计量学-联立方程组模型

1、计量学-联立方程组模型 本章简单介绍联立方程组模型计量分析，包括联立方程组模型的基本概念、假设、识别性和参数估计等。2第一节第一节 联立方程组模型及其假设联立方程组模型及其假设第二节第二节 联立方程组模型的识别性联立方程组模型的识别性第三节第三节 联立方程组模型的参数估计联立方程组模型的参数估计3第一节联立方程组模型及其假设第一节联立方程组模型及其假设一、联立方程组模型的基本概念n联立方程组模型是方程组形式的计量经济模型。 n用一个简单的微观市场均衡模型说明联立方程组模型的基本情况，以及它们所涉及的基本概念。 4n这个微观市场均衡模型包括一个供给函数、一个需求函数、以及一个均衡方程，具体如下：

2、123111232SttttDttttSDttQPPQPYQQ5n称被决定的 和 为模型的“内生变量”。联立方程组模型的内生变量对应单方程模型中的被解释变量。n收入变量 为模型的“外生变量”，相当于单方程模型中的解释变量。n内生变量 的一期滞后变量 ，称“滞后内生变量”。n外生变量和滞后内生变量统称为联立方程组模型的“前定变量”。tPtQtYtP1tP6n区分联立方程组模型的内生变量和前定变量非常重要。因为两类变量的数目及构成模型的情况，对联立方程组模型是否意义，是否能够得出唯一确定的参数估计等都有重要的影响。n通常一个联立方程组模型的内生变量数量与方程个数相等，而且能够表示成每个内生变量被其

3、他变量决定的标准形式。7n“结构式模型”（Structural Model）： 每个方程都代表经济问题和系统的一个方面，每个参数都有意义，能反映研究问题或经济系统结构和内在联系的联立方程组模型n“简约式模型”（Reduced Form Model）： 为了参数估计和分析的需要，常需要把结构式模型变换为各内生变量只是前定变量函数形式的“简约式模型” 。由于内生变量数与方程的个数相等，因此这种变换一般是不难做到的。8SDtttQQQ123111232ttttttttQPPQPY22212122232232221122221122322322212111111111ttttttttttPYPPYQ9

4、引进下述记法则模型进一步化为这就是原市场均衡模型的简约式模型。2221222223232232222211212222112231322321222121111,1,1,11,1,1,1ttttttuuttttttttuPYPuPYQ212322211113121110n引进简约式模型的根本原因：1、简约式模型的每个方程都是内生变量与前定变量的函数关系，不存在内生变量的交叉决定，因此求解内生变量的数值和进行预测都比较简单，2、没有内生变量作为解释变量可避免解释变量与误差项存在相关性，并对分析结果有效性的影响。11n简约式模型的意义比较模糊，不能清晰地反映经济变量的内在联系，因此不是联立方程组模

5、型分析的最终目标，最后必须回到结构式模型。n当然这需要符合一定条件，就是后面要讨论的联立方程组模型的识别性。12二、联立方程组模型的假设二、联立方程组模型的假设（一）联立方程组模型的一般表示法 一般用 分别表示有g个方程的联立方程组模型的g个内生变量，用 表示模型的K个前定变量 gYY,1KXX,113模型的结构式表示为：gtKtgKtgtgggtggttKtKtgtgtttKtKtgtgttXXYYYXXYYYXXYYY1111112212121212111111212114（二）联立方程组模型的矩阵表示法 向量、矩阵记号如下：12121212111gggg111212122212KKggg

6、K12tttgtYYYY12tttKtXXXX12tttgttttYX15（三）联立方程组模型的基本假设如下1、模型由上述结构式线性方程组组成，或者可用向量方程表示。其中有些系数，即 和 的部分元素可以是0， 中有些元素也可以是0；2、不等于0的 都满足单方程线性回归模型误差项的假设，包括零均值、同方差、误差序列不相关和正态分布。ttt21,163、不同方程的同期误差可以相关，但协方差与时期t无关，即 不是t的函数。此外，不同方程的误差项也不能有跨期相关性，即 当 时必须成立。4、模型的外生变量是确定性变量。5、模型是可识别的。这是联立方程组模型特有的重要假设。下一节将专门讨论这个问题。,ij

7、 ts(,)0itjsCov(,)itjtijCov17第二节第二节 联立方程组模型的识别性联立方程组模型的识别性一、识别性问题的意义一、识别性问题的意义n由于联立方程组模型中内生变量的水平由多个方程的共同作用决定，因此能否根据所观测到变量数据推测出生成它们的各个经济关系，或者说联立方程组模型中的函数关系是否可以明确辨别或唯一确定，是一个很重要的问题。这就是联立方程组模型的识别性问题识别性问题。n联立方程组模型的识别性等价于结构式参数与简约式参数之间的对应关系。 18n例如一个最简单的供给需求均衡模型如下：n如果其中参数已知，那么很容易根据这个模型解出均衡价格和销售量，实际上就是模型的简约式t

8、tttttPQPQ221121需求函数：供给函数：19ttttttttuPuQ22122212222111112222122121111120n供求模型的识别问题供求模型的识别问题 2S)(1211tttPQS)(2211tttQPD2DPtPQtQ21n根据均衡价格和销售量数据确定供给和需求函数，实际上就是根据简约式推导结构式。由于简约式中只有两个参数，而结构式中有四个参数，因此根据两个方程 是无法从简约式参数推导、确定出结构式参数的。n能否根据简约式参数解出结构式参数，是识别问题的另一种标准。12111211212222,11 22n为了说明怎样的联立方程组模型是可识别的，我们在需求函数中

9、引进收入变量，得到如下模型：tttttttYQPPQ232112123解成简约式为： ttttttttttttuYYPuYYQ222212221222322211112112222122322212111111124S1D2DP2PQ2Q3P1P3Q1Q3D1D25n也可以根据简约式和结构式之间的关系，论证供给函数可识别和需求函数不可识别。n结构式参数和简约式参数之间有下列四个关系式2312111122222311221222222,11,11 23321222222211 26n还可以通过考察结构式供给函数和需求函数的形式是否统一，是否能通过两个方程的线性组合产生其他形式的供给函数和需求函数

10、，判断它们的识别性问题。27n如果要市场均衡模型的两个方程都可识别，只需在供给函数中再引进一个变量，如 ，也就是下面的形式：1tPttttttttYQPPPQ232111321ttttttttuPYPuPYQ212322211113121128 其中结构式和简约式系数的关系为：2223232232222211212231322321222121111,1,11,1,129n需要注意的是，并不是联立方程组模型引进越多的变量，方程或整个模型的识别性越强越好。n例如若在上面的供给函数中再加入一个认为与这种产品的供给有关的气温变量 作解释变量，那么模型的结构式变为tTtttttttttYQPTPPQ2

11、32114132130tttttttttuTPYPuTPYQ22412322211141131211222424222323223222221121224142231322321222121111,1,1,11,1,1,131通过简约式采纳述可以导出两个的 值。这时候我们称 所在的需求函数为“过度可识别”的。22242224142422232223132311112232n当存在过度可识别的方程时，实际上也意味着模型化为简约式后，简约式的参数不是完全独立的，如本例的n相对上述过度可识别的情况，如果一个方程的结构式参数可通过简约式参数得到唯一的值，则称为“恰好可识别”的。/p>

12、二、判断识别性的一般方法二、判断识别性的一般方法n根据前述分析可知识别性有两种等价的定义方式，1、能否通过简约式的参数确定或唯一确定结构式方程的参数；2、各个结构式方程是否具有唯一确定的形式。n在其他方程作为条件或约束的前提下，模型的某个或某些方程没有唯一确定的形式，正是无法从简约式参数唯一地解出结构式参数的根源。34n判别每个方程识别性的基本准则： 联立方程组的每一个方程是否具有唯一确定的形式。即如果所考察的联立方程组模型的一个方程，不能用模型中其他方程的线性组合产生其他形式，该方程是可识别的，否则是不可识别的。35n根据上述判别法则可进一步推出下述结论：如果在联立方程组模型中存在一个，或可

13、以用其他方程的线性组合得到一个，所有变量都已包含在所考察方程中的方程，那么所考察的方程是不可识别的。n该结论的一个直接推论是，如果联立方程组模型中的某个方程包含了模型中所有的变量，那么该方程是不可识别的。 36一般联立方程组模型方程识别性的一般判别法则的推导n设讨论的是有g个方程的联立方程组模型中某个方程的识别性问题。设这个方程中有M个变量，此外这个方程中没有出现，但在模型其他方程中出现的有N个变量。n把所考察方程以外的其余g-1个模型方程，表示为向量方程：tttWSZRZ2137n根据前面的结论，如果这其余g-1个方程的一个线性组合，能够产生一个不包含没有在考察方程中出现的变量的方程，相当于

14、存在一个非零向量 ，左乘上述向量方程能够使得 ，从而得到的方程中不包含 ，如：那么所考察的方程是不可识别的。反过来如果不存在上述非零向量 ，则所考察方程是可识别的。11(,)g0St2Z1ttRZW38n要满足 ，即：的条件是S矩阵的秩rank(S)g-10S0S00, 12, 11 , 1222211121111NgggNNgSSSSSSSSS39n“秩条件秩条件”（Rank Condition） rank(S)g-1是联立方程组模型方程识别性的关键条件：n当rank(S)g-1时所考察方程是不可识别的；n当rank(S)g-1时所考察方程是可识别的。40n识别性的识别性的“阶条件阶条件”(

15、Order Condition) 因为S矩阵的列数，也就是没有出现在考察方程中变量的个数，Ng-1是rank(S)g-1的先决条件，因此Ng-1是识别性的先决条件。n只有S矩阵同时满足阶条件和秩条件，所考察的方程才是可识别的。不满足阶条件时肯定不可识别，这有利于简化判断识别性的工作。41n两种不同的满足可识别的阶条件和秩条件的情况：1、N=g-1 没有出现在考察方程中模型变量的个数正好等于其他方程的个数。这时候实际上就是该方程的结构式参数，可由简约式参数唯一确定的情况，也就是恰好可识别的情况。 422、Ng-1 没有出现在考察方程中的模型变量数大于其他方程的个数。这时候若用简约式参数推导该方程

16、的结构式参数，会出现信息过多，参数有约束关系的情况，就是过度可识别的情况。43n联立方程组模型识别问题的补充： 会计恒等式都是可识别的，因为它们的参数都是已知常数，不存在方程、变量关系无法确定的问题。44例例讨论下列宏观经济模型的识别性问题。tttttttttttttttGICYYTiYITYC31022110121045n考虑到判断识别性的方便，可把每个方程写成误差项以外的各项都在等式左边的形式：0,310221101210tttttttttttttttGICYYTiYITYC46n第一个方程的识别性 S矩阵： 1001000001211SttttGiYI47n假设经过分析，认为模型的第三个方程可以删去，即可用模型ttttttttttttGICYiYITYC22110121048n第一个方程的识别性 S矩阵变为：100101211SttttGiYI49n第二个方程的识别性 S矩阵： 10110121SttttGTYC50三、识别性的扩展讨论三、识别性的扩展讨论（一）误差项协方差矩阵的约束和识别性（一）误差项协方差矩阵的约束和识别性下