常数项级数的审敛法

1、§11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数： (1) 显然，部分和数列单调增加：1.收敛准则定理1 正项级数收敛部分数列有界.例1判别正项级数的收敛性解 有上界 级数收敛2.比较审敛法定理2 设和都是正项级数，且若收敛,则收敛；反之，若发散，则发散分析：，则的部分和即有界,由TH1知收敛。反之，设发散，则必发散.因为若收敛,由上面已证结论知也收敛，与假设矛盾.推论 设和都是正项级数,如果级数收敛，且存在自然数N，使当时有成立,则级数收敛；如果级数发散，且当时有成立, 则级数发散.分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性.

2、例2 讨论级数 的收敛性，其中常数>0解 设，则但调和级数发散，故级数(2)发散设，当时，有所以，考虑级数 级数(3)的部分和=因 故级数(3)收敛由推论1知，级数(3)当>1时收敛.总之：级数(2)当1时发散，当>1时收敛注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数，级数（调级数）例3 判别下列级数的敛散性. 发散, 原级数发散 收敛, 原级数收敛练习 3.比较审敛法的极限形式定理3 设和都是正项级数,(1) 如果且级数收敛，则级数收敛； (2) 如果或，且级数发散，则级数发散例4判别下列级数的敛散性. (1) 发散 原级数发散 收敛 收敛4比值审敛法定理4 设为正项级

3、数，如果 则当级数收敛; (或)时级数发散; 时级数可能收敛也可能发散（证略，可参考教材）例5判别下列级数的敛散性： (1) 级数收敛 (2) 级数发散(3) 收敛, 发散 发散5. 根值审敛法-柯西判别法定理5 设为正项级数，如果则当时级数收敛，(或)时级数发散，时级数可能收敛也可能发散. （证略，可参考教材）例6判别下列级数的敛散性(1) 级数收敛 级数发散6 根限审敛法（与级数作比较）定理6 设为正项级数，(1)如果则发散；(3) 如果，而则级数收敛。例7判别下列级数的敛散性（1） 发散.（2） 收敛二、交错级数及其审敛法交错级数： 或 其中都是正数定理7 (莱布尼兹定理) 如累交错级数

4、满足条件:则级数收敛，且其和,其余项的绝对值分析：先证明S2n的极限存在,为此把S2n写成两种形式:及 根据条件(1)知所有括弧中的差非负的.由第一种形式可见单调增，由第二种形式可见 ，因单调有界数列必有极限，当, 趋于一个极限s，且再证明前项的和s2n+1的极限也是s,事实上，由条件(2)知因此由于故收敛于和s ,且最后 , 上式右端是一个交错级数，它满足收敛的两个条件，所以证毕例8判别级数的敛散性。解 ， 所以它是收敛的，且其和。 三、绝对收敛与条件收敛任意项级数：它的各项为任意实数绝对值级数： 为正项级数，如果收敛, 则称级数绝对收敛；如果级数收敛, 而发散，则称条件收敛。如绝对收敛 条件收敛定理8 如果级数绝对收敛, 则级数必定收敛.分析：收敛，令显然且由比较审敛法知收敛，从而也收敛.而 所以收敛。注意 上述定理的逆定理并不成立. TH8说明,对,若用正项级数的审敛法判定收敛。一般地，若发散不能断定也发散，但是若用比值审敛法或根值审敛法判定发散，则可断定发散，因为从这两个审敛法的证明知,上述两种审敛法判定发散的依据是不趋于0(故发散。例9判别下列级数的敛散性：（1） 绝对收敛 发散 条件收敛 绝对收敛小