在球面上，这种平行线的概念是不存在的，因为：球面所有的大圆均相交。但可以引入对球面上矢量作平行移动的概念。令为球面某点的切平面内一个矢量

10、。并称其为属于曲面（点）的矢量。众所周知，对矢量作普通意义下的平行移动意味着，它对移动参数的全微分等于零： （8）现在，设沿一小弧线段，按普通意义的平行移动，将其平移到邻近的点。由于点切平面与点切平面有不同的法线方向，矢量将不再处于点的切平面内，也即不再属于曲面（点）的矢量。这就是说，属于曲面的矢量，其全微分为零一般不与其沿曲面（某条曲线作）平行移动的概念相一致。所以，需要扩充矢量平移的概念，使矢量移动时保持仍属于曲面（在各点都处于该点切平面内）。 为此，定义：对矢量的绝对微分（或协变微分）为，属于曲面某点的矢量，当它沿曲面移动时，其微分矢量向此点切平面的投影，称为此矢量在此点的绝对微分，即在

11、切平面上的投影矢量 （9）于是，将上面“全微分为零”的条件换为较弱的“绝对微分为零”的条件7： （10）方程（8）表示三维欧氏空间中矢量平行移动。与此相对照，（10）式是这个概念的发展曲面上的矢量沿曲面的某一条曲线作平行移动。详细些说，（10）式是当黎曼空间作为浸入空间的曲面时，从包容空间来看，“上矢量的平行移动要使的切分量永远为零”，就是要使矢量的微分变化量与处处正交，即8“总是垂直于的切仿射空间”。 这些概念说明如下。设矢量是球面某点切平面内的任一矢量，则当其移动时，它变化的微分量为将活动标架的微分表示式（7）式）代入此处，得这里。显然，矢量在此点的切平面内并与垂直。 在球面上移动矢量显然

12、不存在模长改变的问题，即。得 （11）于是，在球面上沿某条曲线对矢量作绝对微分的表达式为： （12）（12）式是对的绝对（协变）微分。这里尚未涉及它沿球面某条曲线的平行移动。 由此可知以下两点： 其一，当矢量沿球面任一条曲线作平行移动，即时，由三维欧氏空间来看，矢量的全微分变化量中不存在绕法线方向转动的成份。因为，此时有 （13）就是说，微分变化量总是沿此点球面的法线方向。微分变化量中不存在垂直于法线的成份，当然也就不存在绕法线方向转动的成份。显然，反过来也可以说，矢量的微分变化量中不存在绕法线方向转动（也即当因移动而变化时，面不绕轴转动），也可以作为对矢量沿球面上任一曲线作平行移动的充要条件

13、。这正是上页由包容空间所看到的在球面上的平行移动8。 其二，一个矢量如果沿球面大圆作平行移动，它在切平面内活动标架中的坐标将保持不变。比如，若矢量沿球面的一条经线作平行移动，则有这导致 （14）由于沿经线，所以。按定义，是移动矢量与之间的夹角，说明此矢量沿球面的经线大圆平行移动时，它在活动标架的中的坐标一直保持不变。类似地，若矢量沿球面的赤道线作平行移动，由于，即 。表明该矢量在赤道线的中坐标保持不变。沿倾斜大圆的情况，可将球坐标的极点变换到这个大圆上，即为刚才所说沿经线平移的情况。此条可以推广为：沿任意曲面的最短程线作平行移动时，该矢量在沿线的切平面活动标架中的坐标保持不变。（14）式是球面

14、上矢量平移的基本方程。3，Berry相位本质是几何的（I）二维流形和乐相因子计算下面在球面上以初等方式实现和乐计算。 A（14）式所表示的当矢量平移时其 分量的变化，也可以采用通常办法，用 C联络系数表达式来得到。详见第4, ii)。 B 举例： A ) 考虑直角坐标第一象限由三条大圆弧所围的部份球面（全球面的）。设z轴A点球面上有一矢量，它切A点处X-Z面中的大圆弧，即初始时。由A点出发，沿X-Z面大圆弧平行移动。由于此段大圆是球面上最短程线，平行移动中继续保持与此段大圆相切，直至B点。在B点经线与XY面的赤道线垂直相交，因此将与赤道线段BC呈垂直交角，直到C点。自C点它又成为YZ面经线的切

15、线保持如此直到返回A点。平移转一圈的结果，与出发时相比，此时的已经转过了角度。这一角度也可以用所围球面S对球心所张的立体角来表示： （15） B）上例中，若沿AB弧平移到纬度角处的点，即转向此纬线平移到YZ面内的点，再沿YZ面的经线返还到A点。这时 和上面情况差别在于，弧段不再是大圆（最短程线），矢量沿它平移时，坐标会发生改变。在点处，和弧呈垂直交角，但按角定义，与此处夹角仍为零，即有。在处则为说明在处，此矢量与的夹角成为 （16）接着沿弧段平行移动并返回A点的途中，不再有角度的变化。但弧段本身在A点与弧段有一夹角。所以平移一圈后总共转过角度为 （17）其实，这个转角又等于圈C内的部份球面积S

16、对球心所张的立体角： （18）这是因为 上面例算中，平移矢量转角与所围曲面对球心所张立体角的关系 （19）是普遍的，与球面上曲线的形状无关7。它们全体构成球面上的U（1）和乐群。此普遍结论可证明如下。 证明：分为两部份7。第一，证明以大圆弧段为边界的球面边多角形的面积为： （20）注意两个大圆必相交于球面上相对的两个点（可称为这两个大圆的南北两极），于是整个球面积被分为：i, 这个多边形面积； ii, 与此多边形关于球心对称的另一多边形面积；iii, 个二角形的面积，它们的内角 等于原多角形的外角。于是有： 这就得到上述S的公式。 第二，往证：依正向，即逆时针方向沿此多角形平行移动矢量。设初始

17、时刻位于顶点，属于球面并沿大圆弧方向。在沿平行移动中，因弧段是大圆，移动中与的夹角保持不变。按逆时针转到矢量方向来计算角度的正号，于是转到矢量的角度应等于 其中为多角形在顶点的外角。移动至点后，与边的夹角为 此值一直保持到点。类似讨论下去， 最后可以确定当移至点后，它将与构成夹角 对于平面，多角形内角和为，外角和为，于是得： 。 这个角即为矢量回转多角形一圈之后的转角。结合结论（20）式，即知有 （21）显然，球面上任何闭合曲线均可以由这种大圆线段多角形近似到任意程度，所以公式（21）对矢量沿球面任何闭合曲线平行移动均成立。证毕。进一步，取球面上一个归一化的复矢量称作态矢 （22）让它沿球面某

18、一闭合曲线作平行移动，计算相应的和乐相因子。 如果分别令和是上节中的矢量，让它们沿此闭合曲线平行移动，并用许多大圆线段作多角形逼进这一闭合曲线，类似（21）式推导，立即得到此态矢量平行移动转一圈的（21）式结果。 也可直接计算如下：如果沿曲线平行移动一微小弧段后，此复矢量获得一小相位，即。显然有 （23）这里表示取虚部数值。于是沿闭回路C转一圈后，获得相因子为 （24）这里为回路所圈的球面面积。其中， （25）注意，所以只需计算（25）式的分量（法向分量）。由及，（25）式的分量为 这里是球面点处垂直指向Z轴的单位矢量。可知。代入（24）式即得 （26）上面所取复矢量（22）式中的叠加系数是相

19、等的。但这并不失一般性。因为，球面上的任何闭回路总只涉及球面的局部，于是对具有一般叠加系数的给定复矢量，总可以找到相应的坐标复盖（球面点的参数化，比如上下两套开集球坐标网络）10，使矢量在这两套开集的球坐标活动标架之一里，能够表示为（22）式的形式，并保持整个回路在同一个单值分枝之内。4，Berry相位的本质是几何的流形的联络系数和度规计算i) 流形的概念是欧氏空间的推广。粗略地说，流形就是流变着的形状，它在每一点的近旁和欧氏空间的一个开集是同胚的。因此在每一点的近旁可以引进局部坐标系。流形正是一块块“欧氏空间”粘起来的结果11。 以上做法的理论根据是H. Whitney定理11： “任意一个

20、维光滑流形总能嵌入到维欧氏空间中作为子流形。”这说明尽管流形的概念较为抽象，其实它正是欧氏空间的推广。并最终仍可作为欧氏空间的嵌入子流形来实现。也就是说，可以取较高维数的欧氏空间作为它的包容空间。这给了我们一个几何直观的方法来获得黎曼空间（引入了度量张量的可微流形）。特例是，三维欧氏空间内的曲面论就是这样一类例子。曲面可以看作二维黎曼空间。准确些说是，任一个二维黎曼空间可以局部地实现为三维欧氏空间中的某一曲面。这样所产生的几何称为曲面的内蕴几何。这种几何在曲面扭曲贴合（没有伸缩的扭曲变形重合）中是不变的7、9。上面对球面的讨论，正是给定了联络系数分布的二维黎曼空间的一种表现。公式（7、14）便

21、包含了球面上的这些联络系数。 在维流形M的任一点m（）近旁所引入的的同胚欧氏空间，可利用其局部坐标系（）作出M在其点m附近的切矢量，用以构造局部标架，就是说，在M的点m作出一个仿射空间。与流形M有一个共同点m，这样的空间称为切仿射空间，此空间中的矢量称为流形M在m点的切矢量，简称为m点的矢量。这说明为何前面使用的是在球面各点切空间中的绝对（协变）微分。 纤维丛是流形向乘积的推广。常用的是矢量丛。简单地说，设E，M是两个光滑流形，映射是光滑的， M上各点的切仿射空间由n维矢量集合构成。称（E，M，）为流形M上的矢量丛。E为全空间，M称为底空间，称为丛投影，称作纤维。直观地说，矢量丛E是积流形和纤

22、维粘合的结果。粘合时要求纤维上的线性关系保持不变。中的维矢量称为波截面。球面的内蕴几何可以看作是嵌入3维欧氏空间中的二维黎曼流形。用纤维丛的语言，此球面称为底空间，球面每点的切平面便是纤维，逆映射（即球面每点向切平面中矢量的一种对应，也即，定义在球面上的两分量的矢量场）便是波截面。平移矢量坐标微分变化的展开系数便是联络。ii) 球面的度规与联络系数计算。在曲线坐标（）中，单位球面（）一小线段的长度为 （27）于是，球面上切平面二维仿射空间中，协变及抗变度规分别为（） （28）注意这里度规是对参数直接写出的。则是单位球面的两个抗变线段元， 它们的协变线段元为 （29）按照联络系数和度规间的关系1

23、3： （30）由此可得球面的联络系数： ， （31）其余联络系数为零。 利用这些联络系数和度规，就可以用一种正规普适的方法将前面平移矢量的分量变化再次写出来。这时所用公式是矢量平移中分量变化的下述表达式： （32）矢量的两个抗变分量分别为。这里的表达式是由于要求矢量归一化，即, 也即 。代入（32）式，有 （33）显然，（33）式中第一式即为前面的（14）式。第二式不独立，实际上也是第一式。这只要将第二式左边微分出来，对的微分项将消去右边的第一项，也得到。 证毕。 iii) 例如，带AB效应的杨氏双缝实验中（在缝屏后面放置一根细磁弦），缝屏后面的波函数便带着一个不可积的相因子（当积分路径扫过或

24、穿过磁场强度不为零的区域时，是与积分路径有关的，而不仅只和积分的上下限有关；只在磁场强度为零的区域，积分与路径无关，仅与积分上下限有关。）14： （34）这就是电磁现象中不可积相位。注意，在此空间中的波函数将不是简单的复值函数，而是数学家称作的截面，物理学家称作的波截面。它不仅带有这个不可积的相因子，还带有如下不定幂次的相因子（数学家称为转换函数、转换因子、转换条件现在它们仅仅构成简单的群）： （） （35）被称作Berry相位的这些相因子不可以丢弃（不像通常的外部整体相因子）。因为它们均有实验观测效应。因此，这时缝屏后面空间波函数并不是通常意义下的波函数，而是多分枝的波截面。之所以如此是由于

25、屏后空间的拓朴非平庸性质：由于磁弦的存在，空间区域已由曲面单联通转变为曲面多联通14。 再例如，磁单极子周围磁场虽然是正规的，但相应的矢势却必须有一根或几根奇点线奇异弦。显然，这种奇异弦是非物理的。造成这种现象的原因正是球面拓朴非平凡性质：为避免球面上坐标描述的奇性，必须同时采用至少两套开集坐标覆盖。因此在坐标系的重叠区内，由不同坐标覆盖所描述的波函数之间，将出现由规范变换产生的（指数上包含磁单极子强度的）转换相因子。这说明磁单极子周围的空间波函数也不是普通的复值函数，而是波截面。但值得注意的是，属于不同动力学状态的波截面总是满足同样的转换相因子10。 最后，总结以下三点：1） 上面关于Ber

26、ry相位问题所说的和所计算的，全都是几何学，并不涉及物理学。所以，Berry相位的本质是几何的或者说是拓朴的。2）杨振宁先生说：“不同的波截面（比如说，它们属于不同的能量）显然满足同样的转换条件，因为有同样的”12。粒子具有不同的动量时，情况也如此。这里杨先生是在强调这个相因子与粒子所处的动力学状态没关系，而只取决于作为参数的磁单极子强度(或磁通)。正是（）凸现了球面拓朴非平凡性质，正是g ()产生了曲面单连通到曲面多连通的拓朴性质改变。从别种情况的Berry相位计算来看，结果也相似：Berry相位表达式不依赖于粒子所处的动力学状态，甚至系统的动力学性质，而只依赖于系统哈密顿量中所含参数空间的

27、几何性质。2） 由“满足含时Schrodinger方程定出Berry相位表达式”，并不就能够强调“Berry相位的物理根源来自动力学的要求”。 因为，除了刚才说的第一、第二条理由之外，还有：i)这个事实本身并不是新发现的。在最初Berry自己的文章中，本来 Berry就是以“满足Schrodinger方程定出Berry相位表达式”的，可是Berry仍然强调这个相因子的性质是几何的，并没有强调它“根源于动力学”。更不必说数学家Simon文章对这个相因子的几何分析了2。其实，Berry相位问题正是说明了：来自Schrodinger方程的东西并不一定就是动力学的，虽然动力学的东西一定来自于Schrodinger方程。ii) 不是必须要从“满足含时Schrodinger方程定出Berry相位表达式”。事实上，从定态Schrodinger方程定出Berry相位表达式更为直接和简便。这里，由于已经是不可积相因子的圈积分，可以不必采用绝热定理就能分离出绝热相因子14。鉴于这里三条理由，这些相因子不宜说是“根源于动力学”或“来自动力学的要求”，还是按大家的普遍提法，说它是几何的或拓朴的更为恰当。其实，几何的或拓朴的提法不仅在