平面向量的基本定理及坐标表示12

1、第12讲 平面向量的基本定理及坐标表示1.若向量a(2，3)，b(x，9)，且ab，则实数x_2.若向量(2，3)，(4，7)，则_3.已知向量a(1，2)，b(2，0)，若向量ab与向量c(1，2)共线，则实数_4.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为_5.已知e1与e2是两个不共线向量，3e12e2，2e15e2，e1e2.若三点A、B、D共线，则_题型1向量的坐标运算例1已知A(2，4)、B(3，1)、C(3，4)且3，2，求点M、N及的坐标变式训练在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2，4)，(1，3)，则_题型2向量共

2、线的条件例2已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，求m的值已知向量a(6，2)，b(3，k)，若ab，求实数k的值题型3平面向量基本定理例3如图，已知ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且ADDBBEEC21，AE与CD交于P.设存在和使，a，b.(1) 求及；(2) 用a、b表示；(3) 求PAC的面积变式训练如图所示，在ABC中，H为BC上异于B、C的任一点，M为AH的中点，若，则_1.在ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，S为ABC的面积若向量p(4，a2b2c2)，q(1，S)满足pq，则C_2.在ABC中，a、b、c分别是A

3、、B、C所对的边，且3a4b5c0，则abc_3.(2013·北京文)向量a、b、c在正方形网格中的位置如图所示若cab(、R)，则_4.在ABC中，过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB、AC于M、N两点，设x，y(xy0)，则4xy的最小值是_精品题库1.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若xy，则x_，y_2.已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若·(R)，试问：(1) 为何值时，点P在第一、三象限角平分线上；(2) 为何值时，点P在第三象限3.如图，ABC中，在AC上取一点N，使得ANAC，在AB上取一点M，使得AMAB，在BN的延长线上取点P

4、，使得NPBN，在CM的延长线上取点Q，使得时，试确定的值4.如图，ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点若x，y，求的值F3平面向量的数量积及应用102014·北京卷 已知向量a，b满足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，则|_10.112014·湖北卷 设向量a(3，3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_11±3142014·江西卷 已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _14.42014·全国卷 若向量a，b满足：1，

5、(ab)a，(b)b，则|()A2 B. C1 D. 4B32014·新课标全国卷 设向量a，b满足|ab|，|ab|，则()A1 B2 C3 D5 3A12，2014·山东卷 在ABC中，已知·tan A，当A时，ABC的面积为_12.82014·天津卷 已知菱形ABCD的边长为2，BAD120°，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若·1，·，则()A. B. C. D. 8C第12讲 平面向量的基本定理及坐标表示1.若向量a(2，3)，b(x，9)，且ab，则实数x_答案：62.若向量(2，3)，(4，7

6、)，则_答案：(2，4)3.已知向量a(1，2)，b(2，0)，若向量ab与向量c(1，2)共线，则实数_答案：14.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，则顶点D的坐标为_答案：5.已知e1与e2是两个不共线向量，3e12e2，2e15e2，e1e2.若三点A、B、D共线，则_答案：8题型1向量的坐标运算例1已知A(2，4)、B(3，1)、C(3，4)且3，2，求点M、N及的坐标解：A(2，4)、B(3，1)、C(3，4)，(1，8)，(6，3)，3(3，24)，2(12，6)设M(x，y)，则有(x3，y4)，M点的坐标为(0，20)同理可求得N点的坐

7、标为(9，2)，因此(9，18)故所求点M、N的坐标分别为(0，20)、(9，2)，的坐标为(9，18)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2，4)，(1，3)，则_答案：(3，5)解析：由题意，得()2(1，3)2(2，4)(3，5)题型2向量共线的条件例2已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1，2)，若(ab)c，求m的值解：ab(1，m1)，c(1，2)(ab)c，m1.已知向量a(6，2)，b(3，k)，若ab，求实数k的值解：(解法1)ab，存在实数，使ba，(3，k)(6，2)，k1.(解法2)ab，k1.题型3平面向量基本定理例3如图，已知ABC的面积为14，D、E

8、分别为边AB、BC上的点，且ADDBBEEC21，AE与CD交于P.设存在和使，a，b.(1) 求及；(2) 用a、b表示；(3) 求PAC的面积解：(1) 由于a，b，则ab，ab.，即a(ab).解得，.(2) aab.(3) 设ABC、PAB、PBC的高分别为h、h1、h2，h1h|，SPABSABC8.h2h|1，SPBCSABC2，SPAC4.如图所示，在ABC中，H为BC上异于B、C的任一点，M为AH的中点，若，则_答案：解析：由B、H、C三点共线，可令x(1x)，又M是AH的中点，所以x(1x).又，所以x(1x).1.在ABC中，已知a、b、c分别为内角A、B、C所对的边，S为

9、ABC的面积若向量p(4，a2b2c2)，q(1，S)满足pq，则C_答案：解析：由p(4，a2b2c2)，q(1，S)且pq，得4Sa2b2c2，即2abcosC4S2absinC，所以tanC1.又0C，所以C.2.在ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，且3a4b5c0，则abc_答案：201512解析：3a4b5c0，3a()4b5c0，(3a5c)(3a4b)0.在ABC中，、不共线，解得abcaaa201512.3.(2013·北京文)向量a、b、c在正方形网格中的位置如图所示若cab(、R)，则_答案：4解析：以向量a、b的交点为原点作直角坐标系，则a(1，1)

10、，b(6，2)，c(1，3)，根据cab(1，1)(6，2)则4.4.在ABC中，过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB、AC于M、N两点，设x，y(xy0)，则4xy的最小值是_答案：解析：因为D是BC的中点，E是AD的中点，所以()又，所以.因为M、E、N三点共线，所以1，所以4xy(4xy).1.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若xy，则x_，y_答案：1解析：(解法1)以AB所在直线为x轴，以A为原点建立平面直角坐标系(如图)令AB2，则(2，0)，(0，2)，过D作DFAB交AB的延长线为F，由已知得DFBF，则(2，)xy，(2，)(2x，2y)即有(解法2)过D点作DF

11、AB交AB的延长线为F.由已知可求得BFDFAB，所以x1，y.2.已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若·(R)，试问：(1) 为何值时，点P在第一、三象限角平分线上；(2) 为何值时，点P在第三象限解：设点P的坐标为(x，y)，则(x，y)(2，3)(x2，y3)，(5，4)(2，3)(7，10)(2，3)(35，17)由，得点P坐标为(55，47)(1) 若点P在第一、三象限角平分线上，则5547，.(2) 若点P在第三象限内，则55<0且47<0，<1.3.如图，ABC中，在AC上取一点N，使得ANAC，在AB上取一点M，使得AMAB，在BN的

12、延长线上取点P，使得NPBN，在CM的延长线上取点Q，使得时，试确定的值解：()()，又，即，.4.如图，ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点若x，y，求的值解：设a，b，则xa，yb，()(ab)(ab)xaab，ybxaxayb.与共线，存在实数，使.ab(xayb)xayb.a与b不共线，消去，得4.F3平面向量的数量积及应用102014·北京卷 已知向量a，b满足|a|1，b(2，1)，且ab0(R)，则|_10.112014·湖北卷 设向量a(3，3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数_11±3142014·江西卷 已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _14.42014·全国卷 若向量a，b满足：1，(ab)a，(b)b，则|()A2 B. C1 D. 4B32014