一、曲线的参数方程

1、一、曲线的参数方程一、曲线的参数方程在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程线的方程f(x,y)0。下面我们就来研究求曲。下面我们就来研究求曲线参数方程的问题。线参数方程的问题。1、参数方程的概念

2、、参数方程的概念1、参数方程的概念、参数方程的概念探究：探究：一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m的高处的高处以以100m/s的速度作水平直线飞行，为使的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？定投放时机呢？AM(x,y)xyo 飞机在飞机在A点将物资投出机舱，在经过飞行航线（直线）且垂直点将物资投出机舱，在经过飞行航线（直线）且垂直与地面的平面上建立平面直角坐标系，其中与地面的平面上建立平面直角坐标系，其中x轴为地平面与这轴为地平面与这个平

3、面的郊交线，个平面的郊交线，y轴经过轴经过A点。点。 记物资投出机舱时为时刻记物资投出机舱时为时刻0，在时刻，在时刻t时物资的位置为点时物资的位置为点M（x,y）,则则x表示物资的水平位置，表示物资的水平位置，y表示物资距地面的高度。由于水平位移表示物资距地面的高度。由于水平位移量量x与高度与高度y是由两种不同的运动得到的，因此直接建立是由两种不同的运动得到的，因此直接建立x,y所要满足所要满足的关系式并不容易。的关系式并不容易。 换个角度看这个问题。换个角度看这个问题。 由物理知识，物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：由物理知识，物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）

4、沿ox作初速为作初速为100m/x的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。txy解：物资出舱后，设在时刻 ，水平位移为 ， 垂直高度为 ，所以2100 ,)1500.2xtygt2（g=9.8m/s一、方程组有一、方程组有3个变量，其中的个变量，其中的x,y表示点的坐标，表示点的坐标，变量变量t叫做参变量，而且叫做参变量，而且x,y分别是分别是t的函数。的函数。二、由物理知识可知，物体的位置由时间二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决唯一决定，从数学角度看，这就是点定，从数学角度看，这就是点M的坐标的坐标x,y由由t唯唯一确定，这样当一

5、确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。绘出点的轨迹。三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（序实数对（x,y）之间有一一对应关系。）之间有一一对应关系。一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标任意一点的坐标x,y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程组（的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线

6、上，那么方都在这条曲线上，那么方程程(2)就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系变，联系变数数x,y的变数的变数t叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数，相对，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做的方程叫做普通方程普通方程。)2.(.)()(tgytfx的值。上，求在曲线、已知点的位置关系与曲线、判断点为参数的参数方程、已知曲线例aCaMCMMttytxC), 6()2()4 , 5(),1 , 0() 1 ()(12313212上。不在曲线点这个方程组无解，所以代入方程组，得到把点上。在曲线所以代入方程组，解得的坐标把点

7、解：CMttMCMtM2221112435)4 , 5(0) 1 , 0() 1 (99, 21236), 6()2(23aattatCaM所以，解得上，所以在曲线、因为点 请用自己的语言来比较一下请用自己的语言来比较一下参数方程与普通方程的异同点参数方程与普通方程的异同点2、圆的参数方程、圆的参数方程xo0MyM(x,y)0M圆周运动是生产生活中常见圆周运动是生产生活中常见的。当物体绕定轴做匀速转的。当物体绕定轴做匀速转动时，物体中各个点都做匀动时，物体中各个点都做匀速圆周运动，那么怎样刻画速圆周运动，那么怎样刻画运动中点的位置呢？运动中点的位置呢？ 设圆设圆O的半径为的半径为r，点，点M从

8、从初始位置初始位置 出发，按逆时出发，按逆时针方向在圆针方向在圆O上做匀速圆周上做匀速圆周运动，点运动，点M绕点绕点O转动的角转动的角速度为速度为。以圆心。以圆心O为原点，为原点， 所在直线为所在直线为x轴，建立直角轴，建立直角坐标系。显然，点坐标系。显然，点M的位置的位置由时刻由时刻t 惟一确定，因此可惟一确定，因此可取取t为参数。为参数。r0OM)()(sincossin,cos),(速圆周运动的时刻质点作匀有明确的物理意义程。其中参数的圆的参数方，半径为这就是圆心在原点为参数即角函数的定义有：，那么由三，设，那么，坐标是转过的角度是，点如果在时刻trOttrytrxrytrxtrOMty

9、xMMt转过的角度。的位置时，到逆时针旋转绕点的几何意义是其中参数的圆的参数方程，半径为这也是圆心在原点为参数为参数，于是有，也可以取考虑到00)(sincosOMOMOOMrOryrxt圆的参数方程的一般形式圆的参数方程的一般形式么样的呢？的圆的参数方程又是怎半径为那么，圆心在点普通方程是的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆ryxoryx),(,002222220000cos()s()()inxxyxxryyyrr对应的普通方程为为参数 由于选取的参数不同，圆有不同由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得

10、可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示形式不同的参数方程，它们表示 的曲的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。取值范围。练习练习 1 1 已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2 +2x-6y+9=0 +2x-6y+9=0，将它化，将它化为参数方程。为参数方程。解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程，化为标准方程， （x+1x+1）2 2+ +（y-3

11、y-3）2 2=1=1，参数方程为参数方程为sin3cos1yx(为参数为参数)例例2 如图，圆如图，圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速作匀速圆周运动时，求点圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ(6,0)oxPMQ(6,0)(sin3cossin2sin2, 3cos26cos2),sin2 ,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxM分析分析：取：取 为为 参数，则圆参数，则

12、圆O的参数方程是的参数方程是 （为参数），当为参数），当变化是，动点变化是，动点P在定圆在定圆O上运动，线段上运动，线段PQ也随之变动，从而使点也随之变动，从而使点M远动，因此点远动，因此点M的运动可以看成是的运动可以看成是由角由角 决定的。于是，选决定的。于是，选 为参数是适合的为参数是适合的。xOPsin2cos2yx思考思考：这里定点：这里定点Q在圆在圆O上外，你能判断这个轨迹表示上外，你能判断这个轨迹表示什么曲线呢？如果定点什么曲线呢？如果定点Q在圆在圆O上，轨迹是什么？如果定点上，轨迹是什么？如果定点Q在圆在圆O内，轨迹又是什么？内，轨迹又是什么？径，并化为普通方程。表示圆的圆心坐标

13、、半所为参数、指出参数方程)(sin235cos22yx4)3()5(22yx练习练习_4)0(sin2cos3，则圆心坐标是是的直径为参数，、圆rrryrrx（2，1）3、参数方程和普通方程、参数方程和普通方程 的互化的互化cos3,()sinxMy由参数方程为参数 直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM 由参数方程得：所以点 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。将曲线的参数方程化为普通方程，有利将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。于识别曲线的类型。 曲线的参数方程和普通

14、方程是曲线曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数果知道变数x,y中的一个与参数中的一个与参数t的关系，的关系，例如例如 ，把它代入普通方程，求，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系出另一个变数与参数的关系那么那么 就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。 tfx tgy tgytfx参数方程和普通方程的互化：参数方程和普通方程的互化：（1 1）普通方程化为参数方程需要引入参数）普通方程化为参数方程需要引入参数如：如：直线直线L 的普通方程是的普通方程

15、是2x-y+2=0，可以化为参数方程.22,tytx（t为参数）为参数）在普通方程在普通方程xy=1中，令中，令x = tan ,可以化为参数方程可以化为参数方程 .cot,tanyx （为参数）（2 2）参数方程通过）参数方程通过代入消元代入消元或或加减消元加减消元消去参数消去参数化为普通方程化为普通方程如：如：参数方程参数方程.sin,cosrbyrax消去参数 可得圆的普通方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2.42,tytx参数方程（t为参数）可得普通方程：y=2x-4y=2x-4通过代入消元法消去参数t ,（x0）注意：注意： 在参数方程与普通方程

16、的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的取值范围保的取值范围保持一致。持一致。 否则，互化就是不等价的否则，互化就是不等价的. . 例例3 3、把下列参数方程化为普通方程，把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？并说明它们各表示什么曲线？1()12tytx=t(1)为参数sincos().1 sin2y x=(2)为参数（2）把 平方后减去得到因为所以因此，与参数方程等价的普通方程是这是抛物线的一部分。(1)1 1231)11xtyx 解解： 因因为为所所以以普普通通方方程程是是（x x这这是是以以（， ）为为端端点点的的一一条条射射线线（包包括括端

17、端点点）1 xt?所以代入ty21?cossinxsin21yyx 24sin2cossinx2,2x2,2xyx 2练习、练习、1.将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2（1）（）（x-2）2+y2=9（2）y=1- 2x2（- 1x1）（3）x2- y=2（X2或或x- 2）步骤：步骤：（1）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。2.求参数方程求参数方程)20()sin1 (21|,2sin2cos|yx表示表示 （ ）（A）双曲线的一支，这

18、支过点（）双曲线的一支，这支过点（1，21）：）：（B）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（211， ）；）；（C）双曲线的一支，这支过点（）双曲线的一支，这支过点（1，21）；）；（D）抛物线的一部分，这部分过（）抛物线的一部分，这部分过（1，21）分析 一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解解x2=2)2sin2(cos=1+sin=2y， 普通方程是x2=2y，为抛物线。 )42sin(2|2sin2cos|x，又02，0 x2，故应选（B）说明说明这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。例例4 4 (1)设x=3cos ， 为参数；2.tt(2)设y=，